數(shù) 學(xué)
（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知某地最近天每天的最高氣溫（單位：）分別為，則天最高氣溫的第百分位數(shù)是（ ）
A．15B．21C．D．22
2．已知向量，若向量滿足，且，則的值是（ ）
A．B．12C．20D．
3．已知數(shù)列為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和.若成等差數(shù)列，則（ ）
A． B．C．D．
4．已知函數(shù)，，那么“”是“在上是增函數(shù)”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
5．“142857”這一串?dāng)?shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個(gè)數(shù)之一，當(dāng)142857與1至6中任意1個(gè)數(shù)字相乘時(shí)，乘積仍然由1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字組成．若從1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字中任選4個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5200的偶數(shù)個(gè)數(shù)是（ ）
A．87B．129C．132D．138
6．如圖，四棱錐是棱長均為2的正四棱錐，三棱錐是正四面體，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．點(diǎn)共面 B．平面平面 C．D．平面
7．已知函數(shù)對均滿足，其中是的導(dǎo)數(shù)，則下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C．D．
8．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過作圓的一條切線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若是非零復(fù)數(shù)，且，則D．若是非零復(fù)數(shù)，則
10．在中，角所對的邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．若，則為直角三角形
C．若為銳角三角形，的最小值為1
D．若為銳角三角形，則的取值范圍為
11．已知函數(shù)的定義域和值域均為，對于任意非零實(shí)數(shù)，函數(shù)滿足：，且在上單調(diào)遞減，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．在定義域內(nèi)單調(diào)遞減D．為奇函數(shù)
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知集合，則 .
13．若的展開式中有理項(xiàng)的系數(shù)和為2，則展開式中的系數(shù)為 ．
14．如圖，將正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，余下的多面體就成為一個(gè)半正多面體，亦稱“阿基米德體”．點(diǎn)A，B，M是該多面體的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)N是該多面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，且總滿足，若，則該多面體的表面積為 ，點(diǎn)N軌跡的長度為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．（13分）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且是的極值點(diǎn).
(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值.
16．（15分）如圖1，在等邊三角形中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn).如圖2，以為折痕將折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置（平面），連接.
(1)證明：平面平面；(2)當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.
17．（15分）已知某種機(jī)器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V．在上述三種狀態(tài)下，該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．
(1)求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率；
(2)從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時(shí)n的值．
附：若，取，．
18．（17分）如圖，已知四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且A，B在第一象限，軸，拋物線在點(diǎn)A處的切線為l，且．
(1)設(shè)直線的斜率分別為k和，求的值；
(2)P為與的交點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，若，求的取值范圍．
19．（17分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列滿足：①數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限為；②；③，則稱數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”.
(1)若等比數(shù)列為“10階可控?fù)u擺數(shù)列”，求的通項(xiàng)公式；
(2)若等差數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)已知數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且存在，使得，探究：數(shù)列能否為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，若能，請給出證明過程；若不能，請說明理由.

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