數(shù) 學(xué)
（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，，若，則滿足集合的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4B．6C．7D．8
2．若復(fù)數(shù)的實(shí)部為，則點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．直徑為2的圓B．實(shí)軸長為2的雙曲線
C．直徑為1的圓D．虛軸長為2的雙曲線
3．《天工開物》是我國明代科學(xué)家宋應(yīng)星所著的一部綜合性科學(xué)技術(shù)著作，書中記載了一種制造瓦片的方法.某校高一年級(jí)計(jì)劃實(shí)踐這種方法，為同學(xué)們準(zhǔn)備了制瓦用的粘土和圓柱形的木質(zhì)圓桶，圓桶底面外圓的直徑為，高為.首先，在圓桶的外側(cè)面均勻包上一層厚度為的粘土，然后，沿圓桶母線方向?qū)⒄惩翆臃指畛伤牡确荩ㄈ鐖D），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同學(xué)制作四片瓦，全年級(jí)共500人，需要準(zhǔn)備的粘土量（不計(jì)損耗）與下列哪個(gè)數(shù)字最接近.（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A．B．C．D．
4．某校組織校慶活動(dòng)，負(fù)責(zé)人將任務(wù)分解為編號(hào)為的四個(gè)子任務(wù)，并將任務(wù)分配給甲、乙、丙3人，且每人至少分得一個(gè)子任務(wù)，則甲沒有分到編號(hào)為的子任務(wù)的分配方法共有（ ）
A．12種B．18種C．24種D．36種
5．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．當(dāng)，時(shí)，.這個(gè)基本不等式可以推廣為當(dāng)x，時(shí)，，其中 且，.考慮取等號(hào)的條件，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)，.用這個(gè)式子估計(jì)可以這樣操作：，則.用這樣的方法，可得的近似值為（ ）
A．3.033B．3.035C．3.037D．3.039
7．分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦-曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照?qǐng)D①的分形規(guī)律生長成一個(gè)圖②的樹形圖，則在圖②中第2023行的黑心圈的個(gè)數(shù)是（ ）
A．B．
C．D．
8．記橢圓：與圓：的公共點(diǎn)為，，其中在的左側(cè)，是圓上異于，的點(diǎn)，連接交于，若，則的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．下列說法中，正確的是（ ）
A．一組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為12
B．若樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為2
C．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則
D．在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，零假設(shè)為：分類變量和獨(dú)立．基于小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)時(shí)，我們就推斷不成立，即認(rèn)為和不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；當(dāng)時(shí)，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為和獨(dú)立
10．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，不恒為零，且，則（ ）
A．
B．為偶函數(shù)
C．在處取得極小值
D．若，則
11．如圖，平面，，M為線段AB的中點(diǎn)，直線MN與平面的所成角大小為30°，點(diǎn)P為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．以為球心，半徑為2的球面在平面上的截痕長為
B．若P到點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是一條直線
C．若P到直線MN的距離為1，則的最大值為
D．滿足的點(diǎn)P的軌跡是橢圓
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．若向量，，//，則 .
13．在中，，，，點(diǎn)在線段AB的延長線上，且，則 ．
14．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義、兩點(diǎn)之間的“直角距離”為．已知兩定點(diǎn)，，則滿足的點(diǎn)M的軌跡所圍成的圖形面積為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．（13分）
甲?乙兩人進(jìn)行中國象棋比賽，采用五局三勝制，假設(shè)他們沒有平局的情況，甲每局贏的概率均為，且每局的勝負(fù)相互獨(dú)立，
(1)求該比賽三局定勝負(fù)的概率；
(2)在甲贏第一局的前提下，設(shè)該比賽還需要進(jìn)行的局?jǐn)?shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
16．（15分）
如圖，在圓臺(tái)中，為軸截面，為下底面圓周上一點(diǎn)，為下底面圓內(nèi)一點(diǎn)，垂直下底面圓于點(diǎn).
(1)求證：平面平面；
(2)若為等邊三角形，求平面和平面的交線與平面所成角的正弦值.
17．（15分）
在個(gè)數(shù)碼構(gòu)成的一個(gè)排列中，若一個(gè)較大的數(shù)碼排在一個(gè)較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構(gòu)成逆序（例如，則與構(gòu)成逆序），這個(gè)排列的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記為，例如，，
(1)計(jì)算；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式；
(3)設(shè)排列滿足，求，
18．（17分）
已知雙曲線的焦距為，點(diǎn)在上.
(1)求的方程;
(2)直線與的右支交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)在軸上的投影為點(diǎn).
（?。┣蟮娜≈捣秶?；
（ⅱ）求證：直線過點(diǎn).
19．（17分）
已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；
(2)時(shí)；
（?。┤?，求的取值范圍；
（ⅱ）證明：．

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