數(shù) 學(xué)
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分，
1．設(shè)集合，，則 ．
2．若復(fù)數(shù)滿足(其中為虛數(shù)單位)，則的虛部是 .
3．已知的展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相等，且，若，則實數(shù)
4．曲線在點處的切線的傾斜角為 ．
5．袋子中有5個大小相同的球，其中紅球2個，白球3個，依次從中不放回的取球，則第一次取到白球且第二次取到紅球的概率是 ；若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到紅球的概率是 .
6．半徑為3的金屬球在機(jī)床上通過切割，加工成一個底面半徑為的圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時，其側(cè)面積為 .
7．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的方差為4，則數(shù)據(jù)，，，，的方差為
8．已知函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為7，最小值為3，則 .
9．已知直線l：與拋物線C：交于，兩點，點A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為點，，若四邊形的面積為，則 ．
10．對于任意兩個數(shù)x，y（x，y∈N*），定義某種運算“◎”如下：
①當(dāng)或時，x◎y＝x+y；
②當(dāng)時，x◎y＝xy．
則集合A＝{（x，y）|x◎y＝10}的子集個數(shù)是 ．
11．已知函數(shù)，則的值域為 ．
12．如圖，已知，為的中點，分別以?為直徑在的同側(cè)作半圓，?分別為兩半圓上的動點(不含端點??)，且，則的最大值為 .
二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題只有一個正確答案，13/14題每題4分，15/16題5分.
13．已知向量，不共線，實數(shù)，滿足，則（ ）
A．4B．C．2D．
14．已知f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且f(1-x)＝f(1+x)，則f(2020)＝（ ）
A．2020B．0C．2D．-2019
15．在中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
16．已知雙曲線的左、右焦點分別是，，經(jīng)過的直線與雙曲線的右支相交于，兩點，且，則雙曲線的離心率等于（ ）
A．B．C．2D．3
三、解答題（本大題78分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.
17．如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，D為的中點．
(1)求證平面；
(2)若E為的中點，求AE與所成的角．
18．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.
(1)若，求；
(2)若，求.
19．為了調(diào)查高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時間之間的相關(guān)關(guān)系，某中學(xué)數(shù)學(xué)教師對新入學(xué)的180名學(xué)生進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，其中每周自主做數(shù)學(xué)題的時間不少于12小時的有76人，統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表：
（1）請完成上面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時間有關(guān)”.
（2）（i）若將頻率視為概率，從全校本學(xué)期檢測數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取12人，求這些人中周自主做數(shù)學(xué)題時間不少于12小時的人數(shù)的期望.
（ii）通過調(diào)查問卷發(fā)現(xiàn)，從全校本學(xué)期檢測數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取12人，這12人周自主做數(shù)學(xué)題時間的情況分三類，類：周自主做數(shù)學(xué)題時間大于等于16小時的有4人；類：周自主做數(shù)學(xué)題時間大于等于12小時小于16小時的有5人；類：周自主做數(shù)學(xué)題時間不足12小時的有3人.若從這隨機(jī)抽出的12人中再隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況，記為抽取的這3名同學(xué)中類人數(shù)和類人數(shù)差的絕對值，求的數(shù)學(xué)期望.
附：參考公式和數(shù)據(jù)：，.
附表：
20．已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上有一點，過點的直線與橢圓交于，兩點．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求的面積的最大值；
(3)已知直線與直線交于點，記，，的斜率分別為，，，證明：為定值．
21．已知常數(shù)，設(shè)，
(1)若，求函數(shù)的最小值；
(2)是否存在，且，，依次成等比數(shù)列，使得、、依次成等差數(shù)列？請說明理由．
(3)求證：“”是“對任意，，都有”的充要條件．
學(xué)生本學(xué)期檢測數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)大于等于120分
學(xué)生本學(xué)期檢測數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)不足120分
合計
周自主做數(shù)學(xué)題時間不少于12小時
60
76
周自主做數(shù)學(xué)題時間不足12小時
64
合計
180
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
參考答案：
1．
【分析】由并集的運算可得.
【詳解】因為集合，，
所以，
故答案為：.
2．
【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，化簡，即可求解.
【詳解】由題意，復(fù)數(shù)滿足，
可得，
所以復(fù)數(shù)的虛部為.
故答案為：.
3．2
【分析】根據(jù)第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相等，可得，然后對取，可得，的值.
【詳解】解：由題可知：，
令，所以，
令，則，
又，
所以，
故答案為：.
4．
【分析】求出函數(shù)在1處的導(dǎo)數(shù)值，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的傾斜角.
