重慶市第七中學校2023-2024學年八年級下學期期中數(shù)學試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

注意事項
1.答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號填寫在答題卡上．
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）
1. 平面直角坐標系中，點在（）
A. 軸上B. 軸上C. 第二象限D(zhuǎn). 第三象限
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了坐標軸上點的特征，根據(jù)在x軸上的點的縱坐標為0解答即可．
【詳解】解：∵點的橫坐標不等于0，縱坐標為0，
∴點x軸上．
故選：A．
2. 在中，，則的度數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本師考查平行四邊形性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)對角相等，求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴
故選：A．
3. 如圖，在矩形中，對角線，交于點，以下說法中錯誤的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，矩形的四個角都是直角，對邊平行且相等，對角線互相平分且相等，根據(jù)矩形的性質(zhì)進行逐一判斷即可．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，
∴A、B、C說法正確，不符合題意，
根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明，
∴D說法錯誤，
故選D．
4. 關于x的一次函數(shù)，若y隨x的增大而增大，且圖象與y軸的交點在原點下方，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)；由一次函數(shù)性質(zhì)得，，，求解即可．
【詳解】解：∵y隨x的增大而增大，
∴．
∴．
∵圖象與y軸的交點在原點下方，
∴．
∴．
∴．
故選：C．
5. 下列說法正確的是（）
A. 平行四邊形是軸對稱圖形
B. 平行四邊形的對角線互相垂直平分
C. 一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形
D. 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)與判定，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可判斷A，B，根據(jù)平行四邊形的判定可判斷C，D，從而可得答案．
【詳解】解：平行四邊形是中心對稱圖形，原描述錯誤，故A不符合題意；
平行四邊形的對角線互相平分，原描述錯誤，故B不符合題意；
一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形，原描述錯誤，故C不符合題意；
有兩組對角相等的四邊形是平行四邊形，描述正確，故D符合題意；
故選D．
6. 按照如圖所示的運算程序計算函數(shù)的值，若輸入的值是，則輸出的值是，若輸入的值是6，則輸出的值是（）
A. 16B. 17C. 18D. 19
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查代數(shù)式求值與程序流程圖，先代入，求得b的值，再輸入計算即可．
【詳解】解：若輸入的值是，則輸出的值是，
∵
∴，
解得：，
若輸入的值是6，
∵，
∴，
故選：B．
7. 若點，，在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關系是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的增減性是解題的關鍵．
根據(jù)，可得反比例函數(shù)圖象和增減性，即可進行比較．
【詳解】解：∵，
∴反比例函數(shù)經(jīng)過第一、三象限，且在每一象限內(nèi)，y隨著x增大而減小，
根據(jù)A，B，C點橫坐標，可知點A在第三象限，B，C在第一象限，
∵
∴
故選：D．
8. 如圖，在菱形中，M，N分別在，且，與
交于點O，，則∠OBC的度數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及，利用可得，可得，然后可得，繼而可求得的度數(shù)．
【詳解】解：∵四邊形為菱形，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：C．
9. ，兩地相距80km，甲、乙兩人沿同一條路從地到地．甲、乙兩人離開地的距離（單位：km）與時間（單位：h）之間的關系如圖所示．下列說法錯誤的是（）
A. 乙比甲提前出發(fā)1hB. 甲行駛的速度為40km/h
C. 3h時，甲、乙兩人相距80kmD. 0.75h或1.125h時，乙比甲多行駛10km
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以判斷各個小題中的結論是否正確，從而可以解答本題．
