【要點(diǎn)歸納|典例解析】
考點(diǎn)01實(shí)數(shù)
1．?dāng)?shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度和正方向的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸上所有的點(diǎn)與全體實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng).
2．相反數(shù)：只有符號(hào)不同，而絕對(duì)值相同的兩個(gè)數(shù)稱為互為相反數(shù)，若a、b互為相反數(shù)，則a+b=0.
3．倒數(shù)：1除以一個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)所得的商，叫做這個(gè)數(shù)的倒數(shù).若a、b互為倒數(shù)，則ab=1.
4．絕對(duì)值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，記作 |a|.
5．（1）按照定義分類(lèi)
（2）按照正負(fù)分類(lèi)

注意：0既不屬于正數(shù)，也不屬于負(fù)數(shù).另外，在理解無(wú)理數(shù)時(shí)，要注意“無(wú)限不循環(huán)”，歸納起來(lái)有四類(lèi)：
（1）開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如，等；
（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡(jiǎn)后含有π的數(shù)，如等；
（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.101 001 000 1…等；
（4）某些三角函數(shù)，如sin60°等.
6．科學(xué)記數(shù)法：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于10時(shí)，寫(xiě)成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)，寫(xiě)成a×10?n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數(shù)左邊第一個(gè)非零的數(shù)字前的所有零的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的零）.
7．近似數(shù)：近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度通常用精確度來(lái)表示，近似數(shù)一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.
8．二次根式的性質(zhì)
（1）≥ 0（≥0）；（2）； （3）；
（4）；（5）．
9．二次根式的運(yùn)算
（1）二次根式的加減
合并同類(lèi)二次根式：在二次根式的加減運(yùn)算中，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，若有同類(lèi)二次根式，可把同類(lèi)二次根式合并成一個(gè)二次根式．
（2）二次根式的乘除
乘法法則：；除法法則：．
（3）二次根式的混合運(yùn)算
二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的．
在運(yùn)算過(guò)程中，乘法公式和有理數(shù)的運(yùn)算律在二次根式的運(yùn)算中仍然適用．
10．?dāng)?shù)的乘方：求 QUOTE n個(gè)相同因數(shù)a的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫冪.在an中，a叫底數(shù)，n叫指數(shù).
11．實(shí)數(shù)的運(yùn)算：
（1）有理數(shù)的運(yùn)算定律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都適用，常用的運(yùn)算定律有加法結(jié)合律 、加法交換律 、乘法交換律 、乘法結(jié)合律、 乘法分配律.
（2）運(yùn)算順序：先算乘方（開(kāi)方），再算乘除，最后算加減；有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.
12．指數(shù)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a≠0，則a0=1；若a≠0，n為正整數(shù)，則.
13．?dāng)?shù)的大小比較常用以下幾種方法：數(shù)軸比較法、差值比較法、絕對(duì)值比較法、乘方比較法、中間值比較法等等.
14、特殊角的三角函數(shù)值
1．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）的倒數(shù)是（ ）
A．B．2023C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)相乘等于1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，即可求解．
【詳解】解：的倒數(shù)是，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了倒數(shù)，掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）8的相反數(shù)是（ ）
A．B．8C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可得．
【詳解】解：8的相反數(shù)是，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義，掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·湖南邵陽(yáng)）－2022的絕對(duì)值是（ ）
A．B．C．－2022D．2022
【答案】D
【分析】直接利用絕對(duì)值定義判斷即可．
【詳解】解：-2022的絕對(duì)值是2022，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的定義，明確負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)是解題關(guān)鍵．
4．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）﹣8的立方根是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．不存在
【答案】C
【分析】根據(jù)立方根的定義進(jìn)行解答．
【詳解】∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了立方根，解決本題的關(guān)鍵是數(shù)積立方根的定義．
5.（2022·江西）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】ABC.根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)a、b的位置可知，，，∴，故AB錯(cuò)誤，C正確；
根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)a、b的位置可知，，故D錯(cuò)誤．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)，熟練掌握數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)，越向右越大，是解題的關(guān)鍵．
6．（2023年安徽省滁州市南片五校中考二模數(shù)學(xué)試卷）的倒數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)倒數(shù)的概念，乘積為的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，由此即可求解．
【詳解】解：的倒數(shù)是，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，掌握倒數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．
7.（2022·山東泰安）的倒數(shù)是（ ）
A．B．C．5D．
【答案】A
【詳解】根據(jù)兩個(gè)數(shù)乘積是1的數(shù)互為倒數(shù)的定義，因此求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)即用1除以這個(gè)數(shù)．所以結(jié)合絕對(duì)值的意義，得的倒數(shù)為．故選A．
8．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）下列各數(shù)中，正整數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類(lèi)即可求解．
【詳解】解：是正整數(shù)，是小數(shù)，不是整數(shù)，不是正數(shù)，不是正數(shù)，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的分類(lèi)，熟練掌握有理數(shù)的分類(lèi)是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）已知，則a、b、c的大小關(guān)系是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由，，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握．
10.（2022·湖南邵陽(yáng)）5月29日騰訊新聞報(bào)道，2022年第一季度，湖南全省地區(qū)生產(chǎn)總值約為11000億元，11000億用科學(xué)記數(shù)法可表示為，則的值是（ ）
A．0.11B．1.1C．11D．11000
【答案】B
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，整數(shù)位數(shù)減1即可．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．
【詳解】解：因?yàn)?億=108，所以11000億用科學(xué)記數(shù)法表示為1.1×104×108=1.1×1012．故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值大于1的數(shù)．解題的關(guān)鍵是關(guān)鍵知道1億=108，要正確確定a的值以及n的值．
11.（2022·四川自貢）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)乘方運(yùn)算，平方差公式，同底數(shù)冪的除法法則，零指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可．
【詳解】A.，故A錯(cuò)誤；B.，故B正確；
C.，故C錯(cuò)誤；D.，故D錯(cuò)誤．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握平方差公式，同底數(shù)冪的除法法則，零指數(shù)冪的運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）下列各數(shù)中，為有理數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)立方根、無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的概念即可得．
【詳解】解：A、，是有理數(shù)，則此項(xiàng)符合題意；