【詳解】設(shè)曲線在點處的切線的傾斜角為，則該切線的斜率，
由求導(dǎo)得，則有，即，而，
所以，
故答案為：
5． ##0.3 ##0.5
【分析】由題意設(shè)第一次取到白球為事件A，第二次取到紅球為事件B，由古典概型概率公式和獨立事件的乘法公式分別求出，結(jié)合條件概率公式計算即可求解.
【詳解】由題意，設(shè)第一次取到白球為事件A，第二次取到紅球為事件B，
則，
所以.
故答案為：；.
6．
【分析】根據(jù)題設(shè)可知圓柱體的上下底面是金屬球的兩個截面，求出圓柱的高，再求其側(cè)面積.
【詳解】要使圓柱的體積最大，即圓柱的高最大，
所以僅當(dāng)圓柱上下底面是金屬球的截面時高最大，為，
所以側(cè)面積為.
故答案為：.
7．16
【分析】令原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，求出新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再利用方差公式計算得出答案．
【詳解】設(shè)原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，，
因此新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
新數(shù)據(jù)的方差為：．
故答案為：16
8．##
【分析】分析在的單調(diào)性，求出的范圍，根據(jù)最值建立等式，解出即可.
【詳解】解：取，解得，
所以在上單調(diào)遞增，
即在上單調(diào)遞減，
因為在閉區(qū)間上有最大值為7，最小值為3，
所以，且，，
即，解得，
因為，所以，故.
故答案為：
9．4
【分析】直線l與拋物線聯(lián)立，根據(jù)拋物線定義得，再根據(jù)直線的斜率得直角梯形的高，通過計算梯形的面積可求解.
【詳解】易知直線l過拋物線的焦點，聯(lián)立方程可得，所以，，
由拋物線定義，可得A，B到準(zhǔn)線的距離分別為，，
而，
由直線方程為，設(shè)直線的傾斜角為，則，從而，
四邊形為直角梯形，其高設(shè)為，則，
所以，解得．
故答案為：
10．2048
【分析】由新定義化簡集合，從而確定子集的個數(shù)．
【詳解】由新定義知，A＝{（x，y）|x◎y＝10}

共11個元素，
故其子集的個數(shù)為，
故答案為：2048．
11．
【分析】結(jié)合基本不等式和函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解.
【詳解】設(shè)，函數(shù)，
可得，，根據(jù)基本不等式和的圖像，
可判斷函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
，，，
所以值域為：.
故答案為：

12．
【分析】以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)，可得以為直徑的半圓方程，以為直徑的半圓方程，設(shè)出的坐標(biāo)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換可得，再由余弦函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，計算可得最大值．
【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，可得
以為直徑的半圓方程為
以為直徑的半圓方程為 ，
設(shè)
，
可得
即有，即
又 可得 ，即 ，
，
則



可得 即時， 的最大值為，
故答案為：1．
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查向量的坐標(biāo)運算，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及圓的參數(shù)方程的運用，三角函數(shù)的恒等變換，解答本題的關(guān)鍵是建立平面坐標(biāo)系，得出，，由得出，由，屬于中檔題.
13．A
【分析】由已知結(jié)合平面向量基本定理可求，，進(jìn)而求出答案.
【詳解】由，不共線，實數(shù)，滿足，
得，解得，，
所以.
故選：A
14．B
【解析】由f(x)是奇函數(shù)得到f(-x)＝-f(x)．由f(1-x)＝f(1+x)得到 f(x+4)＝-f(x+2)＝f(x)，即f(x)是以4為周期的函數(shù)，可求f(2020)的值．
【詳解】因為f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以f(-x)＝-f(x)，f(0)=0，因為f(1-x)＝f(1+x)，
所以f(x+2)＝f(-x)，即f(x+2)＝-f(x)，所以f(x+4)＝-f(x+2)＝f(x)，
所以f(x)是以4為周期的函數(shù)，所以f(2020)＝f(505×4+0)＝f(0)＝0．
故選：B．
15．C
【分析】由已知結(jié)合射影定理化簡可得，然后對所求式子進(jìn)行化簡，結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】在中，由射影定理有，
即，整理可得，
由正弦定理有：，即，
所以：
，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.
故選：C
16．C
【分析】設(shè)，由已知結(jié)合雙曲線的定義用表示，利用等腰三角形性質(zhì)求出，再在中利用余弦定理列式即可求得雙曲線的離心率．
【詳解】令，由，得，
由雙曲線的定義，得，則，
而，因此，，，，
在等腰中，，
令雙曲線的半焦距為c，
在中，由余弦定理得：，
即，整理得，則，
所以雙曲線的離心率.
