（復(fù)習(xí)講義）
【考點總結(jié)|典例分析】
考點01三角形全等及性質(zhì)
一、三角形的基礎(chǔ)知識
1．三角形的概念
由三條線段首尾順次相接組成的圖形，叫做三角形．
2．三角形的三邊關(guān)系
（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．
推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．
（2）三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：
①判斷三條已知線段能否組成三角形；②當(dāng)已知兩邊時，可確定第三邊的范圍；③證明線段不等關(guān)系．
3．三角形的內(nèi)角和定理及推論
三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°．
推論：
①直角三角形的兩個銳角互余；
②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；
③三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．
4．三角形中的重要線段
（1）三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線．
（2）在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線．
（3）從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）．
（4）連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．
二、全等三角形
5．三角形全等的判定定理：
（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；
（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；
（3）邊邊邊定理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；
（4）對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．
6．全等三角形的性質(zhì)：
（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等；
（2）全等三角形的周長相等，面積相等；
（3）全等三角形對應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等．
三、等腰三角形
7．等腰三角形的性質(zhì)
定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．
推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．
推論2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60°．
8．等腰三角形的判定
定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等．
推論1：三個角都相等的三角形是等邊三角形．
推論2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．
推論3：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．
四、等邊三角形
（1）定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．
（2）性質(zhì)：等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°．
（3）判定：三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．
五、直角三角形與勾股定理
9．直角三角形
定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．
性質(zhì)：
（1）直角三角形兩銳角互余；
（2）在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；
（3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．
判定：
（1）兩個內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；
（2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．
10．勾股定理及逆定理
（1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．
1．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的角平分線．以點圓心，長為半徑畫弧，與分別交于點，連接．

(1)求證：；
(2)若，求的度數(shù)．
2.如圖，AC和BD相交于點O，OA=OC，OB=OD．
(1)求證：∠A=∠C；
(2)求證：AB//CD．
3．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的中點，．求證：．

4.如圖，點B，F(xiàn)，C，E在同一條直線上，BF=EC，AB=DE，∠B=∠E.求證：∠A=∠D．
5．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，．求證：．
6.(2022·四川省宜賓市)已知：如圖，點A、D、C、F在同一直線上，AB//DE，∠B=∠E，BC=EF.求證：AD=CF．
7.(2022·陜西省)如圖，在△ABC中，點D在邊BC上，CD=AB，DE//AB，∠DCE=∠A.求證：DE=BC．
8.(2022·浙江省杭州市)如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點M為邊AB的中點，點E在線段AM上，EF⊥AC于點F，連接CM，CE.已知∠A=50°，∠ACE=30°．
(1)求證：CE=CM．
(2)若AB=4，求線段FC的長．
9．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）如圖，．

(1)寫出與的數(shù)量關(guān)系
(2)延長到，使，延長到，使，連接．求證：．
(3)在（2）的條件下，作的平分線，交于點，求證：．
10.（2021·浙江溫州市·中考真題）如圖，是的角平分線，在上取點，使．
（1）求證：．
（2）若，，求的度數(shù)．
11.（2021·福建中考真題）如圖，在中，D是邊上的點，，垂足分別為E，F(xiàn)，且．求證：．
考點02相似
六、相似三角形的判定及性質(zhì)
11．定義
對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比．
12．性質(zhì)
（1）相似三角形的對應(yīng)角相等；
（2）相似三角形的對應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；
（3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．
13．判定
（1）有兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；
（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；
（3）三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似；
（4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：
（1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）；
（2）條件中若有一對等角，可再找一對等角[用判定（1）]或再找夾邊成比例[用判定（2）]；
（3）條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等；
（4）條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應(yīng)成比例；
（5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個底角相等，也可找底和腰對應(yīng)成比例．
七、相似多邊形
14．定義
對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做它們的相似比．
15．性質(zhì)
（1）相似多邊形的對應(yīng)邊成比例；
（2）相似多邊形的對應(yīng)角相等；
（3）相似多邊形周長的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方．
八、位似圖形
16．定義
如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點的連線交于一點，對應(yīng)邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，相似比叫做位似比．
27．性質(zhì)
（1）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或–k；
（2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．
18．找位似中心的方法
將兩個圖形的各組對應(yīng)點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即是位似中心．
19．畫位似圖形的步驟
（1）確定位似中心；
（2）確定原圖形的關(guān)鍵點；
（3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；
（4）作出原圖形中各關(guān)鍵點的對應(yīng)點；
（5）按原圖形的連接順序連接所作的各個對應(yīng)點．
12．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與位似，原點O是位似中心，且．若，則點的坐標(biāo)是___________．

