數(shù) 學(xué)
（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6題每題4分，7-12題每題5分，
1．設(shè)集合，，，則 ．
2．若復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則的虛部是 ．
3．已知的展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且，若，則實(shí)數(shù) ．
4．曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為 ．
5．袋子中有5個(gè)大小相同的球，其中紅球2個(gè)，白球3個(gè)，依次從中不放回的取球，則第一次取到白球且第二次取到紅球的概率是 ；若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到紅球的概率是 ．
6．半徑為3的金屬球在機(jī)床上通過切割，加工成一個(gè)底面半徑為的圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，其側(cè)面積為 ．
7．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，，，的方差為4，則數(shù)據(jù)，，，，的方差為 ．
8．已知函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為7，最小值為3，則 ．
9．已知直線與拋物線交于，，，兩點(diǎn)，點(diǎn)，在準(zhǔn)線上的射影分別為點(diǎn)，，若四邊形的面積為，則 ．
10．對于任意兩個(gè)數(shù)，，定義某種運(yùn)算“◎”如下：
①當(dāng)或時(shí)，◎；
②當(dāng)時(shí)，◎．
則集合◎的子集個(gè)數(shù)是 ．
11．已知函數(shù)，則的值域?yàn)? ．
12．如圖，已知，為的中點(diǎn)，分別以、為直徑在的同側(cè)作半圓，、分別為兩半圓上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)、、，且，則的最大值為 ．
二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題只有一個(gè)正確答案，13/14題每題4分，15/16題5分。
13．已知向量，不共線，實(shí)數(shù)，滿足，則
A．4B．C．2D．
14．已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，則
A．2020B．0C．2D．
15．在中，角、、的對邊分別是、、，若，則的最大值為
A．B．C．D．
16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，經(jīng)過的直線與雙曲線的右支相交于，兩點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率等于
A．B．C．2D．3
三、解答題（本大題78分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟。
17（14分）如圖，在三棱柱中，平面，，，為的中點(diǎn)．
（1）求證平面；
（2）若為的中點(diǎn)，求與所成的角．
18．（14分）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．
（1）若，，求；
（2）若，求．
19．（14分）為了調(diào)查高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系，某中學(xué)數(shù)學(xué)教師對新入學(xué)的180名學(xué)生進(jìn)行了跟蹤調(diào)查，其中每周自主做數(shù)學(xué)題的時(shí)間不少于12小時(shí)的有76人，統(tǒng)計(jì)成績后，得到如下的列聯(lián)表：
（1）請完成上面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”；
（2）（?。┤魧㈩l率視為概率，從全校本學(xué)期檢測數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取12人，求這些人中周自主做數(shù)學(xué)題時(shí)間不少于12小時(shí)的人數(shù)的期望．
（ⅱ）通過調(diào)查問卷發(fā)現(xiàn)，從全校本學(xué)期檢測數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取12人，這12人周自主做數(shù)學(xué)題時(shí)間的情況分三類，類：周自主做數(shù)學(xué)題時(shí)間大于等于16小時(shí)的有4人：類：周自主做數(shù)學(xué)題時(shí)間大于等于12小時(shí)小于16小時(shí)的有5人：類：周自主做數(shù)學(xué)題時(shí)間不足12小時(shí)的有3人．若從這隨機(jī)抽出的12人中再隨機(jī)抽取3人進(jìn)一步了解情況，記為抽取的這3名同學(xué)中類人數(shù)和類人數(shù)差的絕對值，求的數(shù)學(xué)期望．
附：參考公式和數(shù)據(jù)：，．
附表：
20．（18分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上有一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求的面積的最大值；
（3）已知直線與直線交于點(diǎn)，記，，的斜率分別為，，，證明：為定值．
21．(18分）已知常數(shù)，設(shè)．
（1）若，求函數(shù)的最小值；
（2）是否存在，且、、依次成等比數(shù)列，使得、、依次成等差數(shù)列？請說明理由．
（3）求證：“”是“對任意，，，都有”的充要條件．
學(xué)生本學(xué)期檢測數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)大于等于120分
學(xué)生本學(xué)期檢測數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)不足120分
合 計(jì)
周做題時(shí)間不少于12小時(shí)
60
76
周做題時(shí)間不足12小時(shí)
64
合 計(jì)
180
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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