故選：C
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】由已知，可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出平面的法向量為，并求解，然后通
過計算，即可證明平面；
（2）由第（1）問建立起的空間直角坐標(biāo)系，分別表示出和，然后計算夾角即可.
【詳解】（1）∵在三棱柱，平面ABC，∴平面ABC，∴，又∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，故AB，BC，兩兩垂直，如圖，以B為坐標(biāo)原點，BA所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系B－xyz．
設(shè)，則，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，得．
∵，
∴，又平面，則平面.
得證.
（2）若為的中點，則，
，
，
由，可得，
則AE與所成的角為．
18．(1)
(2)
【分析】（1）解法1：由可得，由正弦定理和余弦定理將等式邊化角即可求出；解法2：由正弦定理可得，結(jié)合兩角和的正弦公式、二倍角的正弦和余弦公式，化簡可得，再由余弦定理代入即可求出；
（2）由可得，再由余弦定理即可求出；解法2：由正弦定理邊化角化簡已知表達(dá)式可得，再結(jié)合兩角和的正弦公式，二倍角的正弦和余弦公式化簡即可求出.
【詳解】（1）解法1：
代入，得.
解法2：由正弦定理可得：：
代入化簡，
則，
則，
因為，所以，解得：；
由余弦定理可得：，
代入化簡得，解得（負(fù)值舍）.
（2）解法1：
，
，又
所以.
解法2：因為，所以，
代入，
，
，
因為，則，
化簡：，
當(dāng)時，則，則，舍去不滿足題意；
當(dāng)時，則，因為，所以.
19．（1）列聯(lián)表見解析，能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時間有關(guān)”；（2）（i）7.2；（ii）.
【分析】（1）由題意補(bǔ)充完整列聯(lián)表，并求得卡方值，與10.828進(jìn)行比較，即可判斷相關(guān)性；
（2）（i）從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，此人周做題時間不少于12小時的概率為，設(shè)該事件為Y，則，從而求得期望；
（ii）的可能取值0，1，2，3，分別求得概率，根據(jù)期望公式，求得期望.
【詳解】解：（1）列聯(lián)表：
.
∴能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時間有關(guān)”.
（2）（i）從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，此人周做題時間不少于12小時的概率為，
設(shè)從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，這些人中周做題時間不少于12小時的人數(shù)為隨機(jī)變量，則，
故.
（ii）的可能取值0，1，2，3，
則，
，
，
，
，
∴的數(shù)學(xué)期望是.
20．(1)
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）由題意得，，將點代入橢圓可得，聯(lián)立求解可得，，即可得出答案；
（2）由題意可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，整理得，利用韋達(dá)定理和三角形的面積公式，表示出與的關(guān)系式，利用基本不等式，即可得出答案；
（3）由（2）得，，分別表示出，，，化簡計算，即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）由題意得，①，
將點代入橢圓得②，
聯(lián)立①②可得，即，
可得，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）可得右焦點，顯然直線的斜率不為0，且直線與橢圓必相交，
設(shè)直線的方程為，設(shè)，，
由（1）得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
聯(lián)立方程，消去y整理得，
則，，
可得的面積
，
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
可知，
所以的面積的最大值為.
（3）由（2）得直線的方程為，則，
且，，
則
，
故為定值，且值為0．
【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
21．(1)
(2)答案見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）求導(dǎo)分析的符號，的單調(diào)性，最值，即可得出答案．
（2）根據(jù)題意可得，，則，分兩種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，討論是否滿足條件，即可得出答案．
（3）由，借助換元法，令，可得，分別證明充分性和必要性，即可得出答案．
【詳解】（1）當(dāng)時，，則，
在上，單調(diào)遞減，
在上，單調(diào)遞增，
所以；
（2）若、、依次成等比數(shù)列，則，
若、、成等差數(shù)列，則，
所以，
所以，
當(dāng)時，成立，
當(dāng)時，則，聯(lián)立，得，
，即，
所以，與矛盾，
所以時，存在，，滿足條件，
當(dāng)時，不存在，，滿足條件；
（3），則，
，
所以，
又
，
令，
上式
，
令，則恒成立，單調(diào)遞減，
所以，
充分性：若，則，則恒成立，
必要性：要使得式恒成立，則恒成立，即．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵點在于對“對任意，，都有”的轉(zhuǎn)化，借助換元法，可得其等價為“對任意，，都有，其中”.
分?jǐn)?shù)大于等于120分
分?jǐn)?shù)不足120分
合計
周做題時間不少于12小時
60
16
76
周做題時間不足12小時
40
64
104
合計
100
80
180

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