第一部分 （選擇題 共40分）
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).
1. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)即可．
【詳解】．
故選：D．
2. 若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了排列數(shù)計(jì)算公式，帶入公式計(jì)算可得.
【詳解】由排列數(shù)計(jì)算公式可得，
解得或.
由于且，故.
故選：C.
3. 若函數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的定義，由此可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br>則.
故選: B
4. 從、、、中任取個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析】分析可知只需從、、、這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字全排即可，利用排列計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.
【詳解】從、、、中任取個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，只需從這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字全排即可，
因此，滿足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為.
故選：B.
5. 已知過點(diǎn)的直線與曲線的相切于點(diǎn)，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過切點(diǎn)的切線方程，代入已知點(diǎn)求出，即可求出切點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，得，則過切點(diǎn)的切線方程為，
把點(diǎn)代入切線方程得，，即，
又，所以，則，
則切點(diǎn)坐標(biāo)為.
故選：A
6. 已知名同學(xué)分別從個(gè)社區(qū)中選擇個(gè)社區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，則不同選法的種數(shù)是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分別讓每位同學(xué)選擇社區(qū)，每人都有3種選擇，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.
【詳解】名同學(xué)分別從個(gè)社區(qū)中選擇個(gè)社區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，
分別讓每位同學(xué)選擇社區(qū)，每人都有3種選擇，
則共有種，
故選：C.
7. 下列不等式中，對(duì)任意的不恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】ACD選項(xiàng)，作差后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，利用函數(shù)的性質(zhì)判斷；B選項(xiàng)用特值法判斷.
【詳解】令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故，則．故A不合題意；
當(dāng)時(shí)，，故B符合題意；
令，則，
則在上單調(diào)遞增，故，則．故C不合題意；
令，則，
則在上單調(diào)遞增，故，則．故D不合題意.
故選：B.
8. 設(shè)函數(shù)（），則“”是“在定義域上是增函數(shù)”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】求出導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后判斷充要條件即可．
【詳解】函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)是增函數(shù)，
所以“”是“在定義域上是增函數(shù)”的充分條件；
在定義域上是增函數(shù)，可知恒成立，此時(shí)，
所以“”是“在定義域上是增函數(shù)”的必要條件；
綜上，“”是“在定義域上是增函數(shù)”的充要條件；
故選：C．
9. 已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)，若在處取得極大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分、、三種情況說明單調(diào)性，從而可求解.
【詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，
令，可得，得或，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞增；
或時(shí)，單調(diào)遞減；
所以在處取得極大值，符合題意；
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減；
或時(shí)，單調(diào)遞增；
所以在處取得極小值，不符合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減；
或時(shí)，單調(diào)遞增；
所以在處取得極大值，符合題意.
實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：D
10. 已知函數(shù)，若，且，則的最小值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意作出函數(shù)圖象，可得的范圍，得到，令，再由導(dǎo)數(shù)求最小值即可．
【詳解】已知函數(shù)，作出函數(shù)圖象如圖：

當(dāng)時(shí)，．
由，得，則．
令，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
，即的最小值為．
故選：A．
第二部分 （非選擇題 共110分）
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.
11. ______．
【答案】
【解析】
【分析】利用階乘的定義直接求解即可
【詳解】，
故答案為：6
12. 若甲、乙、丙、丁人站成一排，甲不站兩端，則不同排法的種數(shù)為______．
【答案】
【解析】
【分析】若甲、乙、丙、丁4人站成一排，先排乙、丙、丁3人，排好之后形成4個(gè)空，甲不站兩端，則有2種選擇，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，計(jì)算即可．
【詳解】若甲、乙、丙、丁4人站成一排，先排乙、丙、丁3人，共有種，
排好之后形成4個(gè)空，甲不站兩端，則有2種選擇，
則不同排法的種數(shù)為．
故答案為：12．
13. 已知函數(shù)．則______；若，則______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】求出，代值計(jì)算可得出的值，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可求得.
【詳解】因?yàn)?，則，所以，，
因?yàn)?，則.
故答案為：；.
