第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知某地最近天每天的最高氣溫（單位：）分別為，則天最高氣溫的第百分位數(shù)是（ ）
A．15B．21C．D．22
【答案】C
【詳解】將此組數(shù)據(jù)從小到大排列：，
且共有個(gè)數(shù)，因?yàn)?，所以第百分位?shù)為.
故選：C.
2．已知向量，若向量滿足，且，則的值是（ ）
A．B．12C．20D．
【答案】A
【詳解】由可設(shè)，
由可得，解得，
所以，則.
故選：A
3．已知數(shù)列為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和.若成等差數(shù)列，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
若成等差數(shù)列，可得：，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)恒成立，
即為，得，即，顯然不成立；
當(dāng)時(shí)，即為：，其中，
得，得或（舍去），
，
故選：A.
4．已知函數(shù)，，那么“”是“在上是增函數(shù)”的（ ）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】當(dāng)，, 單調(diào)遞增.
則當(dāng)時(shí)，是增函數(shù),
當(dāng)時(shí), 在單調(diào)遞增，可得在上是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí), 在單調(diào)遞增，可得在上是增函數(shù)；
反之，當(dāng)在上是增函數(shù)時(shí)，由，可知，此時(shí)，即不成立.
所以“”是“在上是增函數(shù)”的充分而不必要條件.
故選：A.
5．“142857”這一串?dāng)?shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個(gè)數(shù)之一，當(dāng)142857與1至6中任意1個(gè)數(shù)字相乘時(shí)，乘積仍然由1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字組成．若從1，4，2，8，5，7這6個(gè)數(shù)字中任選4個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則在這些組成的四位數(shù)中，大于5200的偶數(shù)個(gè)數(shù)是（ ）
A．87B．129C．132D．138
【答案】A
【詳解】若千位數(shù)字是5，則百位數(shù)字不能是1，故共有（個(gè)）；
（①一個(gè)四位數(shù)為偶數(shù)，則其個(gè)位上的數(shù)字一定是偶數(shù)；②組成的四位數(shù)要大于5200，則其千位上的數(shù)字是5，7或8）
若千位數(shù)字是7，則共有（個(gè)）；
若千位數(shù)字是8，則共有（個(gè)）．
故符合條件的四位數(shù)共有（個(gè)）．
故選：A
6．如圖，四棱錐是棱長均為2的正四棱錐，三棱錐是正四面體，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A．點(diǎn)共面B．平面平面
C．D．平面
【答案】D
【詳解】選項(xiàng)A：如圖，取中點(diǎn)，連接，，，，
因?yàn)槭钦睦忮F，是正四面體，為的中點(diǎn)，
所以，，，
因?yàn)?，平面，所以平面?br>因?yàn)?，平面，所以平面?br>所以四點(diǎn)共面，
由題意知，，所以四邊形是平行四邊形，
所以，因?yàn)?，所以，所以四點(diǎn)共面，故A說法正確；
選項(xiàng)B：由選項(xiàng)A知，又平面，平面，所以平面，
因?yàn)?，且平面，平面，所以平面?br>又平面，平面，且，所以平面平面，故B說法正確；
C選項(xiàng)：由選項(xiàng)A可得平面，又平面，所以，故C說法正確；
D選項(xiàng)：假設(shè)平面，因?yàn)槠矫?，則，
由選項(xiàng)A知四邊形是平行四邊形，所以四邊形是菱形，
與，矛盾，故D說法錯(cuò)誤;
故選：D
7．已知函數(shù)對均滿足，其中是的導(dǎo)數(shù)，則下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【詳解】，令，求導(dǎo)得：，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
對于A，，則，即，A正確；
對于B，，則，即，B錯(cuò)誤；
對于C，，則，即，C錯(cuò)誤；
對于D，，則，即，D錯(cuò)誤．
故選：A
8．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過作圓的一條切線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立，化簡得，
設(shè)，，則由根與系數(shù)的關(guān)系得①，
又，所以，代入①得②，
又直線與圓相切，所以，即，代入②整理得，
得，因此橢圓的離心率，故B正確.
