【要點(diǎn)歸納|典例解析】
考點(diǎn)01實(shí)數(shù)
1．?dāng)?shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度和正方向的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸上所有的點(diǎn)與全體實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng).
2．相反數(shù)：只有符號(hào)不同，而絕對(duì)值相同的兩個(gè)數(shù)稱為互為相反數(shù)，若a、b互為相反數(shù)，則a+b=0.
3．倒數(shù)：1除以一個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)所得的商，叫做這個(gè)數(shù)的倒數(shù).若a、b互為倒數(shù)，則ab=1.
4．絕對(duì)值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，記作 |a|.
5．（1）按照定義分類
（2）按照正負(fù)分類

注意：0既不屬于正數(shù)，也不屬于負(fù)數(shù).另外，在理解無(wú)理數(shù)時(shí)，要注意“無(wú)限不循環(huán)”，歸納起來(lái)有四類：
（1）開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，如，等；
（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡(jiǎn)后含有π的數(shù)，如等；
（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.101 001 000 1…等；
（4）某些三角函數(shù)，如sin60°等.
6．科學(xué)記數(shù)法：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于10時(shí)，寫(xiě)成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)，寫(xiě)成a×10?n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數(shù)左邊第一個(gè)非零的數(shù)字前的所有零的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的零）.
7．近似數(shù)：近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度通常用精確度來(lái)表示，近似數(shù)一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位.
8．二次根式的性質(zhì)
（1）≥ 0（≥0）；（2）； （3）；
（4）；（5）．
9．二次根式的運(yùn)算
（1）二次根式的加減
合并同類二次根式：在二次根式的加減運(yùn)算中，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，若有同類二次根式，可把同類二次根式合并成一個(gè)二次根式．
（2）二次根式的乘除
乘法法則：；除法法則：．
（3）二次根式的混合運(yùn)算
二次根式的混合運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的．
在運(yùn)算過(guò)程中，乘法公式和有理數(shù)的運(yùn)算律在二次根式的運(yùn)算中仍然適用．
10．?dāng)?shù)的乘方：求 QUOTE n個(gè)相同因數(shù)a的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫冪.在an中，a叫底數(shù)，n叫指數(shù).
11．實(shí)數(shù)的運(yùn)算：
（1）有理數(shù)的運(yùn)算定律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都適用，常用的運(yùn)算定律有加法結(jié)合律 、加法交換律 、乘法交換律 、乘法結(jié)合律、 乘法分配律.
（2）運(yùn)算順序：先算乘方（開(kāi)方），再算乘除，最后算加減；有括號(hào)的先算括號(hào)里面的.
12．指數(shù)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a≠0，則a0=1；若a≠0，n為正整數(shù)，則.
13．?dāng)?shù)的大小比較常用以下幾種方法：數(shù)軸比較法、差值比較法、絕對(duì)值比較法、乘方比較法、中間值比較法等等.
14、特殊角的三角函數(shù)值
1．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）的倒數(shù)是（ ）
A．B．2023C．D．
2．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）8的相反數(shù)是（ ）
A．B．8C．D．
3．（2022·湖南邵陽(yáng)）－2022的絕對(duì)值是（ ）
A．B．C．－2022D．2022
4．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）﹣8的立方根是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．不存在
5.（2022·江西）實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023年安徽省滁州市南片五校中考二模數(shù)學(xué)試卷）的倒數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
7.（2022·山東泰安）的倒數(shù)是（ ）
A．B．C．5D．
8．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）下列各數(shù)中，正整數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）已知，則a、b、c的大小關(guān)系是( )
A．B．C．D．
10.（2022·湖南邵陽(yáng)）5月29日騰訊新聞報(bào)道，2022年第一季度，湖南全省地區(qū)生產(chǎn)總值約為11000億元，11000億用科學(xué)記數(shù)法可表示為，則的值是（ ）
A．0.11B．1.1C．11D．11000
11.（2022·四川自貢）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）下列各數(shù)中，為有理數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）下列各數(shù)中，最小的是（ ）．
A．2B．1C．D．
14.（2022·四川涼山）化簡(jiǎn)：＝（ ）
A．±2B．－2C．4D．2
15．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）8的立方根為_(kāi)_____．
16．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）的平方根是_______．
17．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：________．
18．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)，則__________0.(用“”“”或“”填空)

19．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．
20.（2022·新疆）計(jì)算：
21．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．
22.（2022·四川瀘州）計(jì)算：．
23．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：
24.（2022·湖南邵陽(yáng)）計(jì)算：．
25．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算．
26.（2022·湖南株洲）計(jì)算：．
27．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．
28．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：
29．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）計(jì)算：
30．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：
31.（2022·四川德陽(yáng)）計(jì)算：．
考點(diǎn)02整式
1．單項(xiàng)式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，所有字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)，數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù).
