A．120°B．150°C．30°D．60°
2．（4分）如圖，直線l1，l2，l3，l4的斜率分別為k1，k2，k3，k4，則（ ）
A．k4＜k3＜k2＜k1B．k3＜k4＜k2＜k1
C．k4＜k3＜k1＜k2D．k3＜k4＜k1＜k2
3．（4分）過兩直線x+y﹣3＝0，2x﹣y＝0的交點，且與直線平行的直線方程為（ ）
A．x+3y+5＝0B．x+3y﹣5＝0C．x﹣3y+5＝0D．x﹣3y﹣5＝0
4．（4分）已知方程x2+y2+2x﹣y+m＝0表示圓，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．m＞B．m＞﹣C．m＜D．m＜﹣
5．（4分）經(jīng)過三個點的圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）已知＝（2，3，﹣2），＝（﹣4，2，1），＝（10，3，λ），若、、三個向量共面，則實數(shù)λ等于（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）已知A（0，0，1），B（3，0，0），C（0，2，0），則原點到平面ABC的距離是（ ）
A．B．C．1D．
8．（4分）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC與BD的交點為M．設(shè)＝，＝，＝，則下列向量中與2相等的向量是（ ）
A．﹣++2B．++2C．﹣+2D．﹣﹣+2
9．（4分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BA⊥AD，BD⊥CD，將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′﹣BCD，使平面A'BD⊥平面BCD，則四面體A'﹣BCD的體積為（ ）
A．B．C．D．
10．（4分）如圖，在棱長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱AB長一點且AP＝1，M是面B1BCC1上的點．一質(zhì)點從點P射向點M，遇到正方體的面反射（反射服從光的反射原理），反射到點D1，則線段PM與MD1的長度之和為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．
11．（5分）已知點A（0，﹣4），B（3，0），則直線AB的一個方向向量為 ，一個法向量為 ．
12．（5分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點，則異面直線EF與GH所成的角等于 ．
13．（5分）直線l：ax+y﹣2＝0在x軸和y軸上的截距相等，則a＝ ．
14．（5分）過圓x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0內(nèi)一點M（3，0）作圓的割線l，使它被該圓截得的線段最短，則直線l的方程是 ．
15．（5分）在平面直角坐標系中，定義d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|為兩點P（x1，y1），Q（x2，y2）之間的“折線距離“：在這個定義下，給出下列命題：
①到原點的“折線距離”等于1的點的集合是一個圓；
②到原點的“折線距離”等于1的點的集合是一個正方形；
③到M（﹣1，0），N（1，0）兩點的“折線距離”差的絕對值為1的點的集合是兩條平行線；
④到M（﹣1，0），N（1，0）兩點的“折線距離”之和為6的點的集合是面積為16的六邊形．
其中正確的命題是 .（寫出所有正確命題的序號）
三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
16．（12分）已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標為A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
（1）在△ABC中，求邊AC中線所在直線方程；
（2）求平行四邊形ABCD的頂點D的坐標及邊BC的長度．
17．（13分）已知直線l1：ax﹣2y+3＝0，l2：x+（a﹣3）y+5a＝0．
（Ⅰ）當a＝1時，求兩直線的距離；
（Ⅱ）若l1⊥l2，求a的值；
（Ⅲ）寫出原點到直線l1的距離，并求出該距離的最大值．
18．（15分）已知兩點D（4，2），M（3，0）及圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝5，l為經(jīng)過點M的一條動直線．
（1）若直線l經(jīng)過點D，求證：直線l與圓C相切；
（2）若直線l與圓C相交于兩點A，B，從下列條件中選擇一個作為已知條件，并求△ABD的面積．
條件①：直線l平分圓C；條件②：直線l的斜率為﹣3．