【詳解】解：A、根據(jù)圖象可得乙比甲提前出發(fā)1h，故選項A說法正確，不符合題意；
B、甲行駛的速度為20÷（1.5-1）=40km/h，故選項B說法正確，不符合題意；
C、乙行駛的速度為
∴3h時，甲、乙兩人相距，故選項C說法錯誤，符合題意；
D、；

∴0.75h或1.125h時，乙比甲多行駛10km，
∴選項D說法正確，不符合題意．
故選C．
【點睛】本題考查一次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答
10. 若關于x的函數(shù)y，當時，函數(shù)y的最大值為M，最小值為N，令函數(shù)，我們不妨把函數(shù)h稱之為函數(shù)y的“共同體函數(shù)”，則下列結論：
①對于函數(shù)，當時，函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的值為；
②函數(shù)，b為常數(shù)）的“共同體函數(shù)”h的解析式為；
③函數(shù)的“共同體函數(shù)”h的最大值為．其中結論正確的個數(shù)有（）
A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)定義分別求解并判斷即可得到答案．
【詳解】解：①當時，，
∴函數(shù)的最大值為，最小值為，
∴，故該項正確；
②當時，函數(shù)，
有最大值，有最小值，
∴；
當時，函數(shù)在范圍內(nèi)，
有最大值，有最小值，
∴，
∴，故②正確；
③∵，
∴在范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴函數(shù)y的“共同體函數(shù)”h的最大值為，故該項正確，
故選D．
【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，理解定義，根據(jù)定義結合所學的一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)綜合解題，分類討論是解題的關鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）
11. 在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是 ____．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查自變量得取值范圍的知識點，當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0．根據(jù)分式有意義的條件是分母不為0；分析原函數(shù)式可得關系式，解得答案．
【詳解】根據(jù)題意得，
解得：；
故答案為：．
12. 將直線向上平移3個單位長度后得到的直線解析式為___________．
【答案】##
【解析】
【分析】直接根據(jù)平移的規(guī)律求解即可．
【詳解】解：將直線向上平移3個單位長度，所得到的直線的解析式為．
故答案為：．
【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象的平移，一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是：①左右平移時，自變量x左加右減；②上下平移時，b的值上加下減．
13. 點P（3，﹣5）關于y軸對稱的點的坐標為 _____．
【答案】（-3，-5）
【解析】
【分析】根據(jù)關于y軸對稱點的坐標特點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標不變可直接得到答案．
【詳解】解：點P（3，-5）關于y軸對稱的點的坐標為（-3，-5），
故答案為：（-3，-5）．
【點睛】此題主要考查了關于y軸對稱點的坐標，關鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律．
14. 如圖，點P在反比例函數(shù)的圖象上，PA⊥x軸于點A，若的面積為，則的值為__．

【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)的幾何意義，結合函數(shù)圖象即可求解．
【詳解】解：∵PA⊥x軸于點A，的面積為，
∴
又∵點在第二象限，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)的幾何意義是解題的關鍵．
15. 如圖，在平行四邊形中，平分交于點，平分交于點，若，，則_____．
【答案】3
【解析】
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定．根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義證明，，說明，根據(jù)，,求出，最后求出結果即可．
【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，
∴，，，
∴，，
∵平分交于點E，平分交于點F，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即，
∵，,
∴，
解得：，
∴，
故答案為：3．
