山東省青島市部分學校2023-2024學年八年級下學期4月期中數(shù)學試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

親愛的同學們，經(jīng)過一段時間的初中數(shù)學學習，你一定是收獲滿滿！今天我們就一起來做一次回顧之旅吧！
溫馨提示：客觀題需用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．主觀題需將答案寫在答題卡對應(yīng)題號位置上．寫在本試卷上無效．本試卷共三道大題，含26道小題．第1－10小題為“選擇”；11－16小題為“填空”；17－25小題為“解答題”．
一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）
1. 在下面的四個圖形中，能由左圖經(jīng)過平移得到的圖形是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查的是平移的概念，把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同，新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應(yīng)點．連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等．根據(jù)平移的性質(zhì)判斷即可．
【詳解】解：D選項圖形中，是由如圖經(jīng)過平移得到的圖形，
故選：D．
2. 已知，則下列不等式一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．不等式的性質(zhì)：不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；不等式的基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求出答案．
【詳解】解：A、∵，根據(jù)不等式兩邊同時加上一個數(shù)，不等號方向不變可知：，當不一定小于，故選項不成立，不符合題意；
B、∵，根據(jù)不等式兩邊同時乘以一個負數(shù)，不等號方向改變可知：，故選項不成立，不符合題意；
C、∵，當時，不等式不成立，故選項不成立，不符合題意；
D、∵，根據(jù)不等式兩邊同時除以一個正數(shù)，不等號方向不變可知：，故選項成立，符合題意；
故選：D．
3. 下列從左到右的變形，是分解因式的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)分解因式就是把一個多項式化為幾個整式的積的形式的定義判斷，利用排除法求解．
【詳解】A、是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，此選項符合題意；
B、中含有分式，此選項不符合題意；
C、不是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，此選項不符合題意；
D、不是把一個多項式化為幾個整式的積的形式，此選項不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題考查分解因式的定義，解題的關(guān)鍵是掌握分解因式的定義．
4. 已知點在第四象限，則m的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題主要考查了平面直角坐標系內(nèi)各象限內(nèi)點的坐標的特征，解不等式組，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點在第四象限，可得，解出即可求解．
【詳解】解：∵點在第四象限，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴，
在數(shù)軸上表示如下：
故選：C．
5. 用反證法證明命題：“在中，，則”．應(yīng)先假設(shè)（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】假設(shè)結(jié)論不成立，即
【詳解】∵命題：“在中，，則”，
∴假設(shè)為：，
故選：D
【點睛】本題考查了用反證法證明命題，掌握反證法的假設(shè)為結(jié)論不成立是解決問題的關(guān)鍵
6. 如圖，已知中，，，將繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，連接，則的大小為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，由，可求出，由旋轉(zhuǎn)得從而可求出
【詳解】解：∵在中，，，
∴,
又將繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，
∴,
∴，
故選：A
7. 如圖，在中，，是的垂直平分線，恰好平分．若，則的長為（）
A. 4B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，證明是解本題的關(guān)鍵．先證明，，再求解，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：∵是的垂直平分線，
∴，
∴，
∵平分，且，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：A．
8. 如圖，兩個大小一樣的直角三角形重疊在一起，將其中一個三角形沿著方向平移到的位置，若，則陰影部分的面積等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了平移性質(zhì)．正確表示陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．
由平移的性質(zhì)可知，，，，則，根據(jù)，計算求解即可．
【詳解】解：由平移的性質(zhì)可知，，，，
∴，
∴，
故選：B．
9. 王老師準備用60元買鋼筆和墨囊，已知一支鋼筆5元；一盒墨囊8元，他購買了5支鋼筆，則他最多還能買（）盒墨囊．
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查不等式的應(yīng)用，理解題意，設(shè)恰當未知數(shù)，找出不等量關(guān)系，列出不等式是解題的關(guān)鍵．設(shè)他還能買盒墨囊，根據(jù)買冰激凌的錢買手抓餅的錢要小于或等于60元，列不待式求解即可．
【詳解】解：設(shè)他還能買x盒墨囊，根據(jù)題意，得：
，
解得：，
∵x為整數(shù)，
∴他最多還能買4盒墨囊．
故選：B．
10. 如圖，在△ABC中，，按以下步驟作圖．若，則的長是（）
①以點B為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交于點E，F(xiàn)；
②分別以點E，F(xiàn)為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點O；
③作射線，交于點D；
④以點D為圓心，以適當長為半徑作弧，分別交于點M，N；
⑤分別以點M，N為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點G，連接交于點H