19．（15分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，△ABC為正三角形，側(cè)面ABB1A1是邊長為2的正方形，D為BC的中點．
（Ⅰ）求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣C1大小的余弦值．
20．（15分）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點，PA＝AD＝2，．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求PC與平面DEF所成角的正弦值；
（3）在棱BC上是否存在一點M，使得DE⊥平面PAM？若存在．求出的值；若不存在，請說明理由．
21．（15分）已知直線l1，l2均過點P（1，2）．
（Ⅰ）若直線l1過點A（﹣1，3），且l1⊥l2，求直線l2的方程；
（Ⅱ）如圖，O為坐標原點，若直線l1的斜率為k，其中0＜k≤2，且與y軸交于點N，直線l2過點，且與x軸交于點M，求直線l1，l2與兩坐標軸圍成的四邊形PNOM面積的最小值．
2022-2023學年北京市門頭溝區(qū)大峪中學高二（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題四個選項中，選出符合題目要求的一項．
1．（4分）直線x﹣y﹣1＝0的傾斜角是（ ）
A．120°B．150°C．30°D．60°
【分析】根據(jù)直線和斜率和傾斜角的關(guān)系即可求出．
【解答】解：直線的傾斜角為θ，
則tanθ＝，
∴θ＝60°，
故選：D．
【點評】本題考查了直線和斜率和傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題
2．（4分）如圖，直線l1，l2，l3，l4的斜率分別為k1，k2，k3，k4，則（ ）
A．k4＜k3＜k2＜k1B．k3＜k4＜k2＜k1
C．k4＜k3＜k1＜k2D．k3＜k4＜k1＜k2
【分析】根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，即可得解．
【解答】解：由k＝tanα知，當傾斜角α在這一變化時，直線的斜率k逐漸增大，所以0＜k1＜k2，
當傾斜角α在第二象限變化時，直線的斜率k逐漸增大，所以k3＜k4＜0，
所以k3＜k4＜k1＜k2．
故選：D．
【點評】本題考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，熟練掌握正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
3．（4分）過兩直線x+y﹣3＝0，2x﹣y＝0的交點，且與直線平行的直線方程為（ ）
A．x+3y+5＝0B．x+3y﹣5＝0C．x﹣3y+5＝0D．x﹣3y﹣5＝0
【分析】先聯(lián)立兩直線方程，求出兩直線的交點坐標，依題意可設(shè)所求直線方程為y＝+k（k≠0），代入交點坐標，即可求出k的值，從而得到直線方程．
【解答】解：聯(lián)立方程，解得：，
∴直線x+y﹣3＝0，2x﹣y＝0的交點坐標為（1，2），
設(shè)所求直線方程為y＝+k（k≠0），
代入點（1，2）得，2＝，
∴k＝，
∴所求直線方程為y＝+，即x﹣3y+5＝0，
故選：C．
【點評】本題主要考查了直線的一般方程，考查了兩直線平行的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．
4．（4分）已知方程x2+y2+2x﹣y+m＝0表示圓，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．m＞B．m＞﹣C．m＜D．m＜﹣
【分析】由圓的一般式方程可得D2+E2﹣4F＞0，即 4+1﹣4m＞0，由此求得m的范圍．
【解答】解：由圓的一般式方程可得D2+E2﹣4F＞0，即 4+1﹣4m＞0，求得 m＜，
故選：C．
【點評】本題主要考查圓的一般式方程的特征，屬于基礎(chǔ)題．
5．（4分）經(jīng)過三個點的圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)出圓的方程，代入點的坐標求解即可．
【解答】解：因為圓經(jīng)過三個點，
設(shè)圓的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
則，解得 ，
所以圓的方程為．
故選：C．
【點評】本題考查了圓的方程的求解，主要考查了待定系數(shù)法的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
6．（4分）已知＝（2，3，﹣2），＝（﹣4，2，1），＝（10，3，λ），若、、三個向量共面，則實數(shù)λ等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】由、、三個向量共面，得＝x+y（x≠0，y≠0），列方程組，能求出結(jié)果．