B、是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，是無(wú)理數(shù)，則此項(xiàng)不符合題意；
C、是無(wú)理數(shù)，則此項(xiàng)不符合題意；
D、是無(wú)理數(shù)，則此項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了立方根、無(wú)理數(shù)與有理數(shù)，熟記無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．
13．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）下列各數(shù)中，最小的是（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正數(shù)大于零，零大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小判斷即可．
【詳解】解：∵2，1是正數(shù)，，是負(fù)數(shù)，
∴最小數(shù)的是在，里，
又，，且，
∴，
∴最小數(shù)的是．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了有理數(shù)大小比較，解答此題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)大小比較法則．
14.（2022·四川涼山）化簡(jiǎn)：＝（ ）
A．±2B．－2C．4D．2
【答案】D
【分析】先計(jì)算（-2）2=4，再求算術(shù)平方根即可．
【詳解】解：，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）8的立方根為_(kāi)_____．
【答案】2
【分析】根據(jù)立方根的意義即可完成．
【詳解】∵
∴8的立方根為2
故答案為：2.
【點(diǎn)睛】本題考查了立方根的意義，掌握立方根的意義是關(guān)鍵．
16．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）的平方根是_______．
【答案】±2
【詳解】解：∵
∴的平方根是±2．
故答案為：±2．
17．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：________．
【答案】6
【分析】根據(jù)絕對(duì)值、零指數(shù)冪法則計(jì)算即可．
【詳解】解：．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．
18．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)，則__________0.(用“”“”或“”填空)

【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)軸可得，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：由數(shù)軸可得
∴
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，有理數(shù)加法的運(yùn)算法則，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
19．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．
【答案】
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪、算術(shù)平方根的定義、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的意義，計(jì)算即可．
【詳解】解：原式，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了零指數(shù)冪、算術(shù)平方根的定義、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的意義．本題的關(guān)鍵是注意各部分的運(yùn)算法則，細(xì)心計(jì)算．
20.（2022·新疆）計(jì)算：
【答案】
【分析】分別計(jì)算有理數(shù)的乘方、絕對(duì)值、二次根式及零指數(shù)冪，再進(jìn)行加減即可．
【詳解】解：原式．
【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方，絕對(duì)值和二次根式的化簡(jiǎn)及零指數(shù)冪的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，正確運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．要熟練掌握：任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零次冪都等于1，．
21．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．
【答案】3
【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪運(yùn)算法則，特殊角的三角函數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪運(yùn)算法則，特殊角的三角函數(shù)值，準(zhǔn)確計(jì)算．
22.（2022·四川瀘州）計(jì)算：．
【答案】2
【分析】根據(jù)零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角三角函數(shù)、絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．
【詳解】原式==2．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
23．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：
【答案】
【分析】先計(jì)算有理數(shù)的乘方、零指數(shù)冪、特殊角的余弦值、化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再計(jì)算乘法與加減法即可得．
【詳解】解：原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查了零指數(shù)冪、特殊角的余弦值、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
24.（2022·湖南邵陽(yáng)）計(jì)算：．
【答案】5-
【分析】先計(jì)算零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪、銳角三角函數(shù)值，再計(jì)算二次根式的乘法和加減法．
【詳解】解：=1+4-2×=5-．
【點(diǎn)睛】此題考查了零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪、銳角三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪、銳角三角函數(shù)值的計(jì)算法則．
25．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算．
【答案】3
【分析】根據(jù)化簡(jiǎn)絕對(duì)值，零指數(shù)冪以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：原式．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握化簡(jiǎn)絕對(duì)值，零指數(shù)冪以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵．
26.（2022·湖南株洲）計(jì)算：．
【答案】3
【分析】分別計(jì)算負(fù)數(shù)的偶次冪、二次根式、特殊角的正弦值，再進(jìn)行加減即可．
【詳解】解：．
【點(diǎn)睛】本題考查負(fù)數(shù)的偶次冪、二次根式化簡(jiǎn)以及特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
27．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．
【答案】6
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)、負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值分別化簡(jiǎn)計(jì)算即可得出答案．
【詳解】解：
．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)、負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
28．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：
【答案】
【分析】先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、算術(shù)平方根、零指數(shù)冪、減法運(yùn)算，再進(jìn)行加減混合運(yùn)算即可．
【詳解】解：
【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
29．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）計(jì)算：
【答案】
【分析】根據(jù)立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及二次根式的運(yùn)算可進(jìn)行求解．
【詳解】解：原式
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及二次根式的運(yùn)算，熟練掌握立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
30．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：
【答案】
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，冪的運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【詳解】
．
【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，冪的運(yùn)算，熟記三角函數(shù)值，零指數(shù)冪的運(yùn)算公式是解題的關(guān)鍵．
31.（2022·四川德陽(yáng)）計(jì)算：．
【答案】
【分析】根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)，零指數(shù)冪的定義，特殊角的三角函數(shù)值，絕對(duì)值的性質(zhì)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則分別化簡(jiǎn)后再進(jìn)行實(shí)數(shù)的加減法運(yùn)算．
【詳解】解：．
【點(diǎn)睛】此題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，正確掌握二次根式的化簡(jiǎn)，零指數(shù)冪的定義，特殊角的三角函數(shù)值，絕對(duì)值的性質(zhì)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)02整式
1．單項(xiàng)式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)，數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù).