A. B. 4C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】過D點作于K，由作法得：平分，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再由直角三角形的性質(zhì)可得，再由勾股定理可得，即可求解．
【詳解】解：過D點作于K，如圖，

由作法得：平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，尺規(guī)作圖，勾股定理，角平分線的性質(zhì)等知識，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（共6小題，每題3分，共18分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查因式分解，提公因式即可分解．
【詳解】解：．
故答案為：
12. 不等式的解集，則m的取值范圍為 ____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)解答即可，本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵不等式的解集，
∴，
解得：．
故答案為：．
13. 線段的兩端點坐標分別為，，經(jīng)過平移后，點A的對應(yīng)點，則點B的對應(yīng)點坐標為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了坐標系中圖形的平移，熟知上加下減，左減右加的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．坐標系中點的平移遵循：上加下減，左減右加的規(guī)律，據(jù)此可由點A平移前后的坐標得出平移方式，即可解答．
【詳解】解：∵點經(jīng)過平移后得到像點，
∴點A的平移方式是先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，
∴點經(jīng)過平移后得到的像點的坐標為；
故答案為：．
14. 如圖，函數(shù)與的圖象相交于點，則關(guān)于的不等式的解集是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：以交點為分界，結(jié)合圖象寫出不等式的解集即可．
【詳解】函數(shù)和的圖象相交于點
不等式，即解集為：函數(shù)的圖像在的函數(shù)圖像上方的范圍
觀察圖可知，解集為
將代入中，
得：
解得：
因此，當時，
即函數(shù)與軸的交點為：
，即解集為：函數(shù)的圖像在軸上方的范圍
解集為：
綜上：不等式的解集為：
故答案為：
15. 若等邊內(nèi)一點P到三邊的距離分別為3，4，5，則的面積為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查等邊三角形的面積，勾股定理，
連接，，，過點P作于點D，于點E，于點F，等邊的邊長為a，則．過點A作于點H，則，，，從而得到方程，求解即可解答．
【詳解】解：如圖，連接，，，過點P作于點D，于點E，于點F，
∴，，，
設(shè)等邊的邊長為a，即，
∴，
過點A作于點H，則，
∴在中，，
∴，
∴，
解得或（不合題意，舍去）
∴．
故答案為：
16. 如圖，在中，，于，的平分線交于點，交于，于，的延長線交于點，下列五個結(jié)論：①；②；③；④；⑤連接，若，則，其中正確的結(jié)論有______．（填序號）
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】證明，可得，故①正確；由，可得，再證明為等腰三角形，從而得到，進而得到，易知，故②正確；結(jié)合可得，進而證明，故③正確；根據(jù)題意無法確定、的大小關(guān)系，則無法得到，故④錯誤；結(jié)合三角形中線的性質(zhì)可得，，進而可得，故⑤正確．
【詳解】解：∵，
∴，
∵是的平分線，
∴，
在和中，
∴，
∴，故①正確；
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，故②正確；
∵，
∴，
∴，故③正確；
根據(jù)題意無法確定的大小、的大小關(guān)系，
∴無法得到，故④錯誤；
∵，
∴，，
∴，
即，
又∵，
∴，故⑤正確．
綜上所述，正確的有①②③⑤．
故答案為：①②③⑤．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、直角兩銳角互余、等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運用是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（共72分）
17. 如圖，已知A，B，C是平面直角坐標系上的三個點．