【解答】解：∵＝（2，3，﹣2），＝（﹣4，2，1），＝（10，3，λ），若、、三個向量共面，
∴＝x+y（x≠0，y≠0），
∴（2，3，﹣2）＝（﹣4x，2x，x）+（10y，3y，λy）＝（﹣4x+10y，2x+3y，x+λy），
∴，
解得x＝，y＝，
∴實數(shù)λ＝﹣．
故選：D．
【點評】本題考查向量共面定理，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
7．（4分）已知A（0，0，1），B（3，0，0），C（0，2，0），則原點到平面ABC的距離是（ ）
A．B．C．1D．
【分析】＝（3，0，﹣1），＝（0，2，﹣1），＝（0，0，﹣1），求出平面ABC的法向量，利用原點到平面ABC的距離是d＝，能求出結(jié)果．
【解答】解：A（0，0，1），B（3，0，0），C（0，2，0），
∴＝（3，0，﹣1），＝（0，2，﹣1），＝（0，0，﹣1），
設(shè)平面ABC的法向量＝（x，y，z），
則，取x＝2，得＝（2，3，6），
∴原點到平面ABC的距離是：
d＝＝＝．
故選：B．
【點評】本題用到的知識點為：平面的法向量、點到平面的距離公式，考查運算求解能力，是中檔題．
8．（4分）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AC與BD的交點為M．設(shè)＝，＝，＝，則下列向量中與2相等的向量是（ ）
A．﹣++2B．++2C．﹣+2D．﹣﹣+2
【分析】在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，根據(jù)空間向量的加法合成法則，對向量進行線性表示即可．
【解答】解：由題意得，平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，
2＝2（+）＝2（+）＝2++＝2﹣+＝﹣++2；
故選：A．
【點評】本題考查了空間向量的加法運算問題，解題時應(yīng)結(jié)合圖形進行解答，屬于基礎(chǔ)題．
9．（4分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BA⊥AD，BD⊥CD，將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′﹣BCD，使平面A'BD⊥平面BCD，則四面體A'﹣BCD的體積為（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用面面垂直的性質(zhì)定理證明CD⊥平面A'BD，然后由等體積法VA'﹣BCD＝VC﹣A'BD，結(jié)合錐體的體積公式求解即可．
【解答】解：由題意，平面A'BD⊥平面BCD，平面A'BD∩平面BCD＝BD，又BD⊥CD，CD?平面BCD，
則CD⊥平面A'BD，
因為AB＝AD＝CD＝1，
所以，
則由等體積法可得，VA'﹣BCD＝VC﹣A'BD＝＝，
所以四面體A'﹣BCD的體積為．
故選：A．
【點評】本題考查了空間中的翻折問題，面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，棱錐體積的求解，要注意翻折前后不變的信息，對于三棱錐的體積問題，一般會運用等體積法求解，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．
10．（4分）如圖，在棱長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱AB長一點且AP＝1，M是面B1BCC1上的點．一質(zhì)點從點P射向點M，遇到正方體的面反射（反射服從光的反射原理），反射到點D1，則線段PM與MD1的長度之和為（ ）
A．B．C．D．
【分析】以點D為坐標原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，作點P關(guān)于平面BCC1B1的對稱點Q，計算出|D1Q|即可．
【解答】解：以點D為坐標原點，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D1（0，0，3）、P（3，1，0），
作點P關(guān)于平面BCC1B1的對稱點Q（3，5，0），由對稱性可知|PM|＝|MQ|，
且D1、M、Q三點共線，
故|PM|+|MD1|＝|QM|+|MD1|＝＝．
故選：C．
【點評】本題主要考查空間中的距離，屬于基礎(chǔ)題．
二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．
11．（5分）已知點A（0，﹣4），B（3，0），則直線AB的一個方向向量為 （3，4）（不唯一） ，一個法向量為 （4，﹣3）（不唯一） ．
【分析】直接由方向向量以及法向量的定義求解即可．