13．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，E是線段上一點，連結(jié)交于點F．若，則__________．

14.（2021·云南中考真題）如圖，在中，點D，E分別是的中點，與相交于點F，若，則的長是______．
15．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，將繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到．連接，交于點D，則的值為________．

16．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）在中，是斜邊上的高．

(1)證明：；
(2)若，求的長．
17.如圖，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．則AEAC的值．
18．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，點E是的中點，連接并延長交的延長線于點F．

(1)求證：；
(2)點G是線段上一點，滿足，交于點H，若，求的長．
考點03多邊形
十、多邊形
20．多邊形的相關(guān)概念
（1）定義：在平面內(nèi)，由一些段線首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形．
（2）對角線：從n邊形的一個頂點可以引(n–3)條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了(n–2)個三角形；n邊形對角線條數(shù)為．
21．多邊形的內(nèi)角和、外角和
（1）內(nèi)角和：n邊形內(nèi)角和公式為(n–2)·180°；
（2）外角和：任意多邊形的外角和為360°.
22．正多邊形
（1）定義：各邊相等，各角也相等的多邊形.
（2）正n邊形的每個內(nèi)角為，每一個外角為．
（3）正n邊形有n條對稱軸.
（4）對于正n邊形，當(dāng)n為奇數(shù)時，是軸對稱圖形；當(dāng)n為偶數(shù)時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．
19．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）下列多邊形中，內(nèi)角和等于的是（ ）
A． B． C． D．
20.（2021·湖南岳陽市·中考真題）下列命題是真命題的是（ ）
A．五邊形的內(nèi)角和是B．三角形的任意兩邊之和大于第三邊
C．內(nèi)錯角相等D．三角形的重心是這個三角形的三條角平分線的交點
21.（2023·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，正五邊形內(nèi)接于，連接，則（ ）