14. 設(shè)函數(shù)．能說明“對(duì)于任意的，都有成立”為假命題的一個(gè)實(shí)數(shù)的值可以是______．
【答案】－1（答案不唯一，只要滿足即可）
【解析】
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)條件得到a的范圍，再結(jié)合題意確定a的值即可．
【詳解】“對(duì)于任意的，都有成立”，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增．
由函數(shù)，可得，
令，可得，
時(shí)，，函數(shù)在上是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，函數(shù)是增函數(shù)；
時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)，
故“對(duì)于任意的，都有成立”
為假命題的一個(gè)實(shí)數(shù)的值可以是－1（答案不唯一，只要滿足即可）．
故答案為：－1（答案不唯一，只要滿足即可)．
15. 某高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的重心相對(duì)于水面的高度（單位：）與跳起后的時(shí)間（單位：）存在函數(shù)關(guān)系，的圖象如圖所示，已知曲線在處的切線平行于軸，根據(jù)圖象，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①在時(shí)高度關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率為；
②曲線在附近比在附近下降得慢；
③曲線在附近比在附近上升得快；
④設(shè)在和時(shí)該運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度分別為和，則．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．
【答案】①③④
【解析】
【分析】對(duì)于①，因?yàn)榍€在處的切線平行于軸，所以切線的斜率為0，即；對(duì)于②，比較大小即可；對(duì)于③，比較大小即可；對(duì)于④，，，比較大小即可.
【詳解】因?yàn)椋?
對(duì)于①，因?yàn)榍€在處的切線平行于軸，所以切線的斜率為0，即，所以在時(shí)高度關(guān)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率為，故①正確；
對(duì)于②，由題意知，所以，即曲線附近比在附近下降得快，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，由題意知，所以，即曲線在附近比在附近上升得快，故③正確；
對(duì)于④，由題意知且，所以，
，
所以，
所以.
即，故④正確；
故答案為：①③④.
三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
16. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）最大值為18，最小值為.
【解析】
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值點(diǎn)，從而求出函數(shù)的最值即可．
【詳解】（1）因?yàn)?，所?
令，解得，.
隨著x的變化，，變化情況如下表：
所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，，，
所以，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為18，最小值為.
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題
17. 已知函數(shù)．
（1）求的極值；
（2）比較的大小，并畫出的大致圖像；
（3）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，直接寫出實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）極小值，無極大值
（2），作圖見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得出單調(diào)性和極值；
（2）利用（1）中的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行判斷；
（3）結(jié)合（2）的圖像，將方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖像的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)
【小問1詳解】
的定義域?yàn)?，?br>于是時(shí)，單調(diào)遞增；
時(shí)，單調(diào)遞減，
又，則在處取到極小值，無極大值.
【小問2詳解】
由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減．故．
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故，所以．
因?yàn)椋裕Y(jié)合（1）中的單調(diào)性，大致圖像如下：
【小問3詳解】
的解的個(gè)數(shù)可以看成和直線在同一坐標(biāo)系下圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
由（2）的圖像知，當(dāng)?shù)娜≈挡恍∮谧钚≈导纯?，?br>18. 某校舉辦乒乓球團(tuán)體比賽，該比賽采用場(chǎng)勝制，每場(chǎng)均為單打，若某隊(duì)先勝場(chǎng)，則比賽結(jié)束，要求每隊(duì)派名運(yùn)動(dòng)員參賽，每名參賽運(yùn)動(dòng)員在團(tuán)體賽中至多參加場(chǎng)比賽，前場(chǎng)比賽每名運(yùn)動(dòng)員各出場(chǎng)次，若場(chǎng)不能決出勝負(fù)，則由第位或第位出場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)員參加后續(xù)的比賽．
（1）若某隊(duì)從名運(yùn)動(dòng)員中選名參加此團(tuán)體賽，求該隊(duì)前場(chǎng)比賽有幾種出場(chǎng)情況；
（2）已知某隊(duì)派甲、乙、丙這名運(yùn)動(dòng)員參加此團(tuán)體賽．
①若場(chǎng)決出勝負(fù)，列出該隊(duì)所有可能出場(chǎng)情況；
②若場(chǎng)或場(chǎng)決出勝負(fù)，求該隊(duì)共有幾種出場(chǎng)情況．
【答案】（1）60 （2）①答案見解析；②24
【解析】
【分析】（1）根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)即可；
（2）①根據(jù)題意列舉所有情況即可；②前場(chǎng)共有種出場(chǎng)情況，分場(chǎng)決出勝負(fù)和場(chǎng)決出勝負(fù)兩種情況，討論求解即可.
