數(shù) 學(xué)
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．2B．1C．D．
2．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
3．在平行四邊形中，點滿足，則（ ）
A．B．
C．D．
4．記等差數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．14B．72C．36D．60
5．湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年（1591年），因鴻雁南北遷徙時常在境內(nèi)停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點文物保護(hù)單位.為測量來雁塔的高度，因地理條件的限制，分別選擇C點和一建筑物DE的樓頂E為測量觀測點，已知點A為塔底，在水平地面上，來雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如圖所示）.測得，在C點處測得E點的仰角為30°，在E點處測得B點的仰角為60°，則來雁塔AB的高度約為（ ）（，精確到）
A．B．C．D．
6．已知是函數(shù)的極小值點，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．已知為圓上的動點，點滿足，記的軌跡為，則下列說法錯誤的是（ ）
A．軌跡是一個半徑為3的圓
B．圓與軌跡有兩個交點
C．過點作圓的切線，有兩條切線，且兩切點的距離為
D．點為直線上的動點，則PB的最小值為
8．在側(cè)棱長為2的正三棱錐中，點為線段上一點，且，則以為球心，為半徑的球面與該三棱錐三個側(cè)面交線長的和為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．下圖是樣本甲與樣本乙的頻率分布直方圖，下列說法判斷正確的是（ ）
A．樣本乙的極差一定大于樣本甲的極差
B．樣本乙的眾數(shù)一定大于樣本甲的眾數(shù)
C．樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差
D．樣本甲的中位數(shù)一定小于樣本乙的中位數(shù)
10．下列對函數(shù)的判斷中，正確的有（ ）
A．函數(shù)為奇函數(shù)
B．函數(shù)的最大值為
C．函數(shù)的最小正周期為
D．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸
11．設(shè)為坐標(biāo)原點，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線與軸的交點為，過點的直線與拋物線交于兩點，過點分別作的垂線，垂足分別為，，則下列說法正確的有（ ）
A．
B．
C．
D．
第二部分（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．的展開式中的系數(shù)為 .
13．將一個直角三角板放置在桌面上方，如圖，記直角三角板為，其中，記桌面為平面.若，且與平面所成的角為，則點到平面的距離的最大值為 .
14．若實數(shù)，滿足，則 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．（13分）
在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)分別為，以為圓心作一個半徑為4的圓，點 是圓上一動點，線段的重直平分線與直線相交于點．
(1)求的軌跡的方程；
(2)已知，點是軌跡在第一象限內(nèi)的一點，為的中點，若直線的斜率為，求點的坐標(biāo)．
16．（15分）
在三棱柱中，已知，，，，M是BC的中點．
(1)求證：；
(2)在棱上是否存在點P，使得二面角的正弦值為？若存在，求線段AP的長度；若不存在，請說明理由．
17．（15分）
某校為了豐富課余活動，同時訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維能力，在高中三個年級舉辦中國象棋盲棋比賽，經(jīng)過各年級初賽，高一、高二、高三分別有3人，4人，5人進(jìn)入決賽，決賽采取單循環(huán)方式，即每名隊員與其他隊員都要進(jìn)行1場比賽（每場比賽都采取5局3勝制，初賽、決賽的賽制相同，記分方式相同），最后根據(jù)積分選出冠軍，積分規(guī)則如下：比賽中以3∶0或3∶1取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分；而在比賽中以3∶2取勝的隊員積2分，失敗的隊員積1分．
(1)從進(jìn)入決賽的12人中隨機抽取2人進(jìn)行表演賽，這2人恰好來自不同年級的概率是多少？
(2)初賽時，高三甲、乙兩同學(xué)對局，設(shè)每局比賽甲取勝的概率均為，記甲以取勝的概率為，當(dāng)最大時，甲處于最佳競技狀態(tài)．在決賽階段甲、乙對局，而且甲的競技狀態(tài)最好，求甲所得積分的分布列及期望．
18．（17分）
已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若存在正數(shù)，使成立，求的取值范圍；
(3)若，證明：對任意，存在唯一的實數(shù)，使得成立.
19．（17分）
已知是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前項的最大值記為，即；前 項的最小值記為，即，令（），并將數(shù)列稱為的“生成數(shù)列”．
(1)若，求其生成數(shù)列的前項和；
(2)設(shè)數(shù)列的“生成數(shù)列”為，求證：；
(3)若是等差數(shù)列，證明：存在正整數(shù)，當(dāng)時，，，，是等差數(shù)列．

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