【解答】解：由題意知，直線AB的一個方向向量為，
則直線的法向量與方向向量垂直，故數(shù)量積為0，可選取一個法向量為（4，﹣3）．
故答案為：（3，4）（不唯一）；（4，﹣3）（不唯一）．
【點評】本題主要考查方向向量、法向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．
12．（5分）如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點，則異面直線EF與GH所成的角等于 60° ．
【分析】利用異面直線夾角的定義，將EF平移至MG（G為A1B1中點），通過△MGH為正三角形求解．
【解答】解：取A1B1 中點M連接MG，MH，則MG∥EF，MG與GH所成的角等于EF與GH所成的角．容易知道△MGH為正三角形，∠MGH＝60°
∴EF與GH所成的角等于60°
故答案為：60°
【點評】本題考查異面直線夾角的計算，利用定義轉(zhuǎn)化成平面角，是基本解法．找平行線是解決問題的一個重要技巧，一般的“遇到中點找中點，平行線即可出現(xiàn)”．
13．（5分）直線l：ax+y﹣2＝0在x軸和y軸上的截距相等，則a＝ 1 ．
【分析】把直線l：ax+y﹣2＝0化為截距式：．利用截距相等即可得出．
【解答】解：把直線l：ax+y﹣2＝0化為．
∵直線l：ax+y﹣2＝0在x軸和y軸上的截距相等，
∴，解得a＝1．
故答案為：1．
【點評】本題考查了直線的截距式，屬于基礎(chǔ)題．
14．（5分）過圓x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0內(nèi)一點M（3，0）作圓的割線l，使它被該圓截得的線段最短，則直線l的方程是 x+y﹣3＝0 ．
【分析】將圓的方程化為標準方程，找出圓心A的坐標，由垂徑定理得到與直徑AM垂直的弦最短，根據(jù)A和M的坐標求出直線AM的斜率，利用兩直線垂直時斜率的乘積為﹣1，求出直線l的斜率，由求出的斜率及M的坐標，即可得到直線l的方程．
【解答】解：將圓的方程化為標準方程得：（x﹣1）2+（y+2）2＝9，
∴圓心A坐標為（1，﹣2），又M（3，0），
∵直線AM的斜率為＝1，
∴直線l的斜率為﹣1，
則直線l的方程為y＝﹣（x﹣3），即x+y﹣3＝0．
故答案為：x+y﹣3＝0．
【點評】此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：圓的標準方程，兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，以及直線的點斜式方程，根據(jù)垂徑定理得到與直徑AM垂直的弦最短是解本題的關(guān)鍵．
15．（5分）在平面直角坐標系中，定義d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|為兩點P（x1，y1），Q（x2，y2）之間的“折線距離“：在這個定義下，給出下列命題：
①到原點的“折線距離”等于1的點的集合是一個圓；
②到原點的“折線距離”等于1的點的集合是一個正方形；
③到M（﹣1，0），N（1，0）兩點的“折線距離”差的絕對值為1的點的集合是兩條平行線；
④到M（﹣1，0），N（1，0）兩點的“折線距離”之和為6的點的集合是面積為16的六邊形．
其中正確的命題是 ②③④ .（寫出所有正確命題的序號）
【分析】先根據(jù)折線距離的定義分別表示出所求的集合，然后根據(jù)集合中絕對值的性質(zhì)進行判定即可．
【解答】解：到原點的“折線距離”等于1的點的集合{（x，y）||x|+|y|＝1}，是一個正方形，故①錯誤，②正確；
到M（﹣1，0），N（1，0）兩點的“折線距離”差的絕對值為1的點的集合{（x，y）||x+1|+|y|﹣|x﹣1|﹣|y|＝±1}＝{（x，y）||x+1|﹣|x﹣1|＝±1}，化簡得x＝±（﹣1＜x＜1），故集合是兩條平行線；故③正確，
到M（﹣1，0），N（1，0）兩點的“折線距離”之和為6的點的集合是{（x，y）||x+1|+|y|+|x﹣1|+|y|＝6}，故集合是面積為16的六邊形，則④正確；
故答案為：②③④．
【點評】本題考查點的軌跡問題，考查了“折線距離”的定義，以及分析問題解決問題的能力，信息給予題首先要理解清楚所給的信息的含義．
三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．
16．（12分）已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標為A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．
（1）在△ABC中，求邊AC中線所在直線方程；
（2）求平行四邊形ABCD的頂點D的坐標及邊BC的長度．
【分析】（1）由題意，利用中點公式求出AC的中點坐標，再用兩點式求邊AC中線所在直線的方程．
（2）由＝ 求得點D的坐標，利用兩點間的距離公式求出|BC|．