（1）請畫出關(guān)于原點O對稱的；
（2）將向右平移8個單位得到，請畫出；
（3）與是否也關(guān)于某個點成中心對稱？如果是，請寫出它們對稱中心的坐標，如果不是，請說明理由．
【答案】（1）見解析（2）見解析
（3）與關(guān)于點對稱，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)關(guān)于原點對稱的點橫縱坐標都互為相反數(shù)找到A、B、C對應(yīng)點，然后順次連接即可；
（2）先根據(jù)平移方式找到的對應(yīng)點，然后順次連接即可；
（3）求出中點是同一點，即，則與關(guān)于點對稱．
【小問1詳解】
解：如圖所示，即為所求；
【小問2詳解】
解：如圖所示，即為所求；
【小問3詳解】
解：與關(guān)于點對稱，理由如下：
由題意得，，，，，，，
∴的中點坐標分別為，，，即的中點是同一點，
∴與關(guān)于點對稱．
【點睛】本題主要考查了坐標與圖形變化——平移和中心對稱，畫平移圖形，畫中心對稱圖形，找對稱中心等等，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．
18. 尺規(guī)作圖：如圖所示，一條鐵路經(jīng)過、兩地，計劃修一條經(jīng)過到鐵路的最短公路，并在公路上建一個維修站，使得到、距離相等．
【答案】見解析
【解析】
【分析】本題考查了作垂線，垂線段最短，垂直平分線的性質(zhì)；先過點作的垂線，再作的垂直平分線，兩直線相交于，點即為所求
【詳解】如圖所示，點即為所求；
19. （1）解不等式，并把解集表示在數(shù)軸上．

（2）求不等式組的解集．
（3）因式分解：．
【答案】（1）；數(shù)軸見解析；（2）；（3）
【解析】
【分析】本題主要考查了解不等式和不等式組，因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運算法則，準確計算．
（1）先去括號，然后再移項，合并同類項，最后把系數(shù)化為1，并把解集表示在數(shù)軸上即可；
（2）分別求解兩個不等式，得到不等式組的解集即可；
（3）用提公因式法分解因式即可．
【詳解】解：（1），
去括號得：，
移項，合并同類項得：，
系數(shù)化為1得：，
把解集表示在數(shù)軸上，如圖所示：
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為：；
（3）
．
20. 如圖，中，，，，過的垂直平分線上一點作于，延長線于；且，連接．
（1）求證：；
（2）的長為______．
【答案】（1）見解析（2）
【解析】
【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理；
（1）根據(jù)題意得出，進而證明，即可得證；
（2）勾股定理求得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，，，證明四邊形是矩形，可得，，設(shè)，則，，在，中得出，進而根據(jù)建立方程，解方程得出，進而在中，勾股定理，即可求解．
【小問1詳解】
解：∵，
∴，
在中，
∴，
∴，
【小問2詳解】
∵中，，，，
∴
∵是的垂直平分線，
∴，，，
又∵
∴
∴四邊形是矩形，
∴，，
設(shè)，則，，
∴，
在中，，
在中，
∵
∴
解得：，
∴，
在中，．
故答案為：．
21. 某印刷廠有甲、乙兩種收費方式，除按印數(shù)收取印刷費外，甲種方式還需收取制版費而乙種不需要．兩種印刷方式的費用y（元）與印刷份數(shù)x（份）之間的關(guān)系如圖所示：
（1）填空：甲種收費的函數(shù)表達式是，乙種收費的函數(shù)表達式是．
（2）請你根據(jù)不同的印刷數(shù)量幫忙確定選擇哪種印刷方式較合算．
【答案】（1）y=0.1x+6（x≥0）；y=0.12x（x≥0）（2）當0≤x＜300時，選擇乙種方式較合算；當x=300時，選擇甲乙兩種方式都可以；當x>300時，選擇甲種方式較合算．
【解析】
【分析】（1）設(shè)甲種收費的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)1=kx+b，乙種收費的函數(shù)關(guān)系式是y2=k1x，直接運用待定系數(shù)法就可以求出結(jié)論；
（2）由（1）的解析式分三種情況進行討論，當y1＞y2時，當y1=y2時，當y1＜y2時分別求出x的取值范圍就可以得出選擇方式．
【詳解】解：（1）設(shè)甲種收費的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)1=kx+b，乙種收費的函數(shù)關(guān)系式是y2=k1x，
由題意，得，12=100k1，
解得：，k1=0.12，
∴y1=0.1x+6（x≥0），y2=0.12x（x≥0）；
（2）由01x+6＞0.12x，得x＜300；
由0.1x+6=0.12x，得x=300；
由0.1x+6＜0.12x，得x＞300．
由此可知：當0≤x＜300時，選擇乙種方式較合算；
當x=300時，選擇甲乙兩種方式都可以；
當x>300時，選擇甲種方式較合算．
22. 如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分線分別交BC，CD于E、F．
（1）試說明△CEF是等腰三角形．
（2）若點E恰好在線段AB的垂直平分線上，試說明線段AC與線段AB之間的數(shù)量關(guān)系．
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
【分析】（1）首先根據(jù)條件∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，可證出∠B+∠BAC＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，再根據(jù)同角的補角相等可得到∠ACD＝∠B，再利用三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系可得到∠CFE＝∠CEF，最后利用等角對等邊即可得出答案；
（2）線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE＝BE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠B，由于AE是∠BAC的平分線，得到∠CAE＝∠EAB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵AE是∠BAC的平分線，
∴∠CAE＝∠EAB，
∵∠EAB+∠B＝∠CEA，∠CAE+∠ACD＝∠CFE，
∴∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE，
∴△CEF是等腰三角形；
（2）∵點E恰好在線段AB的垂直平分線上，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B，
∵AE是∠BAC的平分線，
∴∠CAE＝∠EAB，
∴∠CAB＝2∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴AC＝AB．
【點睛】此題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
23. 要制作200個A，B兩種規(guī)格的頂部無蓋木盒，A種規(guī)格是長、寬、高都為的正方體無蓋木盒，B種規(guī)格是長、寬、高各為，，的長方體無蓋木盒，如圖1．現(xiàn)有200張規(guī)格為的木板材，對該種木板材有甲、乙兩種切割方式，如圖2．切割、拼接等板材損耗忽略不計．