16. 甲、乙兩車分別從兩地同時相向勻速行駛，當乙車到達地后，繼續(xù)保持原速向遠離地的方向行駛，而甲車到達地后立即掉頭，并保持原速與乙車同向行駛，經(jīng)過一段時間后兩車同時到達地，設兩車行駛的時間為，兩車之間的距離為，與之間的函數(shù)關系如圖所示，則兩地相距________千米．
【答案】300
【解析】
【分析】當x=0時，y=300，故此可得到AB兩地的距離為300，3小時后兩車相遇，從而可求得兩車的速度之和，然后依據(jù)5小時后兩車的距離最大，可知甲車到達B地用5小時，從而可乙車的速度，設甲、乙兩車出發(fā)后經(jīng)過t小時同時到達C地，根據(jù)甲乙兩車的路程相差300千米，列方程可求得t的值，最后根據(jù)乙的路程得到B、C之間的距離，則可得出A、C之間的距離．
【詳解】解：由圖象可得：當x=0時，y=300，
∴AB=300千米．
∴甲車的速度=300÷5=60千米/小時，
又∵300÷3=100千米/小時，
∴乙車的速度=100-60=40千米/小時，
設甲、乙兩車出發(fā)后經(jīng)過t小時同時到達C地，依題意可得
60t-40t=300，
解得t=15，
∴B，C兩地的距離=40×15=600千米，
∴A，C兩地的距離=600-300=300千米．
故答案為：300．
【點睛】本題以行程問題為背景，主要考查了一次函數(shù)的應用，解決問題的關鍵是根據(jù)函數(shù)圖象理解題意，求得兩車的速度，并根據(jù)兩車行駛路程的數(shù)量關系列出方程．
17. 如圖，把一張矩形紙片折疊，點與點重合，折痕為，再將沿折疊，點恰好落在上的點處．若厘米，則的長為______厘米．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，由矩形的性質(zhì)可得，，，由折疊的性質(zhì)可得，，，，，，由平角的定義可得，可證是等邊三角形，可求解
【詳解】解：四邊形是矩形
，，
把一張矩形紙片折疊，點與點重合，
，
將沿折疊，點恰好落在上的點處，
，，，
，且
，
，
，
，
，
，，
，且
是等邊三角形
．
故答案為：．
18. 若一個四位數(shù)的千位數(shù)字比百位數(shù)字大1，十位數(shù)字比個位數(shù)字大2，則稱這個四位數(shù)是“驚蟄數(shù)”，若其千位數(shù)字比百位數(shù)字大2，十位數(shù)字比個位數(shù)字大4，則稱這個四位數(shù)是“谷雨數(shù)”．如3220是“驚蟄數(shù)”，6495是“谷雨數(shù)”，最小的“谷雨數(shù)”是______：若、分別是“驚蟄數(shù)”、“谷雨數(shù)”，且它們的個位數(shù)字均為2，、各數(shù)位上的數(shù)字之和分別記為和，若能被10整除．則當取得最大值時，的值是_____．
【答案】 ①. 2040 ②. 4342
【解析】
【分析】本題考查了對題干“谷雨數(shù)”與“驚蟄數(shù)”概念的理解，以及用代數(shù)式表示數(shù)字，根據(jù)未知數(shù)的范圍推算最小值，根據(jù)題意即可得出最小的“谷雨數(shù)”；設“驚蟄數(shù)”千位、百位、十位、個位上的數(shù)字依次為：，，4，2；“谷雨數(shù)”千位、百位、十位、個位上的數(shù)字依次為：，，6，2，再結合a，b取值范圍和能被10整除，即可得出a，b取值情況，分別計算不同情況下的值，再進行比較，即可解題．
【詳解】解：根據(jù)題意，最小的“谷雨數(shù)”，若千位數(shù)字最小，則應為2，百位數(shù)字為0，此時十位數(shù)字最小為4，個位數(shù)字最小為0，則最小的“谷雨數(shù)”是2040；
設“驚蟄數(shù)”千位、百位、十位、個位上的數(shù)字依次為：，，4，2；
“谷雨數(shù)”千位、百位、十位、個位上的數(shù)字依次為：，，6，2，
則，
；
，
；
則，
，
，
，
能被10整除，
為整數(shù)，
即是的因數(shù)，
由題意可知，，（千位上最大的數(shù)字是9），
當取得最大值時，也就是說最大，
，
當時，；
當時，；
即當時，，，
時，最大值為；
當時，，，時，最大值為1.1；
故當時，有最大值，此時的值為：4342．
故答案為：2040，4342．
三、解答題（本大題1個小題，共8分）
19. 一個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點．
（1）求正比例函數(shù)的解析式；
（2）當時，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式，已知函數(shù)值求自變量．
（1）將點代入正比例函數(shù)，求出，即可得到正比例函數(shù)的解析式；
（2）將代入正比例函數(shù)，即可求出x的值．
【小問1詳解】
解：正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
，
，
即正比例函數(shù)的解析式；
【小問2詳解】
解：當時，，
∴．
四、解答題（本大題7個小題，每小題10分，共70分）
20. 等腰三角形的周長為30cm.
(1)若底邊長為xcm，腰長為ycm，寫出y與x的關系式，并注明自變量的取值范圍.
（2）若腰長為xcm，底邊長為ycm，寫出y與x的關系式. 并注明自變量的取值范圍
【答案】（1）(0＜x＜15）;(2)y=30-2x(7.5＜x＜15）.