故選：B．
【點(diǎn)睛】將直線與橢圓聯(lián)立后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及幾何關(guān)系，從而求解.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．若是非零復(fù)數(shù)，且，則D．若是非零復(fù)數(shù)，則
【答案】BC
【詳解】對于A項(xiàng)，若，，顯然滿足，但，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于B項(xiàng)，設(shè)，則，，故而，故B項(xiàng)正確；
對于C項(xiàng)，由可得：，因是非零復(fù)數(shù)，故，即，故C項(xiàng)正確；
對于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，是非零復(fù)數(shù)，但 ，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC.
10．在中，角所對的邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．若，則為直角三角形
C．若為銳角三角形，的最小值為1
D．若為銳角三角形，則的取值范圍為
【答案】ABD
【詳解】對于中，由正弦定理得，
由，得，即，
由，則，故，所以或，
即或（舍去），即，A正確；
對于B，若，結(jié)合和正弦定理知，
又，所以可得，B正確；
對于，在銳角中，，即.
故，C錯(cuò)誤；
對于，在銳角中，由，
，
令，則，
易知函數(shù)單調(diào)遞增，所以可得，D正確；
故選：ABD.
11．已知函數(shù)的定義域和值域均為，對于任意非零實(shí)數(shù)，函數(shù)滿足：，且在上單調(diào)遞減，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．在定義域內(nèi)單調(diào)遞減D．為奇函數(shù)
【答案】BC
【詳解】對于，令，則，
因，故得，故A正確；
對于由，
令，則，
則，即，
故是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
于是，故B錯(cuò)誤；
對于，由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，
令，則①，
把都取成，可得②，
將②式代入①式，可得，
化簡可得即為奇函數(shù)，故D正確；
對于C，在上單調(diào)遞減，函數(shù)為奇函數(shù)，可得在上單調(diào)遞減，
但是不能判斷在定義域上的單調(diào)性，例如，故C錯(cuò)誤.
故選：BC.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于對已知的函數(shù)抽象表達(dá)式的處理，一般以賦值化簡為主，根據(jù)選項(xiàng)信息對自變量進(jìn)行針對性賦值，求出函數(shù)值，或者推導(dǎo)出遞推式，或者構(gòu)造出的關(guān)系式即可判斷奇偶性等.
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知集合，則 .
【答案】
【詳解】，解得，故；
，解得，故，故.
故答案為：
13．若的展開式中有理項(xiàng)的系數(shù)和為2，則展開式中的系數(shù)為 ．
【答案】1
【詳解】
時(shí)為有理項(xiàng)，，
由系數(shù)：,
故答案為：1.
14．如圖，將正四面體每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，余下的多面體就成為一個(gè)半正多面體，亦稱“阿基米德體”．點(diǎn)A，B，M是該多面體的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)N是該多面體表面上的動點(diǎn)，且總滿足，若，則該多面體的表面積為 ，點(diǎn)N軌跡的長度為 ．

【答案】
【詳解】根據(jù)題意該正四面體的棱長為，點(diǎn)分別是正四面體棱的三等分點(diǎn)．
該正四面體的表面積為，
該多面體是正四面體截去頂角所在的小正四面體，
每個(gè)角上小正四面體的側(cè)面面積為，
每個(gè)角上小正四面體的底面面積為，
所以該多面體的表面積為：．
如圖設(shè)點(diǎn)為該多面體的一個(gè)頂點(diǎn)，為所在棱的頂點(diǎn)，則，

在中，，
則，所以， 得，即；
同理，，
由，平面，所以平面．
由點(diǎn)是該多面體表面上的動點(diǎn)，且總滿足，
則點(diǎn)的軌跡是線段，
所以點(diǎn)軌跡的長度為：．
故答案為：；
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．（13分）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且是的極值點(diǎn).
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值.