注： eq \\ac(○,1)單項(xiàng)式是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)構(gòu)成的，其中系數(shù)不能用帶分?jǐn)?shù)表示，如，這種表示就是錯(cuò)誤的，應(yīng)寫(xiě)成； eq \\ac(○,2)一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。如是6次單項(xiàng)式。
2．多項(xiàng)式：由幾個(gè)單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).
3．整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.
4．同類項(xiàng)：多項(xiàng)式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng).
5．整式的加減：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng).
6．冪的運(yùn)算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=.
7．整式的乘法：
（1）單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.
（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.
（3）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.
8．乘法公式：
（1）平方差公式：.
（2）完全平方公式：.
9．整式的除法：
（1）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)、同底數(shù)的冪分別相除，作為商的因式：對(duì)于只在被除式含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的因式.
（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加.
10．把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)因式積的形式，叫做因式分解，因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算.
11．因式分解的基本方法：
（1）提取公因式法：.
（2）公式法：
運(yùn)用平方差公式：.
運(yùn)用完全平方公式：.
12．分解因式的一般步驟：
（1）如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，應(yīng)先提取公因式;
（2）如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，可以嘗試使用公式法：
為兩項(xiàng)時(shí)，考慮平方差公式；
為三項(xiàng)時(shí)，考慮完全平方公式；
為四項(xiàng)時(shí)，考慮利用分組的方法進(jìn)行分解;
（3）檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止.
以上步驟可以概括為“一提二套三檢查”.
1．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）分解因式：（ ）
A．B．C．D．
4.（2022·江蘇宿遷）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）下列計(jì)算，結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
6.（2022·四川眉山）下列運(yùn)算中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）若，則( )
A．5B．1C．D．0
8.（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（ ）
A．B．
C．D．
9.（2022·浙江紹興）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：（ ）
A．2B．C．D．
11．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
12.（2022·四川成都）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
14．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）若，則括號(hào)內(nèi)應(yīng)填的單項(xiàng)式是( )
A．a(chǎn)B．C．D．
15．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
16.（2022·江蘇蘇州）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算的結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．B．
C．D．．
19.（2021·內(nèi)蒙古呼倫貝爾市·中考真題）下列等式從左到右變形，屬于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
20．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（ ）．
A．B．C．D．
21．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）已知，則的值是（ ）
A．6B．C．D．4
22．（2023·遼寧丹東·校考二模）因式分解：______．
23．（2022春·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）分解因式：=__________
24．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）若，，則的值是___________________．
25.（2022·四川樂(lè)山）已知，則______．
26．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）已知實(shí)數(shù)a，b，滿足，，則的值為_(kāi)_____．
27.（2022·山東濱州）若，，則的值為_(kāi)______．
28．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）因式分解：______．
29．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）因式分解：_______．
30．（2023·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）因式分解：________．
31．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）分解因式：_______．
32．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）已知實(shí)數(shù)a，b，滿足，，則的值為_(kāi)_____．
33．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）已知實(shí)數(shù)滿足，則_________．
34．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
35.（2022·江蘇蘇州）已知，求的值．
35.（2022·湖南衡陽(yáng)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．
37．（2021·湖南永州市·中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
考點(diǎn)03分式
1．分式的定義
（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么稱為分式．
（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．
【注】①若B≠0，則有意義；②若B=0，則無(wú)意義；③若A=0且B≠0，則=0．
2．分式的基本性質(zhì)
分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變．
用式子表示為或，其中A，B，C均為整式．
3．約分及約分法則
（1）約分：把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式的約分．
（2）約分法則：把一個(gè)分式約分，如果分子和分母都是幾個(gè)因式乘積的形式，約去分子和分母中相同因式的最低次冪；分子與分母的系數(shù)，約去它們的最大公約數(shù)．如果分式的分子、分母是多項(xiàng)式，先分解因式，然后約分．
【注】約分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．約分的關(guān)鍵是找出分子和分母的公因式．
4．最簡(jiǎn)分式