注： eq \\ac(○,1)單項(xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，如，這種表示就是錯(cuò)誤的，應(yīng)寫(xiě)成； eq \\ac(○,2)一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。如是6次單項(xiàng)式。
2．多項(xiàng)式：由幾個(gè)單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).
3．整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.
4．同類(lèi)項(xiàng)：多項(xiàng)式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類(lèi)項(xiàng).
5．整式的加減：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類(lèi)項(xiàng).
6．冪的運(yùn)算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=.
7．整式的乘法：
（1）單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.
（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（3）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.
8．乘法公式：
（1）平方差公式：.
（2）完全平方公式：.
9．整式的除法：
（1）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)、同底數(shù)的冪分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被除式含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的因式.
（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加.
10．把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)因式積的形式，叫做因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算.
11．因式分解的基本方法：
（1）提取公因式法：.
（2）公式法：
運(yùn)用平方差公式：.
運(yùn)用完全平方公式：.
12．分解因式的一般步驟：
（1）如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，應(yīng)先提取公因式;
（2）如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，可以嘗試使用公式法：
為兩項(xiàng)時(shí)，考慮平方差公式；
為三項(xiàng)時(shí)，考慮完全平方公式；
為四項(xiàng)時(shí)，考慮利用分組的方法進(jìn)行分解;
（3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止.
以上步驟可以概括為“一提二套三檢查”.
1．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)可判斷A，根據(jù)完全平方公式可判斷B，根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式可判斷C，根據(jù)積的乘方與冪的乘方運(yùn)算可判斷D，從而可得答案．
【詳解】解：，不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故A不符合題意；
，故B不符合題意；
，故C不符合題意；
，故D符合題意；
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查的是合并同類(lèi)項(xiàng)，完全平方公式的應(yīng)用，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，積的乘方與冪的乘方運(yùn)算的含義，熟記基礎(chǔ)運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
2．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)法則、同底數(shù)冪的乘法法則、同底數(shù)冪的除法法則、冪的乘方法則分別計(jì)算即可．
【詳解】解：與不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，故B選項(xiàng)正確；
，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查合并同類(lèi)項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、冪的乘方，熟練掌握各項(xiàng)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）分解因式：（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平方差公式分解即可．
【詳解】．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
4.（2022·江蘇宿遷）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由合并同類(lèi)項(xiàng)可判斷A，由同底數(shù)冪的乘法可判斷B，由積的乘方運(yùn)算可判斷C，由冪的乘方運(yùn)算可判斷D，從而可得答案．
【詳解】解：， 故A不符合題意；
， 故B不符合題意；
， 故C符合題意；
， 故D不符合題意；故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查的是合并同類(lèi)項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘法，積的乘方運(yùn)算，冪的乘方運(yùn)算，掌握以上基礎(chǔ)運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵．
5．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）下列計(jì)算，結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法可判斷A，根據(jù)冪的乘方可判斷B，根據(jù)積的乘方可判斷C，根據(jù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算可判斷D，從而可得答案．
【詳解】解：，運(yùn)算正確，故A符合題意；
，原運(yùn)算錯(cuò)誤，故B不符合題意；
，原運(yùn)算錯(cuò)誤，故C不符合題意；
，原運(yùn)算錯(cuò)誤，故D不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，積的乘方，同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的含義，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
6.（2022·四川眉山）下列運(yùn)算中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，合并同類(lèi)項(xiàng)，完全平方公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則分析選項(xiàng)即可知道答案．
【詳解】解：A. ，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則可知：，故選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
B. ，和不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
C. ，根據(jù)完全平方公式可得：，故選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；
D. ，根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則可知選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法法則，合并同類(lèi)項(xiàng)，完全平方公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法法則，合并同類(lèi)項(xiàng)，完全平方公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則．
7．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）若，則( )
A．5B．1C．D．0
【答案】A
【分析】把變形后整體代入求值即可．
【詳解】∵，
∴
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，利用整體思想是解題的關(guān)鍵．
8.（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)因式分解的概念可進(jìn)行排除選項(xiàng)．
【詳解】解：A、，屬于整式的乘法，故不符合題意；
B、，不符合幾個(gè)整式乘積的形式，不是因式分解；故不符合題意；
C、，屬于因式分解，故符合題意；
D、因?yàn)椋砸蚴椒纸忮e(cuò)誤，故不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解的概念是解題的關(guān)鍵．
9.（2022·浙江紹興）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、同底數(shù)冪的乘法、完全平方公式、冪的乘方法則逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A、，原式計(jì)算正確；
B、，原式計(jì)算錯(cuò)誤；
C、，原式計(jì)算錯(cuò)誤；
D、，原式計(jì)算錯(cuò)誤；故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、同底數(shù)冪的乘法、完全平方公式和冪的乘方，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】先計(jì)算單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可．
【詳解】解：，
故選：B.