【小問1詳解】
根據(jù)題意，該球隊(duì)前場(chǎng)比賽有種出場(chǎng)情況．
【小問2詳解】
①因?yàn)閳?chǎng)決出勝負(fù)，所以該球隊(duì)所有可能出場(chǎng)有6種情況如下：
甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲．
②由①知，前場(chǎng)共有種出場(chǎng)情況．
所以場(chǎng)決出勝負(fù)時(shí)，前3場(chǎng)有6種，后1場(chǎng)有2種，該球隊(duì)共有種出場(chǎng)情況．
場(chǎng)決出勝負(fù)時(shí)，前3場(chǎng)有6種，后2場(chǎng)有2種，該球隊(duì)共有種出場(chǎng)情況．
所以場(chǎng)或場(chǎng)決出勝負(fù)時(shí)，該球隊(duì)共有種出場(chǎng)情況．
19. 已知函數(shù)（）．

（1）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示．
①直接寫出的單調(diào)區(qū)間，并求的值；
② 若有且只有1個(gè)零點(diǎn)，直接寫出的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性．
【答案】（1）①單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；；②．
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）①由圖象確定的單調(diào)區(qū)間，由列出方程組求得；
②求得的極大值與極小值，結(jié)合條件列出不等式可求得的取值范圍．
（2）當(dāng)時(shí)，，分為，，三種情況討論，得出的單調(diào)性．
【小問1詳解】
①由圖象知，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．
因?yàn)?，所以?br>由圖知．
即，解得
②由①知，，
當(dāng)時(shí)，取極大值；當(dāng)時(shí)，取極小值，
由題意得：或，
∴的取值范圍是．
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，
，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增．
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．
20. 已知函數(shù)．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，；
（3）對(duì)任意的，判斷與的大小關(guān)系，并證明結(jié)論．
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3），證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意求解即可；
（2）對(duì)求導(dǎo)，可判斷出當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而可證得結(jié)論；
（3）不妨假設(shè)中的定值，令，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后可判斷在上單調(diào)遞減，則，從而可比較出大小.
【小問1詳解】
由，
得．
因?yàn)椋?br>所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．
【小問2詳解】
依題意，．
所以．
當(dāng)時(shí)，，
所以．
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．
因，
所以當(dāng)時(shí)，．
【小問3詳解】
不妨假設(shè)中的定值，令，，
則，，．
由（2）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋裕?br>從而在上單調(diào)遞減．
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，即．
綜上，對(duì)任意的，有
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題第（3）問解題的關(guān)鍵是假設(shè)中的定值，令，，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，從而得結(jié)果.
21. 已知函數(shù)，．
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；
（2）設(shè)函數(shù)，證明：的圖象在的圖象的上方．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義根據(jù)題意列方程組可求得答案；
（2）令，，將問題轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意的，恒成立，等價(jià)于證明當(dāng)，的最小值大于零，然后利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可.
【小問1詳解】
因，，
所以．
依題設(shè)，，，且．
解得，．
【小問2詳解】
令， ，
證明的圖象在圖象的上方，
等價(jià)于證明對(duì)任意的，恒成立，
等價(jià)于證明當(dāng)，的最小值大于零．
由，得，，
令，則，
且當(dāng)時(shí)，．
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，?br>所以在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，
所以，即．
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以．
因?yàn)?，且?br>所以．
因?yàn)?，所以?br>故．
所以．
故對(duì)任意的，恒成立，
即的圖象在圖象的上方．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意的，恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.
x
1
0
0
極大值
極小值

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2022-2023學(xué)年北京市大興區(qū)高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

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