數(shù) 學(xué)
（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿(mǎn)分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合 ， 集合 ， 則 （ ）
A．B．
C．D．
2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的虛部為（ ）
A．B．
C．3D．
3．已知雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)， 離心率為2，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．
C．D．
4．下列函數(shù)中， 既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．
C．D．
5．設(shè) ， 則 “ ” 是 “ ” 的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
6．在中，，則的面積為（ ）
A．B．
C．D．
7．在中，，， 且， 則（ ）
A．B．C．D．
8．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為 ，若，則（ ）
A．54B．63
C．72D．135
9．在平面直角坐標(biāo)系中， 記 為點(diǎn) 到直線(xiàn) 的距離， 則當(dāng) 變化時(shí)， 的最大值與最小值之差為（ ）
A．2B．3C．4D．6
10．如圖， 正方體 中， 點(diǎn) 為線(xiàn)段 上的動(dòng)點(diǎn)， 則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）三棱錐的體積為定值；
（2）直線(xiàn)與平面所成的角的大小不變；
（3）直線(xiàn)與所成的仍的大小不變，
（4）．
A．1B．2C．3D．4
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。
11．的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為 (用數(shù)字作答)
12．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，若，則到直線(xiàn)的距離為： ．
13．若函數(shù) 的最大值為 ， 則 ， ．
14．已知數(shù)列 是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列， 為其前 項(xiàng)和， ， 則 ； 記 ， 若存在 使得 最大， 則 的值為 ．
15．設(shè)，函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)，的最小值為；
②存在， 使得只有一個(gè)零點(diǎn)；
③存在， 使得有三個(gè)不同零點(diǎn)；
④，在上是單調(diào)遞增函數(shù)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。
16．（14分）
如圖，直三棱柱中，，，點(diǎn)是中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）求二面角的余弦值．
17．（13分）
記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．
(1)求；
(2)若，再?gòu)臈l件①，條件②，條件③中選擇一個(gè)條件作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，并求的面積．
條件① ：；條件② ：；條件③ ：．
注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
18．（13分）
2021年10月16日，神舟十三號(hào)載人飛船與天宮空間站組合體完成自主快速交會(huì)對(duì)接，航天員翟志剛?王亞平?葉光富順利進(jìn)駐天和核心艙，由此中國(guó)空間站開(kāi)啟了有人長(zhǎng)期駐留的時(shí)代.2022年4月16日，神舟十三號(hào)載人飛船圓滿(mǎn)完成任務(wù)，平安返回.為普及航天知識(shí)，某市組織中學(xué)生參加“探索太空”知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽分為理論?操作兩個(gè)部分，兩部分的得分均為三檔，分別為100分?200分?300分.現(xiàn)從參加活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)選擇20位，統(tǒng)計(jì)其兩部分成績(jī)，成績(jī)統(tǒng)計(jì)人數(shù)如下表：
例如，表中理論成績(jī)?yōu)?00分且操作成績(jī)?yōu)?00分的學(xué)生有2人.
(1)若從這20位參加測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到理論或操作至少一項(xiàng)成績(jī)?yōu)?00分的學(xué)生概率為.求的值；
(2)在（1）的前提下，用樣本估計(jì)總體，從全市理論成績(jī)?yōu)?00分的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求至少有一個(gè)人操作的成績(jī)?yōu)?00分的概率；
(3)若要使參賽學(xué)生理論成績(jī)的方差最小，寫(xiě)出的值.（直接寫(xiě)出答案）
19．（15分）
已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，A，B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓C上，且直線(xiàn)與的斜率之積為．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線(xiàn)與橢圓分別相交于M，N兩點(diǎn)，直線(xiàn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為E，求的面積S的最大值．
20．（15分）
已知函數(shù)，．
(1)若曲線(xiàn)與曲線(xiàn)相交，且在交點(diǎn)處有共同的切線(xiàn)，求的值和該切線(xiàn)方程；
(2)設(shè)函數(shù)，當(dāng)存在最小值時(shí)，求其最小值的解析式.
21．（15分）
若存在常數(shù)，使得無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足，則稱(chēng)數(shù)列為“Γ數(shù)列．已知數(shù)列為“Γ數(shù)列”．
（1）若數(shù)列中，，試求的值；
（2）若數(shù)列中，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（3）若為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為b，試寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的，并說(shuō)明理由．理論
操作
100分
200分
300分
100分
0
2
1
200分
3
b
1
300分
2
3
a

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