【點(diǎn)睛】此題考查了整式的四則混合運(yùn)算，熟練掌握單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)積的乘方以及同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方以及同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握積的乘方以及同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
12.（2022·四川成都）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)法則、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則、完全平方公式及平方差公式進(jìn)行運(yùn)算，即可一一判定．
【詳解】解：A.，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B.，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C.，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D.，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類(lèi)項(xiàng)法則、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則、完全平方公式及平方差公式，熟練掌握和運(yùn)用各運(yùn)算法則和公式是解決本題的關(guān)鍵．
13．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，合并同類(lèi)項(xiàng)法則，完全平方公式，進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：A、 ，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
B、 ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C、 ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
D、，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，合并同類(lèi)項(xiàng)，完全平方公式，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法，同底數(shù)冪的除法，合并同類(lèi)項(xiàng)法則，完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）若，則括號(hào)內(nèi)應(yīng)填的單項(xiàng)式是( )
A．a(chǎn)B．C．D．
【答案】A
【分析】將已知條件中的乘法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】解：∵，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式除法的應(yīng)用，弄清被除式、除式和商之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
15．（2023·上海·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法，合并同類(lèi)項(xiàng)，冪的乘方，二次根式的化簡(jiǎn)等計(jì)算即可．
【詳解】解：A、，故正確，符合題意；
B、，故錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，故錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，故錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的除法，合并同類(lèi)項(xiàng)，冪的乘方，二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
16.（2022·江蘇蘇州）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通過(guò)，判斷A選項(xiàng)不正確；C選項(xiàng)中、不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并；D選項(xiàng)中，單項(xiàng)式與單項(xiàng)式法則：把單項(xiàng)式的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式；B選項(xiàng)正確．
【詳解】A. ，故A不正確；
B. ，故B正確；
C. ，故C不正確；
D. ，故D不正確；故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)、有理數(shù)的除法及整式的運(yùn)算，靈活運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
17．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算的結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】運(yùn)用積的乘方法則、冪的乘方法則即可得出結(jié)果．
【詳解】解：，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方法則、冪的乘方法則，熟練運(yùn)用積的乘方法則、冪的乘方法則是解題的關(guān)鍵．
18．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．
C．D．．
【答案】D
【分析】根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)，完全平方公式，冪的乘方，單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式法則，進(jìn)行計(jì)算后判斷即可．
【詳解】解：A、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、，故選項(xiàng)正確，符合題意；
故選:D．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．
19.（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾市·中考真題）下列等式從左到右變形，屬于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)因式分解的定義解答．
【詳解】
解：中不是整式，故A選項(xiàng)不符合題意；
是整式乘法計(jì)算，故B選項(xiàng)不符合題意；
是因式分解，故C選項(xiàng)符合題意；
不是分解為整式的乘積形式，故D選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】
此題考查因式分解的定義：將一個(gè)多項(xiàng)式寫(xiě)成幾個(gè)整式的積的形式叫做將多項(xiàng)式分解因式，熟記定義是解題的關(guān)鍵．
20．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，冪的乘方、合并同類(lèi)項(xiàng)以及同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算后再判斷即可．
【詳解】解：A. ，計(jì)算正確，故選項(xiàng)A符合題意；
B. ，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，故選項(xiàng)B不符合題意；
C. 與不是同類(lèi)項(xiàng)不能合并，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，故選項(xiàng)C不符合題意；
D. ，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，故選項(xiàng)D不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，冪的乘方、合并同類(lèi)項(xiàng)以及同底數(shù)冪的乘法，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
21．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）已知，則的值是（ ）
A．6B．C．D．4
【答案】D
【分析】變形為，將變形為，然后整體代入求值即可．
【詳解】解：由得：，
∴
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式混合運(yùn)算法則，將變形為．
22．（2023·遼寧丹東·?？级＃┮蚴椒纸猓篲_____．
【答案】
【分析】直接提取公因式m，進(jìn)而分解因式即可．
【詳解】解：m2-4m=m(m-4)．
故答案為：m(m-4)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．
23．（2022春·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式：=__________
【答案】
【詳解】解：
故答案為：.