（1）設(shè)制作A種木盒x個，則制作B種木盒__________個；若使用甲種方式切割的木板材y張，則使用乙種方式切割的木板材__________張；
（2）該200張木板材恰好能做成200個A和B兩種規(guī)格的無蓋木盒，請分別求出A，B木盒的個數(shù)和使用甲，乙兩種方式切割的木板材張數(shù)；
（3）包括材質(zhì)等成本在內(nèi)，用甲種切割方式的木板材每張成本5元，用乙種切割方式的木板材每張成本8元．根據(jù)市場調(diào)研，A種木盒的銷售單價定為a元，B種木盒的銷售單價定為元，兩種木盒的銷售單價均不能低于7元，不超過18元．在（2）的條件下，兩種木盒的銷售單價分別定為多少元時，這批木盒的銷售利潤最大，并求出最大利潤．
【答案】（1），
（2）制作A種木盒100個，B種木盒100個；使用甲種方式切割的木板150張，使用乙種方式切割的木板50張
（3）A種木盒的銷售單價定為18元，B種木盒的銷售單價定為11元時，這批木盒的銷售利潤最大，最大利潤為1750元
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意即可求解；
（2）根據(jù)題意可得，制作一個A種木盒需要長、寬均為的木板5個，制作一個B種木盒需要長、寬均為的木板1個，長為10cm、寬為的木板4個；甲種方式可切割長、寬均為的木板4個，乙種方式可切割長為10cm、寬為的木板8個；列關(guān)系式求解即可；
（3）先根據(jù)（2）中數(shù)據(jù)求得總成本金額，根據(jù)利潤=售價-成本列式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．
【小問1詳解】
解：∵要制作200個A，B兩種規(guī)格的頂部無蓋木盒，制作A種木盒x個，
故制作B種木盒個；
∵有200張規(guī)格為的木板材，使用甲種方式切割的木板材y張，
故使用乙種方式切割的木板材張；
故答案為：，．
【小問2詳解】
解：使用甲種方式切割的木板材y張，則可切割出個長、寬均為的木板，
使用乙種方式切割的木板材張，則可切割出個長為、寬為的木板；
設(shè)制作A種木盒x個，則需要長、寬均為的木板個，
制作B種木盒個，則需要長、寬均為的木板個，需要長為、寬為的木板個；
故
解得：，
故制作A種木盒100個，制作B種木盒100個，
使用甲種方式切割的木板150張，使用乙種方式切割的木板材50張，
【小問3詳解】
解：∵用甲種切割方式的木板材每張成本5元，用乙種切割方式的木板材每張成本8元，且使用甲種方式切割的木板150張，使用乙種方式切割的木板材50張，
故總成本為（元）；
∵兩種木盒的銷售單價均不能低于7元，不超過18元，
即，
解得：，
故的取值范圍為；
設(shè)利潤為，則，
整理得：，
∵，故隨的增大而增大，
故當時，有最大值，最大值為，
則此時B種木盒的銷售單價定為（元），
即A種木盒的銷售單價定為18元，B種木盒的銷售單價定為11元時，這批木盒的銷售利潤最大，最大利潤為1750元．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系進行列式是解題的關(guān)鍵．
24. 通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的．下面是一個案例，請補充完整．