分子、分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式．
【注】約分一般是將一個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分式，分式約分所得的結(jié)果有時(shí)可能成為整式．
5．通分及通分法則
（1）通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個(gè)異分母的分式分別化為與原來(lái)的分式相等的同分母的分式，這一過(guò)程稱為分式的通分．
（2）通分法則
把兩個(gè)或者幾個(gè)分式通分：
①先求各個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母（即各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)、相同因式的最高次冪和所有不同因式的積）；
②再用分式的基本性質(zhì)，用最簡(jiǎn)公分母除以原來(lái)各分母所得的商分別去乘原來(lái)分式的分子、分母，使每個(gè)分式變?yōu)榕c原分式的值相等，而且以最簡(jiǎn)公分母為分母的分式；
③若分母是多項(xiàng)式，則先分解因式，再通分．
【注】通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡(jiǎn)公分母．
6．最簡(jiǎn)公分母：幾個(gè)分式通分時(shí)，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與所有字母因式的最高次冪的積作為公分母，這樣的分母叫做最簡(jiǎn)公分母．
7．分式的運(yùn)算
（1）分式的加減 ①同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減．用式子表示為：．
②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減．
用式子表示為：．
（2）分式的乘法
乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．用式子表示為：．
（3）分式的除法
除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．
用式子表示為：．
（4）分式的乘方
乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示為：為正整數(shù)，．
（5）分式的混合運(yùn)算
含有分式的乘方、乘除、加減的多種運(yùn)算叫做分式的混合運(yùn)算．
混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號(hào)的，先算括號(hào)里的．
1．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算的結(jié)果等于（ ）
A．B．C．D．
2.（2022·湖南懷化）代數(shù)式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
3．（2023·廣東·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算的結(jié)果為（ ）
A．B．C．D．
4.（2022·天津）計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A．1B．C．D．
5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（ ）
A．1B．C．D．
6．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）已知，計(jì)算的值是（ ）
A．1B．C．2D．
7.（2021·黑龍江大慶市·中考真題）已知，則分式與的大小關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．不能確定
8．（2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）化簡(jiǎn)：的結(jié)果為_(kāi)_______．
9．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）化簡(jiǎn)：_______．
10．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．
11.（2022·四川瀘州）化簡(jiǎn)：
12．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
13.（2022·新疆）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
14．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)：，再?gòu)倪x擇中一個(gè)合適的數(shù)作為x的值代入求值．
15.（2022·四川樂(lè)山）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
16.（2022·陜西）化簡(jiǎn)：．
17.（2022·四川達(dá)州）化簡(jiǎn)求值：，其中．
考點(diǎn)04方程
1．等式的性質(zhì)
（1）等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得的結(jié)果仍是等式．
（2）等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的數(shù)，所得的結(jié)果仍是等式．
2．方程:含有未知數(shù)的等式叫做方程．
3．方程的解:使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解；求方程的解的過(guò)程叫做解方程．
4．一元一次方程:只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)為1，這樣的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式為． 注意：x前面的系數(shù)不為0．
5．一元一次方程的解：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．
6．一元一次方程的求解步驟
注意：解方程時(shí)移項(xiàng)容易忘記改變符號(hào)而出錯(cuò)，要注意解方程的依據(jù)是等式的性質(zhì)，在等式兩邊同時(shí)加上或減去一個(gè)代數(shù)式時(shí)，等式仍然成立，這也是“移項(xiàng)”的依據(jù)．移項(xiàng)本質(zhì)上就是在方程兩邊同時(shí)減去這一項(xiàng)，此時(shí)該項(xiàng)在方程一邊是0，而另一邊是它改變符號(hào)后的項(xiàng)，所以移項(xiàng)必須變號(hào)．
7．二元一次方程：含有2個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程．
8．二元一次方程的解:使二元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程的解．
9．二元一次方程組:由兩個(gè)二元一次方程組成的方程組叫二元一次方程組．方程組中同一個(gè)字母代表同一個(gè)量，其一般形式為．
10．解二元一次方程組的基本思想
解二元一次方程組的基本思想是消元，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程．
11．二元一次方程組的解法
（1）代入消元法：將方程中的一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，并代入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程．
（2）加減消元法：將方程組中兩個(gè)方程通過(guò)適當(dāng)變形后相加（或相減）消去其中一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程．
12．一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．
13．一般形式：（其中為常數(shù)，），其中分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)．
注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必須具備三個(gè)條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個(gè)未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2．
14．直接開(kāi)平方法：適合于或形式的方程．
15．配方法：（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（2）移項(xiàng)，使方程左邊只含有二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；
（3）方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；（4）把方程整理成的形式；