24．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）若，，則的值是___________________．
【答案】6
【分析】先提公因式分解原式，再整體代值求解即可．
【詳解】解：，
∵，，
∴，
∴原式，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法，利用整體思想方法是解答的關(guān)鍵．
25.（2022·四川樂(lè)山）已知，則______．
【答案】
【分析】根據(jù)已知式子，湊完全平方公式，根據(jù)非負(fù)數(shù)之和為0，分別求得的值，進(jìn)而代入代數(shù)式即可求解．
【詳解】解：，
，
即，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
26．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）已知實(shí)數(shù)a，b，滿足，，則的值為_(kāi)_____．
【答案】42
【分析】首先提取公因式，將已知整體代入求出即可．
【詳解】
．
故答案為：42．
【點(diǎn)睛】此題考查了求代數(shù)式的值，提公因式法因式分解，整體思想的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
27.（2022·山東濱州）若，，則的值為_(kāi)______．
【答案】90
【分析】將變形得到，再把，代入進(jìn)行計(jì)算求解．
【詳解】解：∵，，
∴ ．故答案為：90．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，完全平方公式的應(yīng)用，靈活運(yùn)用完全平方公式是解答關(guān)鍵．
28．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）因式分解：______．
【答案】
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】題目主要考查因式分解的方法，熟練掌握提公因式法及公式法是解題關(guān)鍵．
29．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）因式分解：_______．
【答案】
【分析】先分組，然后根據(jù)提公因式法，因式分解即可求解．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
30．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）因式分解：________．
【答案】
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【詳解】解：，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查的是綜合提公因式與公式法分解因式，掌握因式分解的方法與步驟是解本題的關(guān)鍵．
31．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）分解因式：_______．
【答案】
【分析】首先提公因式，原式可化為，再利用公式法進(jìn)行因式分解可得結(jié)果．
【詳解】解：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是因式分解的運(yùn)算，掌握因式分解運(yùn)算的順序“一提，二套，三分組，十字相乘做輔助”，利用合適方法進(jìn)行因式分解，注意分解要徹底．
32．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）已知實(shí)數(shù)a，b，滿足，，則的值為_(kāi)_____．
【答案】42
【分析】首先提取公因式，將已知整體代入求出即可．
【詳解】
．
故答案為：42．
【點(diǎn)睛】此題考查了求代數(shù)式的值，提公因式法因式分解，整體思想的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．
33．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）已知實(shí)數(shù)滿足，則_________．
【答案】8
【分析】由題意易得，然后整體代入求值即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴
；
故答案為8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解及整體思想，熟練掌握利用整體思維及因式分解求解整式的值．
34．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，24
【分析】先展開(kāi)，合并同類(lèi)項(xiàng)，后代入計(jì)算即可．
【詳解】
當(dāng)時(shí)，
原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，完全平方公式的計(jì)算，熟練掌握兩個(gè)公式是解題的關(guān)鍵．
35.（2022·江蘇蘇州）已知，求的值．
【答案】，3
【分析】先將代數(shù)式化簡(jiǎn)，根據(jù)可得，整體代入即可求解．
【詳解】原式．
∵，
∴．
∴原式．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法運(yùn)算，代數(shù)式化簡(jiǎn)求值，整體代入是解題的關(guān)鍵．
35.（2022·湖南衡陽(yáng)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】利用平方差公式與多項(xiàng)式乘法法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代值計(jì)算．
【詳解】解：原式，
將，代入式中得：
原式．
【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘法與平方差公式，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
37．（2021·湖南永州市·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，7．
【分析】
先計(jì)算完全平方公式、平方差公式，再計(jì)算整式的加減法，然后將代入求值即可得．
【詳解】
解：原式，
，
將代入得：原式．
【點(diǎn)睛】
本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，熟記完全平方公式和平方差公式是解題關(guān)鍵．
考點(diǎn)03分式
1．分式的定義
（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么稱為分式．
（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．
【注】①若B≠0，則有意義；②若B=0，則無(wú)意義；③若A=0且B≠0，則=0．
2．分式的基本性質(zhì)
分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變．
用式子表示為或，其中A，B，C均為整式．
3．約分及約分法則
（1）約分：把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分．
（2）約分法則：把一個(gè)分式約分，如果分子和分母都是幾個(gè)因式乘積的形式，約去分子和分母中相同因式的最低次冪；分子與分母的系數(shù)，約去它們的最大公約數(shù)．如果分式的分子、分母是多項(xiàng)式，先分解因式，然后約分．
【注】約分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．約分的關(guān)鍵是找出分子和分母的公因式．
4．最簡(jiǎn)分式
分子、分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式．
【注】約分一般是將一個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分式，分式約分所得的結(jié)果有時(shí)可能成為整式．
5．通分及通分法則
（1）通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來(lái)的分式相等的同分母的分式，這一過(guò)程稱為分式的通分．
（2）通分法則
把兩個(gè)或者幾個(gè)分式通分：
①先求各個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母（即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同因式的最高次冪和所有不同因式的積）；
②再用分式的基本性質(zhì)，用最簡(jiǎn)公分母除以原來(lái)各分母所得的商分別去乘原來(lái)分式的分子、分母，使每個(gè)分式變?yōu)榕c原分式的值相等，而且以最簡(jiǎn)公分母為分母的分式；
③若分母是多項(xiàng)式，則先分解因式，再通分．
【注】通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母．
6．最簡(jiǎn)公分母：幾個(gè)分式通分時(shí)，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡(jiǎn)公分母．
7．分式的運(yùn)算
（1）分式的加減 ①同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減．用式子表示為：．
②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笤偌訙p．
用式子表示為：．
（2）分式的乘法
乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．用式子表示為：．
（3）分式的除法
除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．
用式子表示為：．
（4）分式的乘方
乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示為：為正整數(shù)，．
（5）分式的混合運(yùn)算
含有分式的乘方、乘除、加減的多種運(yùn)算叫做分式的混合運(yùn)算．
混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號(hào)的，先算括號(hào)里的．
1．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算的結(jié)果等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)異分母分式加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：
；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了異分母分式加減法法則，解答關(guān)鍵是按照相關(guān)法則進(jìn)行計(jì)算．
2.（2022·湖南懷化）代數(shù)式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【答案】B
【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含字母則不是，根據(jù)此依據(jù)逐個(gè)判斷即可．
【詳解】分母中含有字母的是，，，∴分式有3個(gè)，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的定義，能夠準(zhǔn)確判斷代數(shù)式是否為分式是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算的結(jié)果為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)分式的加法運(yùn)算可進(jìn)行求解．
【詳解】解：原式；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
4.（2022·天津）計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】利用同分母分式的加法法則計(jì)算，約分得到結(jié)果即可．
【詳解】解：．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減，解題的關(guān)鍵是掌握分式加減運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．
5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)分式的加減混合運(yùn)算法則即可求出答案.
