探索實(shí)數(shù)中的規(guī)律
關(guān)于數(shù)式規(guī)律性問題的一般解題思路：
(1)先對(duì)給出的特殊數(shù)式進(jìn)行觀察、比較；
(2)根據(jù)觀察猜想、歸納出一般規(guī)律；
(3)用得到的規(guī)律去解決其他問題。
對(duì)數(shù)式進(jìn)行觀察的角度及方法：
(1)橫向觀察：看等號(hào)左右兩邊什么不變，什么在變，以及變化的數(shù)字或式子間的關(guān)系；
(2)縱向觀察：將連續(xù)的幾個(gè)式子上下對(duì)齊，觀察上下對(duì)應(yīng)位置的式子什么不變，什么在變，以及變化的數(shù)字或式子間的關(guān)系。
給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作變化過程，或某一具體的問題情境，要求通過觀察分析推理，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論。這類問題成為探索規(guī)律性問題。主要采用歸納法解決。
1.數(shù)字猜想型:數(shù)字規(guī)律問題主要是在分析比較的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)題目中所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，先猜想，然后通過適當(dāng)?shù)挠?jì)算回答問題。
2.數(shù)式規(guī)律型:數(shù)式規(guī)律問題主要是通過觀察、分析、歸納、驗(yàn)證，然后得出一般性的結(jié)論，以列代數(shù)式即函數(shù)關(guān)系式為主要內(nèi)容.
3.圖形規(guī)律型:多形規(guī)律問題主要是觀察圖形的組成、分拆等過程中的特點(diǎn)，分析其聯(lián)系和區(qū)別，用相應(yīng)的算式描述其中的規(guī)律，要注意對(duì)應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合.
4.數(shù)形結(jié)合猜想型:數(shù)形結(jié)合猜想型問題首先要觀察冬形，從中發(fā)現(xiàn)冬形的變化方式，再將冬形的變化以數(shù)或式的形式反映出來，從而得出圖形與數(shù)或式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，數(shù)形結(jié)合總結(jié)出圖形的變化規(guī)律，進(jìn)而解決相關(guān)問題.
1.根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第個(gè)圖中的，則的值為（ ）
A．100B．121C．144D．169
2．（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，以點(diǎn)P為位似中心作正方形，正方形，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）

A．B．C．D．
3.將從1開始的連續(xù)奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，例如，位于第4行第3列的數(shù)為27，則位于第32行第13列的數(shù)是（ ）
A．2025B．2023C．2021D．2019
4.將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個(gè)圖形中字母“H”的個(gè)數(shù)是（ ）
A．9B．10C．11D．12
5.如圖是用黑色棋子擺成的美麗圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第10個(gè)這樣的圖案需要黑色棋子的個(gè)數(shù)為（ ）
A．148B．152C．174D．202
6.已知為實(shí)數(shù)﹐規(guī)定運(yùn)算：，，，，……，．按上述方法計(jì)算：當(dāng)時(shí)，的值等于（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機(jī)化合物，在生產(chǎn)生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動(dòng)、植物的養(yǎng)護(hù)．通常用碳原子的個(gè)數(shù)命名為甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（當(dāng)碳原子數(shù)目超過個(gè)時(shí)即用漢文數(shù)字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化學(xué)式為，乙烷的化學(xué)式為，丙烷的化學(xué)式為……，其分子結(jié)構(gòu)模型如圖所示，按照此規(guī)律，十二烷的化學(xué)式為 ．
6.人們把這個(gè)數(shù)叫做黃金分割數(shù)，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的法就應(yīng)用了黃金分割數(shù)．設(shè)，，則，記，，…，．則____．
9.觀察下列等式：；
；
；
……
根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算______．
10.觀察以下等式：
第1個(gè)等式：，
第2個(gè)等式：，
第3個(gè)等式：，
第4個(gè)等式：，……
按照以上規(guī)律．解決下列問題：(1)寫出第5個(gè)等式：________；
(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．
11.正偶數(shù)2，4，6，8，10，……，按如下規(guī)律排列，
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
……
則第27行的第21個(gè)數(shù)是______．
12．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且均為等邊三角形．則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ．

13．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)A在直線上，頂點(diǎn)B在x軸上，垂直軸，且，頂點(diǎn)在直線上，；過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，交x軸于，過點(diǎn)作垂直x軸，交于點(diǎn)，連接，得到第一個(gè)；過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，交x軸于，過點(diǎn)作垂直x軸，交于點(diǎn)，連接，得到第二個(gè)；如此下去，……，則的面積是 ．
14.觀察下列圖形規(guī)律，當(dāng)圖形中的“○”的個(gè)數(shù)和“．”個(gè)數(shù)差為2022時(shí)，n的值為____________．
15．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：與x軸交于點(diǎn)，以為邊作正方形點(diǎn)在y軸上，延長交直線l于點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)在y軸上，以同樣的方式依次作正方形，…，正方形，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 ．

16.“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第六代勾股樹中正方形的個(gè)數(shù)為______．
17.人們把這個(gè)數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應(yīng)用了黃金比．設(shè)，，記，，…，，則_______．
18．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧；是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，繼續(xù)以點(diǎn)，，，為圓心按上述作法得到的曲線稱為正方形的“漸開線”，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
19．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，為等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．把按如圖所示的方式放置，并將進(jìn)行變換：第一次變換將繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)邊長擴(kuò)大為邊長的2倍，得到；第二次旋轉(zhuǎn)將繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)邊長擴(kuò)大為，邊長的2倍，得到，…．依次類推，得到，則的邊長為 ，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．

20.觀察下面的等式：，，，……
(1)按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）
(2)請(qǐng)運(yùn)用分式的有關(guān)知識(shí)，推理說明這個(gè)結(jié)論是正確的．

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