【解答】解：（1）平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標為A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3），
由于線段AC的中點為E（，），
故邊AC中線所在直線BE的方程為＝，即9x﹣5y+13＝0．
（2）設(shè)點D（m，n），
則由＝，可得（m+1，n﹣4）＝（4，4），∴m＝3，n＝8，即點D（3，8），
|BC|＝＝4．
【點評】本題主要考查中點公式，用兩點式求直線的方程，向量相等以及兩點間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．
17．（13分）已知直線l1：ax﹣2y+3＝0，l2：x+（a﹣3）y+5a＝0．
（Ⅰ）當a＝1時，求兩直線的距離；
（Ⅱ）若l1⊥l2，求a的值；
（Ⅲ）寫出原點到直線l1的距離，并求出該距離的最大值．
【分析】（Ⅰ）利用兩平行線間的距離公式求解．
（Ⅱ）利用兩直線垂直時的斜率關(guān)系求解．
（Ⅲ）先利用點到直線距離公式求出原點到直線l1的距離d，再分析d的最小值即可．
【解答】解：（Ⅰ）當a＝1時，直線l1：x﹣2y+3＝0，直線l2：x﹣2y+5＝0，
∴兩直線的距離為＝．
（Ⅱ）若l1⊥l2，則a×1+（﹣2）×（a﹣3）＝0，
解得：a＝6，
即a的值為6．
（Ⅲ）原點到直線l1的距離d＝＝，
∴當a＝0時，d的值最大，最大值為．
【點評】本題主要考查了兩平行線間的距離，考查了兩直線垂直的位置關(guān)系，同時考查了點到直線距離公式，屬于基礎(chǔ)題．
18．（15分）已知兩點D（4，2），M（3，0）及圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝5，l為經(jīng)過點M的一條動直線．
（1）若直線l經(jīng)過點D，求證：直線l與圓C相切；
（2）若直線l與圓C相交于兩點A，B，從下列條件中選擇一個作為已知條件，并求△ABD的面積．
條件①：直線l平分圓C；條件②：直線l的斜率為﹣3．
【分析】（1）方法一：求出直線l的方程，利用點到直線距離公式求出圓心到直線l的距離，與半徑比較得到結(jié)論；
方法二：觀察到點D在圓C上，求出直線l的斜率及直線CD的斜率，得到直線l與直線CD垂直，從而證明出相切；
（2）選擇①：得到直線l過圓心C（2，3），求出直線l的方程，得到D到直線l的距離及AB的長，從而求出面積；
選擇②：求出直線l的方程，觀察到圓心C（2，3）在直線l上，得到D到直線l的距離及AB的長，從而求出面積．
【解答】（1）證明：方法一：若直線l經(jīng)過點D，則直線l的方程為，即2x﹣y﹣6＝0．
由題意，圓C的圓心為C（2，3），半徑，則圓心C（2，3）到直線l的距離為，
所以直線l與圓C相切．
方法二：由D（4，2）滿足C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝5，可知點D在圓C上，圓心為C（2，3）．
若直線l經(jīng)過點D，則直線l的斜率，
又，所以kl?kCD＝﹣1，所以l⊥CD，
所以直線l與圓C相切．
（2）解：選擇條件①：若直線l平分圓C，
則直線l過圓心C（2，3），直線l的方程為，即3x+y﹣9＝0.，
點D（4，2）到直線l的距離，
所以．
選擇條件②：若直線l的斜率為﹣3，
則直線l的方程為y﹣0＝﹣3（x﹣3），即3x+y﹣9＝0，
此時圓心C（2，3）在直線l上，則，
點D（4，2）到直線l的距離，
所以．
【點評】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查運算求解能力，屬于中檔題．
19．（15分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，△ABC為正三角形，側(cè)面ABB1A1是邊長為2的正方形，D為BC的中點．
（Ⅰ）求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（Ⅱ）求二面角C﹣AB﹣C1大小的余弦值．
【分析】（I）利用BB1⊥平面ABC，得到BB1⊥AD，又AD⊥CB，可證AD⊥面BCC1B1，再證平面ADC1⊥平面BCC1B1．
（II）選作出二面角的平面角∠CEC1，再求其余弦值．
【解答】（I）證明：∵△ABC為正三角形，D為BC的中點．
∴AD⊥CB，
∵BB1⊥平面ABC，AD?面ABC，BB1⊥AD，
∵BB1∩AB＝B，
∴AD⊥面BCC1B1，又∵AD?面ADC1，
∴平面ADC1⊥平面BCC1B1
（Ⅱ）解：取BA的中點E，連接CE，C1E，∵△ABC為正三角形，∴CE⊥AB，
∵BB1⊥平面ABC，又BB1∥CC1，∴CC1⊥平面ABC，∴∠CEC1為二面角C﹣AB﹣C1平面角，
∵側(cè)面ABB1A1是邊長為2的正方形，所以CC1＝2，
∵△ABC為正三角形，∴CE＝，