【詳解】解：
.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握分式加減混合運(yùn)算法則.
6．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）已知，計(jì)算的值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后把代入原式即可求出答案．
【詳解】解：
=
=
=，
∵，
∴，
∴原式==1，
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查分式的混合運(yùn)算及求值．解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算法則．
7.（2021·黑龍江大慶市·中考真題）已知，則分式與的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．不能確定
【答案】A
【分析】
將兩個(gè)式子作差，利用分式的減法法則化簡(jiǎn)，即可求解．
【詳解】
解：，
∵，
∴，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查分式的大小比較，掌握作差法是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）化簡(jiǎn)：的結(jié)果為_(kāi)_______．
【答案】2
【分析】根據(jù)同分母分式的減法計(jì)算法則解答即可．
【詳解】解：；
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了同分母分式減法計(jì)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
9．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）化簡(jiǎn)：_______．
【答案】
【分析】先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，同時(shí)將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解．
【詳解】解：
；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．
【答案】
【分析】先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的加法，再計(jì)算除法即可．
【詳解】解：
【點(diǎn)睛】此題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算法則和順序是解題的關(guān)鍵．
11.（2022·四川瀘州）化簡(jiǎn)：
【答案】
【分析】直接根據(jù)分式的混合計(jì)算法則求解即可．
【詳解】解：
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的混合計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．
12．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算的法則把原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把x的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】
∵
∴原式．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟知分式混合運(yùn)算的法則是解答此題的關(guān)鍵．
13.（2022·新疆）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】1
【分析】根據(jù)平方差公式、完全平方公式和分式的混合運(yùn)算法則對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把a(bǔ)值代入求解即可．
【詳解】解：
，
∵，
∴原式．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)：，再?gòu)倪x擇中一個(gè)合適的數(shù)作為x的值代入求值．
【答案】；1
【分析】先根據(jù)分式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，然后再代入數(shù)據(jù)求值即可．
【詳解】解：
，
∵，，
∴把代入得：原式．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．
15.（2022·四川樂(lè)山）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先將括號(hào)內(nèi)的通分、分式的除法變乘法，再結(jié)合完全平方公式即可化簡(jiǎn)，代入x的值即可求解．
【詳解】
，
∵，
∴原式=．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式混合運(yùn)算，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵
16.（2022·陜西）化簡(jiǎn)：．
【答案】
【分析】分式計(jì)算先通分，再計(jì)算乘除即可．
【詳解】解：原式．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，正確地計(jì)算能力是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
17.（2022·四川達(dá)州）化簡(jiǎn)求值：，其中．
【答案】，
【分析】先將分子因式分解，再進(jìn)行通分，然后根據(jù)分式減法法則進(jìn)行計(jì)算，最后再根據(jù)分式除法法則計(jì)算即可化簡(jiǎn)，再把a(bǔ)的值代入計(jì)算即可求值．
【詳解】解：原式＝
；
當(dāng)時(shí)，原式＝．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化，熟練掌握分式的運(yùn)算法則以及正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)04方程
1．等式的性質(zhì)
（1）等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得的結(jié)果仍是等式．
（2）等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的數(shù)，所得的結(jié)果仍是等式．
2．方程:含有未知數(shù)的等式叫做方程．
3．方程的解:使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解；求方程的解的過(guò)程叫做解方程．
4．一元一次方程:只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)為1，這樣的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式為． 注意：x前面的系數(shù)不為0．
5．一元一次方程的解：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．
6．一元一次方程的求解步驟
注意：解方程時(shí)移項(xiàng)容易忘記改變符號(hào)而出錯(cuò)，要注意解方程的依據(jù)是等式的性質(zhì)，在等式兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)代數(shù)式時(shí)，等式仍然成立，這也是“移項(xiàng)”的依據(jù)．移項(xiàng)本質(zhì)上就是在方程兩邊同時(shí)減去這一項(xiàng)，此時(shí)該項(xiàng)在方程一邊是0，而另一邊是它改變符號(hào)后的項(xiàng)，所以移項(xiàng)必須變號(hào)．