【解析】
【詳解】試題分析：（1）直接利用三角形周長公式求出y與x函數(shù)關系，進而利用三角形三邊關系得出自變量的取值范圍；
（2）直接利用三角形周長公式求出y與x的函數(shù)關系，進而利用三角形三邊關系得出自變量的取值范圍．
試題解析：
（1）∵等腰三角形的周長為30cm，底邊長為xcm，腰長為ycm，
∴y與x的關系式為：x+2y=30，即y=-x+15，自變量的取值范圍是：0＜x＜15；
（2）∵等腰三角形的周長為30cm，腰長為xcm，底邊長為ycm，
∴y與x的關系式為：y=-2x+30，自變量的取值范圍是：7.5＜x＜15．
21. 2023年前10月，陜西省新能源汽車產(chǎn)量已達82.9萬輛，同比增長，并且全省新能源汽車的“版圖”仍在加速擴張中，如圖是小明在觀察自家購買的某型號新能源純電動汽車充滿電后行駛里程，繪制的蓄電池剩余電量（千瓦時）關于已行駛路程（千米）的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象回答下列問題：
（1）當時，求汽車每消耗1千瓦時用電量能行駛的路程；
（2）求當汽車已行駛160千米時，蓄電池的剩余電量．
【答案】（1）汽車每消耗1千瓦時用電量能行駛路程為5千米
（2）當汽車已行駛160千米時，蓄電池的剩余電量為30千瓦時
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)的應用：
（1）根據(jù)圖象信息蓄電池剩余電量為35千瓦時，汽車已行駛了150千米，據(jù)此計算即可；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，將代入解析式計算出y值即可．
【小問1詳解】
解：由圖象可知，蓄電池剩余電量為35千瓦時，汽車已行駛了150千米，
1千瓦時用電量能行駛的路程為（千米）．
答：汽車每消耗1千瓦時用電量能行駛的路程為5千米．
【小問2詳解】
解：設，把點，代入得：
，
解得，
∴，
當時，．
答：當汽車已行駛160千米時，蓄電池的剩余電量為30千瓦時．
22. 如圖，已知四邊形為平行四邊形，，分別平分和，交于點，，連接，．
（1）若，求的度數(shù)；
（2）求證：．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)．
（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)證明，即可得證．
【小問1詳解】
解：∵平分，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴；
【小問2詳解】
證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
∴．
23. 如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點，與軸相交于點．
（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（2）過點作軸，求的面積．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，掌握待定系數(shù)法求一次、反比函數(shù)解析式的步驟是解題關鍵．
（1）利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，進而求出點B坐標，利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的解析式；
（2）利用三角形的面積公式即可求得結論．
【小問1詳解】
解：∵點雙曲線上，
∴，
∴反比例函數(shù)解析式為：，
∵在雙曲線上，
∴，
則點B的坐標為，
把，代入得：
，解得；
∴一次函數(shù)解析式為：；
【小問2詳解】
解：∵，，，
∴，
∴的面積為．
24. 在中，，，，動點從點出發(fā)沿著折線運動（含端點），運動速度為每秒2個單位，設運動時間是秒，的長度是，請解答下列問題：
（1）請直接寫出與的函數(shù)關系式及的取值范圍；
（2）在平面直角坐標系中畫出函數(shù)圖象，并結合函數(shù)的圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；
（3）根據(jù)圖象直接寫出當時，自變量的取值范圍．
【答案】（1）
（2）作圖見解析，當時，y隨x的增大而減?。?