所以C1E＝，
cs∠CEC1＝＝，
∴二面角C﹣AB﹣C1大小的余弦值為＝．
【點評】本題考查面面垂直的證明方法和用定義法求二面角的大小，屬基礎(chǔ)題．
20．（15分）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點，PA＝AD＝2，．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求PC與平面DEF所成角的正弦值；
（3）在棱BC上是否存在一點M，使得DE⊥平面PAM？若存在．求出的值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）取PD的中點G，連接AG，F(xiàn)G，則FG∥CD，，證明出四邊形AEFG是平行四邊形，從而EF∥AG，進而得出EF∥平面PAD；
（2）由PA⊥底面ABCD，則PA⊥AB，PA⊥AD，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz，利用法向量求PC與平面DEF所成角的正弦值；
（3）側(cè)棱PA⊥底面ABCD，只要在BC上找到一點M，使得DE⊥AM，即可證明DE⊥平面PAM，根據(jù)第（2）問的向量坐標表示，利用向量的數(shù)量積為0，求出M坐標，進而得出的值．
【解答】解：（1）
取PD的中點G，連接AG，F(xiàn)G，∵F，G分別是PC，PD的中點，∴FG∥CD，，
∵底面ABCD是矩形，E是AB的中點，
∴AE∥FG，AE＝FG，∴四邊形AEFG是平行四邊形，
∴EF∥AG，
又∵FE?平面PAD，AG?平面PAD，∴EF∥平面PAD．
（2）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，
又∵底面ABCD是矩形，∴AB⊥AD，
建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)﹣xyz，
∴，，D（0，2，0），P（0，0，2），，
∴，，
設(shè)平面DEF的法向量，則，即，
令y＝1，得，z＝﹣1，
∴，又，
設(shè)PC與平面DEF所成角為θ，
∴，
∴PC與平面DEF所成角的正弦值為．
（3）
∵側(cè)棱PA⊥底面ABCD，
∴只要在BC上找到一點M，使得DE⊥AM，即可證明DE⊥平面PAM，
設(shè)BC上存在一點M，則，t∈[0，2]，
∴，∵，
∴由，解得，
∴BC上存在一點M，使得DE⊥平面PAM，
∴．
【點評】本題主要考查了線面平行的判定，線面角的求解，還考查了線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．
21．（15分）已知直線l1，l2均過點P（1，2）．
（Ⅰ）若直線l1過點A（﹣1，3），且l1⊥l2，求直線l2的方程；
（Ⅱ）如圖，O為坐標原點，若直線l1的斜率為k，其中0＜k≤2，且與y軸交于點N，直線l2過點，且與x軸交于點M，求直線l1，l2與兩坐標軸圍成的四邊形PNOM面積的最小值．
【分析】（Ⅰ）根題意寫出直線l1的方程，進而可得直線l1的斜率為﹣，由l1⊥l2，解得k2＝2，進而可得直線l2的方程．
（Ⅱ）根據(jù)題意可得直線l1的方程為y﹣2＝k（x﹣1），寫出N點的坐標，設(shè)直線l1與x軸的交點為T，同樣可得T點坐標，M點坐標，則SPNOM＝S△TPM﹣S△TNO＝R2﹣+2，0＜k≤2，即可得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）因為直線l1過點P（1，2），A（﹣1，3），
所以直線l1的方程為y﹣2＝（x﹣1），即x+2y﹣5＝0，
所以直線l1的斜率為﹣，
因為l1⊥l2，
所以（﹣）?k2＝﹣1，
所以k2＝2，
所以直線l2的方程為y﹣2＝2（x﹣1），即y＝2x．
（Ⅱ）根據(jù)題意可得直線l1的方程為y﹣2＝k（x﹣1），
令x＝0，得y＝2﹣k，即N（0，2﹣k），
令y＝0，得x＝﹣+1，
設(shè)直線l1與x軸的交點為T（﹣+1，0），
因為直線l2過P（1，2），Q（0，+2），
所以直線l2的方程為y﹣2＝（x﹣1），即y﹣2＝﹣（x﹣1），
令y＝0，得x＝R2+1，即M（R2+1，0），
所以SPNOM＝S△TPM﹣S△TNO＝[R2+1﹣（﹣+1）]×2﹣×（﹣1）×（2﹣k），
＝R2+﹣＝R2+＝R2﹣+2，0＜k≤2，
當k＝2時，SPNOM最小值為R2+1．
【點評】本題考查直線與直線的位置關(guān)系，解題中需要一定的計算能力，屬于中檔題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布日期：2024/7/23 9:47:55；用戶：菁優(yōu)校本題庫；郵箱：2471@xyh.cm；學號：56380052

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