7．二元一次方程：含有2個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程．
8．二元一次方程的解:使二元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程的解．
9．二元一次方程組:由兩個(gè)二元一次方程組成的方程組叫二元一次方程組．方程組中同一個(gè)字母代表同一個(gè)量，其一般形式為．
10．解二元一次方程組的基本思想
解二元一次方程組的基本思想是消元，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程．
11．二元一次方程組的解法
（1）代入消元法：將方程中的一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，并代入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程．
（2）加減消元法：將方程組中兩個(gè)方程通過(guò)適當(dāng)變形后相加（或相減）消去其中一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程．
12．一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．
13．一般形式：（其中為常數(shù)，），其中分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必須具備三個(gè)條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個(gè)未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
14．直接開(kāi)平方法：適合于或形式的方程．
15．配方法：（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（2）移項(xiàng)，使方程左邊只含有二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；
（3）方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；（4）把方程整理成的形式；
（5）運(yùn)用直接開(kāi)平方法解方程．
16．公式法：（1）把方程化為一般形式，即；（2）確定的值；（3）求出的值；（4）將的值代入即可．
17．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．
18．根的判別式：一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根，由的符號(hào)來(lái)確定，我們把叫做一元二次方程根的判別式．
19．一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系
（1）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)（兩個(gè)相等的）實(shí)數(shù)根；
（3）當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
20．根與系數(shù)關(guān)系：對(duì)于一元二次方程（其中為常數(shù)，），設(shè)其兩根分別為，，則，．
21．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母．
（2）解分式方程的步驟：
①找最簡(jiǎn)公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式；
②去分母，方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化為整式方程；
③解整式方程；
④驗(yàn)根．
注意：解分式方程過(guò)程中，易錯(cuò)點(diǎn)有：①去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng)；②忘記驗(yàn)根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡(jiǎn)公分母中，只有最簡(jiǎn)公分母不是零的解才是原方程的解．
22．增根
在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程要驗(yàn)根，其方法是將根代入最簡(jiǎn)公分母中，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．
注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根．若這個(gè)整式方程本身無(wú)解，當(dāng)然原分式方程就一定無(wú)解．
23．不等式：一般地，用符號(hào)“”(或“≥”)連接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解．
24．不等式的基本性質(zhì)
注意：不等式的性質(zhì)是解不等式的重要依據(jù)，在解不等式時(shí)，應(yīng)注意：在不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向一定要改變．
25．不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無(wú)數(shù)個(gè)解，其解是一個(gè)范圍，這個(gè)范圍就是不等式的解集．
（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示：不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)，形象地表明不等式有無(wú)限個(gè)解．
26．解一元一次不等式的一般步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類(lèi)項(xiàng)；⑤系數(shù)化為1（注意不等號(hào)方向是否改變）．
27．一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集，求不等式組解集的過(guò)程，叫做解不等式組．
28．一元一次不等式組的解法：先分別求出每個(gè)不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果沒(méi)有公共部分，則該不等式組無(wú)解．
29．幾種常見(jiàn)的不等式組的解集：設(shè)，，是常數(shù)，關(guān)于的不等式組的解集的四種情況如下表所示（等號(hào)取不到時(shí)在數(shù)軸上用空心圓點(diǎn)表示）：
考情總結(jié)：一元一次不等式（組）的解法及其解集表示的考查形式如下：
（1）一元一次不等式（組）的解法及其解集在數(shù)軸上的表示；
（2）利用一次函數(shù)圖象解一元一次不等式；
（3）求一元一次不等式組的最小整數(shù)解；
（4）求一元一次不等式組的所有整數(shù)解的和．
1．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x，y的方程組的解滿足，則的值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】D
【分析】法一：利用加減法解方程組，用表示出，再將求得的代數(shù)式代入，得到的關(guān)系，最后將變形，即可解答．
法二：中得到，再根據(jù)求出代入代數(shù)式進(jìn)行求解即可.