A．B．C．D．
22.（2021·四川自貢市·中考真題）如圖，AC是正五邊形ABCDE的對角線，的度數(shù)是（ ）
A．72°B．36°C．74°D．88°
23.（2021·四川資陽市·中考真題）下列命題正確的是（ ）
A．每個內(nèi)角都相等的多邊形是正多邊形
B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
C．過線段中點的直線是線段的垂直平分線
D．三角形的中位線將三角形的面積分成1∶2兩部分
24．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正五邊形ABCDE中，連接AC，則∠BAC的度數(shù)為_____．
25．（2021·浙江麗水市·中考真題）一個多邊形過頂點剪去一個角后，所得多邊形的內(nèi)角和為，則原多邊形的邊數(shù)是__________．
26．（2021·湖北黃岡市·中考真題）正五邊形的一個內(nèi)角是_____度．
27．（2021·陜西中考真題）正九邊形一個內(nèi)角的度數(shù)為______．
28．（2021·湖南中考真題）一個多邊形的每個外角的度數(shù)都是60°，則這個多邊形的內(nèi)角和為______．
考點04平行四邊形
十一、平行四邊形的性質(zhì)
23．平行四邊形的定義
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形用“”表示.
24．平行四邊形的性質(zhì)
（1）邊：兩組對邊分別平行且相等．
（2）角：對角相等，鄰角互補．
（3）對角線：互相平分．
（4）對稱性：中心對稱但不是軸對稱．
25．注意：
利用平行四邊形的性質(zhì)解題時一些常用到的結(jié)論和方法：
（1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長的一半．
（2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關(guān)系，所以經(jīng)常需結(jié)合三角形全等來解題．
（3）過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長．
26．平行四邊形中的幾個解題模型
（1）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE．
（2）平行四邊形的一條對角線把其分為兩個全等的三角形，如圖②中△ABD≌△CDB；
兩條對角線把平行四邊形分為兩組全等的三角形，如圖②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD；
根據(jù)平行四邊形的中心對稱性，可得經(jīng)過對稱中心O的線段與對角線所組成的居于中心對稱位置的三角形全等，如圖②△AOE≌△COF.圖②中陰影部分的面積為平行四邊形面積的一半．
（3）如圖③，已知點E為AD上一點，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE.
（4）如圖④，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD．
十二、平行四邊形的判定
（1）方法一（定義法）：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
（2）方法二：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
（3）方法三：有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
（4）方法四：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
（5）方法五：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．
十三、矩形的性質(zhì)與判定
27．矩形的性質(zhì)：
（1）四個角都是直角；
（2）對角線相等且互相平分；
（3）面積=長×寬=2S△ABD=4S△AOB．（如圖）
28．矩形的判定：
（1）定義法：有一個角是直角的平行四邊形；
（2）有三個角是直角；
（3）對角線相等的平行四邊形．
十四、菱形的性質(zhì)與判定
29．菱形的性質(zhì)：
（1）四邊相等；
（2）對角線互相垂直、平分，一條對角線平分一組對角；
（3）面積=底×高=對角線乘積的一半．
30．菱形的判定：
（1）定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形；
（2）對角線互相垂直的平行四邊形；
（3）四條邊都相等的四邊形．
十五、正方形的性質(zhì)與判定
31．正方形的性質(zhì)：
（1）四條邊都相等，四個角都是直角；
（2）對角線相等且互相垂直平分；
（3）面積=邊長×邊長=2S△ABD=4S△AOB．
32．正方形的判定：
（1）定義法：有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形；
（2）一組鄰邊相等的矩形；
（3）一個角是直角的菱形；
（4）對角線相等且互相垂直、平分．
十六、聯(lián)系
兩組對邊分別平行；
相鄰兩邊相等；
有一個角是直角；
（4）有一個角是直角；
（5）相鄰兩邊相等；
（6）有一個角是直角，相鄰兩邊相等；
（7）四邊相等
（8）有三個角都是直角．
十七、中點四邊形
（1）任意四邊形所得到的中點四邊形一定是平行四邊形.
（2）對角線相等的四邊形所得到的中點四邊形是矩形.
（3）對角線互相垂直的四邊形所得到的中點四邊形是菱形.
（4）對角線互相垂直且相等的四邊形所得到的中點四邊形是正方形.
29．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的中點，過點且分別交于點．若，則的長為___________．

30．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，于點E，若，則______．

31．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，平分，交于點E；平分，交于點F．求證：．

32．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，在中，點D、E分別為的中點，點H在線段上，連接，點G、F分別為的中點．

(1)求證：四邊形為平行四邊形
(2)，求線段的長度．
33.（2021·江蘇連云港市·中考真題）如圖，點C是的中點，四邊形是平行四邊形．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）如果，求證：四邊形是矩形．
34．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，過對角線的中點作的垂線，分別交，于點，．

(1)證明：；
(2)連接、，證明：四邊形是菱形．
35.（2021·四川廣安市·中考真題）如圖，四邊形是菱形，點、分別在邊、的延長線上，且．連接、．
求證：．
36．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，和相交于點，，．點、分別是、的中點．

(1)求證：；
(2)當(dāng)時，求證：四邊形是矩形．
37.（2021·四川自貢市·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別是邊AB、CD的中點．求證：DE=BF．
38.（2021·四川遂寧市·中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點O的直線EF與BA、DC的延長線分別交于點E、F．
（1）求證：AE＝CF；
（2）請再添加一個條件，使四邊形BFDE是菱形，并說明理由．
39．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）將兩個完全相同的含有角的直角三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示位置擺放．點A，E，B，D依次在同一直線上，連結(jié)、．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)己知，當(dāng)四邊形是菱形時．的長為__________．
40．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，D是的中點，E是的中點，過點A作交的延長線于點F．

(1)求證：；
(2)連接，若，求證：四邊形是矩形．

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