【答案】(1)
(2)增區(qū)間為，減區(qū)間為，最小值為，無最大值
【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，1分
因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn)，且是的極值點(diǎn)，
可得，解得，3分
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；5分
所以函數(shù)的解析式為.6分
（2）解：由（1）知，
令，解；令，解，8分
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，10分
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，無最大值.12分
即函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，最小值為，無最大值.13分
16．（15分）如圖1，在等邊三角形中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn).如圖2，以為折痕將折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置（平面），連接.
(1)證明：平面平面；
(2)當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，1分
由題意易知，，，
2分
不妨設(shè)，則，
由余弦定理可知，
，4分
由勾股定理知，
所以，5分
又平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面；7分
（2）
分別取中點(diǎn)，連接，8分
由余弦定理可知，而，
顯然，則，
易知，，
又平面，
所以平面，9分
因?yàn)槠矫?，所以，則兩兩垂直，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，
取，即，12分
設(shè)直線與平面所成角為，
則，14分
所以直線與平面所成角的正弦值為.15分
17．（15分）已知某種機(jī)器的電源電壓U（單位：V）服從正態(tài)分布．其電壓通常有3種狀態(tài)：①不超過200V；②在200V~240V之間③超過240V．在上述三種狀態(tài)下，該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率分別為0.15，0.05，0.2．
(1)求該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率；
(2)從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n（）件，記其中恰有2件不合格品的概率為，求取得最大值時(shí)n的值．
附：若，取，．
【答案】(1)0.09；
(2).
【詳解】（1）記電壓“不超過200V”、“在200V~240V之間”、“超過240V”分別為事件A，B，C，“該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品”為事件D．1分
因?yàn)?，所以?br>，
．4分
所以
，6分
所以該機(jī)器生產(chǎn)的零件為不合格品的概率為0.09．7分
（2）從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取n件，設(shè)不合格品件數(shù)為X，則，9分
所以．10分
由，解得．13分
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；所以最大．
因此當(dāng)時(shí)，最大．15分
18．（17分）如圖，已知四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上，且A，B在第一象限，軸，拋物線在點(diǎn)A處的切線為l，且．

(1)設(shè)直線的斜率分別為k和，求的值；
(2)P為與的交點(diǎn)，設(shè)的面積為，的面積為，若，求的取值范圍．
【答案】(1)0
(2)
【詳解】（1）設(shè)，，，1分
由軸得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由得，，
所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為，3分
又，由得，所以，
因?yàn)?，?分
所以；7分
（2）因?yàn)?，所以，?br>所以直線的方程為，即，8分
由，得，
所以，得，
又直線的方程為，即，
由，得，
所以，得，
所以直線的方程為，即，
所以，11分
由，即，解得：，12分
因?yàn)?，?br>所以，
，
所以，15分
又，所以，即的取值范圍為.17分
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是建立用解析思想解決幾何問題，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)，從而達(dá)到解決幾何問題的目的.
19．（17分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列滿足：①數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限為；②；③，則稱數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”.
(1)若等比數(shù)列為“10階可控?fù)u擺數(shù)列”，求的通項(xiàng)公式；
(2)若等差數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)已知數(shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，且存在，使得，探究：數(shù)列能否為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，若能，請給出證明過程；若不能，請說明理由.
【答案】(1)或
(2)
(3)不能，理由見解析
【詳解】（1）若，則，解得，則，與題設(shè)矛盾，舍去；1分
若，則，得，
而，解得或，3分
故或.4分
（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，則，則，6分
由，得，
而，故，8分
兩式相減得，即，
又，得，
所以.10分
（3）記中所有非負(fù)項(xiàng)之和為，負(fù)項(xiàng)之和為，
因?yàn)閿?shù)列為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，則得，11分
故，所以.
若存在，使得，即，
則，
且.12分
假設(shè)數(shù)列也為“階可控?fù)u擺數(shù)列”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則
因?yàn)?，所?13分
所以；
又，則.15分
所以；
即與不能同時(shí)成立.
故數(shù)列不為“階可控?fù)u擺數(shù)列”.17分

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