【詳解】解：法一：，
得，
解得，
將代入，解得，
，
，
得到，
，
法二：
得：，即：，
∵，
∴，
，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)二元一次方程解的情況求參數(shù)，同底數(shù)冪除法，冪的乘方，熟練求出的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為一元一次方程的解，縱坐標(biāo)為的值，其中a，b滿足二元一次方程組，則點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________．
【答案】
【分析】先分別解一元一次方程和二元一次方程組，求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù)直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律即可求解．
【詳解】解：，
移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)得，，
系數(shù)化為1得，，
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為5，
∵，
由得，，解得：，
把代入①得，，解得：，
∴，
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
又∴點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查解一元一次方程和解二元一次方程組、代數(shù)值求值、直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，熟練掌握解一元一次方程和解二元一次方程組的方法求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）解方程組
【答案】
【分析】方程組運(yùn)用加減消元法求解即可．
【詳解】解：
①+②得，
解得，
將代入①得，
解得．
∴原方程組的解為
【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，方法主要有：代入消元法和加減消元法．
4.（2022·浙江臺(tái)州）解方程組：．
【答案】
【分析】用加減消元法解二元一次方程組即可；
【詳解】．
解：，得．
把代入①，得．
∴原方程組的解為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解法，本題使用加減消元法比較簡(jiǎn)單，當(dāng)然使用代入消元求解二元一次方程組亦可．
5．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）解方程組：
【答案】
【分析】方程組利用加減消元法求解即可．
【詳解】解：將①得：③
得：
將代入①得：
所以是原方程組的解．
【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，解題的關(guān)鍵是利用代入消元法或加減消元法消去一個(gè)未知數(shù)．
6．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）解一元一次不等式組：．
【答案】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，解一元一次不等式，然后求出兩個(gè)解集的公共部分即可．
【詳解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式組的解是．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元一次不等式組，掌握不等式的性質(zhì)，解一元一次不等式的方法是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）解關(guān)于x的不等式組
【答案】
【分析】分別解不等式組的兩個(gè)不等式，再取兩個(gè)不等式的解集的公共部分，即為不等式組的解集．
【詳解】解：，
解①得，，
解②得，，
原不等式組的解集為．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組的解集，取兩個(gè)不等式的解集的公共部分的口訣為：“大大取大，小小取小，大小小大取中間，大大小小則無(wú)解”，熟知上述口訣是解題的關(guān)鍵．
8．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）解不等式組并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．
【答案】，數(shù)軸表示見(jiàn)解析
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【詳解】解：
解不等式①得·，
解不等式②，得：，
把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：
則不等式組的解集為：
．
【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
9.（2021·陜西中考真題）解不等式組：
【答案】
【分析】
根據(jù)一元一次不等式組的解法直接進(jìn)行求解即可．
【詳解】
解：，
由，得；
由，得；
∴原不等式組的解集為．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查一元一次不等式組的解法，熟練掌握一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵．
10.（2020·陜西中考真題）解不等式組：
【答案】．
【解析】
【分析】
分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的方法部分即可．
【詳解】
解：，
由①得：，
由②得：，
則不等式組的解集為．
【點(diǎn)睛】
此題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握不等式組的解法是解本題的關(guān)鍵．
11.解不等式組：．
【答案】
【分析】分別解出兩個(gè)不等式的解集再求其公共解．
【解析】解：
不等式①的解集是x≥-1；
不等式②的解集是x＜2；
所以原不等式組的解集是-1≤x＜2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查．求不等式組的解集應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．
12.解不等式組：5x-3＞2x，2x-13＜x2．
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無(wú)解了確定不等式組的解集．
【解析】解不等式5x﹣3＞2x，得：x＞1，
解不等式2x-13＜x2，得：x＜2，
則不等式組的解集為1＜x＜2．
13．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：．
【答案】，
【分析】首先將方程進(jìn)行因式分解，然后根據(jù)因式分解的結(jié)果求出方程的解．
【詳解】解：
∴或
∴，．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解法求解方程．
14.（2022·四川涼山）解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【詳解】解：，
，
或，
或，
故方程的解為．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、換元法等）是解題關(guān)鍵．
15．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：無(wú)論m取何值時(shí)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)設(shè)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a，b，若，求m的值．
【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)的值為1或
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式可進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可進(jìn)行求解．
【詳解】（1）證明：∵，
∴無(wú)論取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）解：∵的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，
∴．
∵，
∴，．
∴．
即．
解得或．
∴的值為1或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，用配方法解方程．
【答案】(1)且；(2)，
【分析】（1）根據(jù)題意，可得，注意一元二次方程的系數(shù)問(wèn)題，即可解答，
（2）將代入，利用配方法解方程即可．
【詳解】（1）解：依題意得：，
解得且；
（2）解：當(dāng)時(shí)，原方程變?yōu)椋海?br>則有：，
，
，
方程的根為，．
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)根的情況判斷參數(shù)，用配方法解一元二次方程，熟練利用配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
17.（2022·四川南充）已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．
(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍．(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，若，求k的值．
【答案】(1)k；(2)k=3
【分析】根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根得到32-4（k-2）0，解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，將等式左側(cè)展開(kāi)代入計(jì)算即可得到k值．
【解析】 (1)解：∵一元二次方程有實(shí)數(shù)根．
∴?0，即32-4（k-2）0，解得k
(2)∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，∴，
∵，∴，∴，解得k=3．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，熟練掌握一元二次方程有關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
α
sinα
csα
tanα
30°
45°
1
60°
變形名稱
具體做法
去分母
在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)
去括號(hào)
先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)
移項(xiàng)
把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊
合并同類(lèi)項(xiàng)
把方程化成的形式
系數(shù)化成1
在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)，得到方程的解為
理論依據(jù)
式子表示
性質(zhì)1
不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變
若，則
性質(zhì)2
不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變
若，，則或
性質(zhì)3
不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變
若，，則或
不等式組
（其中）
數(shù)軸表示
解集
口訣
同大取大
同小取小
大小、小大中間找
無(wú)解
大大、小小取不了

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