（3）或
【解析】
【分析】本題考查一次函數(shù)的幾何應用，作函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象求自變量的取值范圍等．
（1）運動路程為，結合圖形即可求解；
（2）先作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象即可解答；
（3）先求出時x的值，結合圖象即可作答．
【小問1詳解】
解：由題意可得：當時，，
當時，，
∴；
【小問2詳解】
如圖所示，
當時，y隨x的增大而減??；
【小問3詳解】
解，令，則或，
∴當時，自變量的取值范圍為：或．
25. 如圖，直線與軸交于點，直線與軸交于點．且經(jīng)過定點，直線與交于點．
（1）求的面積；
（2）在軸上是否存在一點，使的周長最短？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由：
（3）平面內(nèi)是否存在點，使得以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出點的坐標（并請寫出求出其中一個點的過程）．
【答案】（1）6 （2）存在，點E的坐標為
（3）存在，點Q的坐標為或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得兩直線的解析式，再求得點A和點D的坐標，根據(jù)三角形面積公式即可求解；
（2）作點C關于x軸的對稱點，連接交x軸于點E，則的周長最短，先求得直線的函數(shù)解析式，即可求得點E的坐標；
（3）根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，分為平行四邊形的邊和平行四邊形的對角線兩種情況討論，結合點坐標的平移即可求解．
【小問1詳解】
∵直線與x軸交于點A，且經(jīng)過定點，
∴，
解得：，
∴直線．
∵直線經(jīng)過點，
∴，
∴，
把代入，得到．
∴，
對于直線，令，得到，
∴，
∴．
對于直線，令，得到，
∴，
∴．
∵，
∴；
【小問2詳解】
解：在x軸上存在一點E，使的周長最短．
如圖，作點C關于x軸的對稱點，連接交x軸于點E，則的周長最短．
根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)可知的坐標為．
設直線的函數(shù)解析式為．
將代入，得
，
解得，
∴直線的函數(shù)解析式為．
令，得到，
解得，，
∴點E的坐標為．
【小問3詳解】
解：，，，
，
當為平行四邊形的邊時，，
∴
∴點的橫坐標為：或，
點Q的坐標為或，
當為平行四邊形的對角線時，，
點C向右平移2個單位，向下平移2個單位到點A，
則點D向右平移2個單位，向下平移2個單位到點Q，
∴點Q的坐標為，即；
綜上，點Q的坐標為或或．
【點睛】本題考查的是一次函數(shù)的交點問題，軸對稱圖形的性質(zhì)，坐標與圖形面積，平行四邊形的性質(zhì)等知識，第二問利用軸對稱的性質(zhì)找到點E的位置是解題的關鍵，第三問利用平行四邊形的性質(zhì)和點坐標的平移是解題的關鍵．
26. 菱形的對角線交于點．
（1）如圖1，過菱形的頂點作于點，交于點，若，求四邊形的面積；
（2）如圖2，過菱形的頂點作，且，線段交于點，交于點．若、、三點共線，求證：；
（3）如圖3，菱形中，，，點為射線上一動點，連接．將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到，連接，直接寫出線段的最小值．
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）
【解析】
【分析】（1）先證明是等邊三角形，再求出、、、的長，利用即可求得答案；
（2）先證明和是等腰直角三角形，再證明，得到，連接，設，利用勾股定理進行證明即可；
（3）以為邊向下做等邊，連接，在上取一點T，使得，再證明，可得，然后根據(jù)垂線段最短可知，當時，的值最小，最后解直角三角形求出即可．
【小問1詳解】
解：∵四邊形是菱形，
∴ ，與互相垂直平分，
∵，
∴是等邊三角形，
∴ ，，
∴ ，，
在中，由勾股定理得
∵
∴
設，則，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
∴，
∴，
，
，
∴四邊形的面積是；
【小問2詳解】
證明：∵，
∴
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，，垂直平分，，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
如圖4，連接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
設，
在中，
由勾股定理得，
在中，
，
∵ ，
∴，則，
∴，
，
在中，
∵
∴，即；
【小問3詳解】
解：如圖5，以為邊向下做等邊，連接，在上取一點T，使得，
∴
∴
∵，，
∴
∴ ，
當時，線段有最小值，此時有最小值，
∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
設，，
由勾股定理得，
在中，，+
由勾股定理得
∴
解得，
∴ 的最小值為．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了等腰直角三角形、勾股定理、等邊三角形、圖形的旋轉(zhuǎn)、全等三角形、菱形等知識點，難度較大，解題的關鍵在于作出正確的輔助線．

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