原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由．
（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，點F、D、G共線．
根據(jù) ，易證△AFG≌ ，得EF=BE+DF．
（2）類比引申
如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不直角，則當∠B與∠D滿足等量關(guān)系時，仍有EF=BE+DF．
（3）聯(lián)想拓展
如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程．
【答案】解：（1）SAS；△AFE．
（2）∠B+∠D=180°．
（3）BD2+EC2=DE2．理由見解析
【解析】
【分析】（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFG≌△AFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；
（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFE≌△AFG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG，即可得出答案；
（3）把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，證明△AFE≌△AFG（SAS），則EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可作出判斷．
【詳解】解：（1）思路梳理
∵AB=AD，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖1，
AI
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，
則∠DAG=∠BAE，AE=AG，BE=DG，
∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，
即∠EAF=∠FAG，
在△EAF和△GAF中，，
∴△AFG≌△AEF（SAS）．
∴EF=FG=DG+DF=BE+DF；
故答案為：SAS；△AFG；
（2）類比引申
∠B+∠ADC=180°時，EF=BE+DF；理由如下：
∵AB=AD，
∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖2所示：

∴∠BAE=∠DAG，BE=DG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，
在△AFE和△AFG中，
∴△AFE≌△AFG（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF，
∴EF=BE+DF，
故答案為：∠B+∠ADC=180°；
（3）聯(lián)想拓展
猜想：DE2=BD2+EC2．理由如下：
把△ACE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°到ABF的位置，連接DF，如圖3所示：

則△ABF≌△ACE，∠FAE=90°，
∴∠FAB=∠CAE．BF=CE，∠ABF=∠C，
∴∠FAE=∠BAC=90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠FAD=90°-45°=45°，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
在△ADF和△ADE中，
∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴DF=DE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
∴∠C=∠ABF=45°，
∴∠DBF=∠ABF+∠ABC=90°，
∴△BDF是直角三角形，
∴BD2+BF2=DF2，
∴BD2+EC2=DE2．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線得出全等三角形，綜合性比較強，有一定的難度．
25. 在平面直角坐標系中，點A在軸的正半軸上，點在第一象限，作射線．給出如下定義：如果點在的內(nèi)部，過點作于點，于點，那么稱與的長度之和為點關(guān)于的“內(nèi)距離”，記作，即．
（1）如圖1，若點在的平分線上，則___________，___________，___________；
（2）如圖2，若，點（其中）滿足，求的值；
（3）若，點在的內(nèi)部，用含，的式子表示（直接寫出結(jié)果）．
【答案】（1）2；2；4
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得，即可得到；
（2）過點C作軸于點M，過點C作于點N，得到，，是等腰直角三角形，由得到，由勾股定理得到，則，可得到，解方程即可得到a的值；
（3）過點Q作軸于點C，交于點D，則四邊形是矩形，證得，即可得到，由勾股定理得到，則，同理可得，則,得到，即可得到答案．
【小問1詳解】
解：∵點在的平分線上，
∴，
，
故答案：2；2；4．
【小問2詳解】
解：過點C作軸于點M，過點C作于點N，

∵點（其中），
∴，，是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
解得：；
【小問3詳解】
解：過點Q作軸于點C，交于點D，則四邊形是矩形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴,
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，勾股定理，含角直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，坐標與圖形，添加合適的輔助線構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．

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