（5）運(yùn)用直接開(kāi)平方法解方程．
16．公式法：（1）把方程化為一般形式，即；（2）確定的值；（3）求出的值；（4）將的值代入即可．
17．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．
18．根的判別式：一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根，由的符號(hào)來(lái)確定，我們把叫做一元二次方程根的判別式．
19．一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系
（1）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)（兩個(gè)相等的）實(shí)數(shù)根；
（3）當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
20．根與系數(shù)關(guān)系：對(duì)于一元二次方程（其中為常數(shù)，），設(shè)其兩根分別為，，則，．
21．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母．
（2）解分式方程的步驟：
①找最簡(jiǎn)公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式；
②去分母，方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化為整式方程；
③解整式方程；
④驗(yàn)根．
注意：解分式方程過(guò)程中，易錯(cuò)點(diǎn)有：①去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng)；②忘記驗(yàn)根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡(jiǎn)公分母中，只有最簡(jiǎn)公分母不是零的解才是原方程的解．
22．增根
在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程要驗(yàn)根，其方法是將根代入最簡(jiǎn)公分母中，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．
注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根．若這個(gè)整式方程本身無(wú)解，當(dāng)然原分式方程就一定無(wú)解．
23．不等式：一般地，用符號(hào)“”(或“≥”)連接的式子叫做不等式．能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解．
24．不等式的基本性質(zhì)
注意：不等式的性質(zhì)是解不等式的重要依據(jù)，在解不等式時(shí)，應(yīng)注意：在不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向一定要改變．
25．不等式的解集及表示方法
（1）不等式的解集：一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無(wú)數(shù)個(gè)解，其解是一個(gè)范圍，這個(gè)范圍就是不等式的解集．
（2）不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示：不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來(lái)，形象地表明不等式有無(wú)限個(gè)解．
26．解一元一次不等式的一般步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤系數(shù)化為1（注意不等號(hào)方向是否改變）．
27．一元一次不等式組的解集：一元一次不等式組中各個(gè)不等式的解集的公共部分，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集，求不等式組解集的過(guò)程，叫做解不等式組．
28．一元一次不等式組的解法：先分別求出每個(gè)不等式的解集，再利用數(shù)軸求出這些一元一次不等式的的解集的公共部分即可，如果沒(méi)有公共部分，則該不等式組無(wú)解．
29．幾種常見(jiàn)的不等式組的解集：設(shè)，，是常數(shù)，關(guān)于的不等式組的解集的四種情況如下表所示（等號(hào)取不到時(shí)在數(shù)軸上用空心圓點(diǎn)表示）：
考情總結(jié)：一元一次不等式（組）的解法及其解集表示的考查形式如下：
（1）一元一次不等式（組）的解法及其解集在數(shù)軸上的表示；
（2）利用一次函數(shù)圖象解一元一次不等式；
（3）求一元一次不等式組的最小整數(shù)解；
（4）求一元一次不等式組的所有整數(shù)解的和．
1．（2023·四川南充·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x，y的方程組的解滿足，則的值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
2．（2023·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為一元一次方程的解，縱坐標(biāo)為的值，其中a，b滿足二元一次方程組，則點(diǎn)Q關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)__________．
3．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）解方程組
4.（2022·浙江臺(tái)州）解方程組：．
5．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）解方程組：
6．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）解一元一次不等式組：．
7．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）解關(guān)于x的不等式組
8．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）解不等式組并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．
9.（2021·陜西中考真題）解不等式組：
10.（2020·陜西中考真題）解不等式組：
11.解不等式組：．
12.解不等式組：5x-3＞2x，2x-13＜x2．
13．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程：．
14.（2022·四川涼山）解方程：x2－2x－3＝0
15．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)求證：無(wú)論m取何值時(shí)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)設(shè)該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為a，b，若，求m的值．
16．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，用配方法解方程．
17.（2022·四川南充）已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．
(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍．(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，若，求k的值．α
sinα
csα
tanα
30°
45°
1
60°
變形名稱
具體做法
去分母
在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)
去括號(hào)
先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)
移項(xiàng)
把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊
合并同類項(xiàng)
把方程化成的形式
系數(shù)化成1
在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)，得到方程的解為
理論依據(jù)
式子表示
性質(zhì)1
不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變
若，則
性質(zhì)2
不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變
若，，則或
性質(zhì)3
不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變
若，，則或
不等式組
（其中）
數(shù)軸表示
解集
口訣
同大取大
同小取小
大小、小大中間找
無(wú)解
大大、小小取不了

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