1.理解離散型隨機變量的均值的意義和性質(zhì),會求離散型隨機變量的均值.2.掌握兩點分布的均值.3.能夠利用離散型隨機變量的均值,解決一些相關(guān)問題.4.通過本節(jié)課學(xué)習(xí),培養(yǎng)利用數(shù)學(xué)模型分析、解決實際問題的能力.
離散型隨機變量的均值1.有12個西瓜,已知其中重5 kg的有4個,重6 kg的有3個,重7 kg的有5個.(1)任取一個西瓜,用X表示這個西瓜的重量,試想X的可能取值有哪些?(2)X取上述值時對應(yīng)的概率分別是多少?(3)如何求西瓜的平均重量?
2.(1)一般地,若離散型隨機變量X的分布列如下表所示,
變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望簡稱期望.均值是隨機變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù),它綜合了隨機變量的取值和取值的概率,反映了隨機變量取值的平均水平.(2)一般地,如果隨機變量X服從兩點分布,那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.(3)一般地,下面的結(jié)論成立:E(aX+b)=aE(X)+b .
3.(1)已知Y的分布列為
A.16 B.11 C.2.2 D.2.3
(2)由已知得E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16.
【思考辨析】 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)隨機變量X的均值E(X)是個變量,其隨X的變化而變化.( × )(2)隨機變量的均值反映樣本的平均水平.( × )(3)若隨機變量X的均值E(X)=2,則E(2X)=4.( √ )
【例1】 某運動員投籃命中率為p=0.6,求投籃1次命中次數(shù)X的均值.解:投籃1次,命中次數(shù)X的分布列如下表:因為隨機變量X服從兩點分布,所以E(X)=p=0.6.
1.兩點分布的特點:(1)一次試驗的結(jié)果要么發(fā)生要么不發(fā)生.(2)隨機變量的取值為0,1.(3)試驗次數(shù)一般只有一次試驗.2.如果隨機變量X服從兩點分布,那么隨機變量X的均值E(X)=p.熟練應(yīng)用上述公式可大大減少運算量,提高解題速度.
【變式訓(xùn)練1】 在兩點分布中,若P(X=1)-P(X=0)=0.2,則E(X)=　　　　.?解析:因為P(X=1)+P(X=0)=1,又因為P(X=1)-P(X=0)=0.2,解得P(X=1)=0.6,所以E(X)=0.6.答案:0.6
離散型隨機變量均值公式及性質(zhì)
【例2】 已知隨機變量X的分布列如下表:(1)求m的值;(2)求E(X);(3)若Y=2X-3,求E(Y).
與離散型隨機變量性質(zhì)有關(guān)的問題的解題思路若給出的隨機變量Y與X的關(guān)系為Y=aX+b,a,b為常數(shù).一般先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(Y).也可以利用X的分布列得到Y(jié)的分布列,關(guān)鍵先由X的取值計算Y的取值,對應(yīng)的概率相等,再由定義法求得E(Y).
【變式訓(xùn)練2】 已知隨機變量X的分布列為
【例3】 某汽車4S店在一次汽車促銷活動中,讓每位參與者從盒子中任取一個由0~9中任意三個數(shù)字組成的“三位遞減數(shù)”(即個位數(shù)字小于十位數(shù)字,十位數(shù)字小于百位數(shù)字).若“三位遞減數(shù)”中的三個數(shù)字之和既能被2整除又能被5整除,則可以享受5萬元的優(yōu)惠;若“三位遞減數(shù)”中的三個數(shù)字之和僅能被2整除,則可以享受3萬元的優(yōu)惠;其他結(jié)果享受1萬元的優(yōu)惠.(1)試寫出所有個位數(shù)字為4的“三位遞減數(shù)”;(2)若小明參加了這次汽車促銷活動,求他得到的優(yōu)惠金額X(單位:萬元)的分布列及均值E(X).
解:(1)個位數(shù)字為4的“三位遞減數(shù)”有984,974,964,954,874,864,854,764,754,654,共10個.(2)由題意知,不同的“三位遞減數(shù)”共有 =120(個).小明得到的優(yōu)惠金額X的可能取值為5,3,1.當(dāng)X=5時,三個數(shù)字之和可能為20,10,當(dāng)三個數(shù)字之和為20時,有983,974,965,875,共4個“三位遞減數(shù)”;當(dāng)三個數(shù)字之和為10時,有910,820,730,640,721,631,541,532,共8個“三位遞減數(shù)”,
求離散型隨機變量均值的步驟(1)確定取值:根據(jù)隨機變量X的意義,寫出X所有可能的取值;(2)求概率:求X取每個值的概率;(3)寫分布列:寫出X的分布列;(4)求均值:由均值的定義求出E(X).其中寫出隨機變量的分布列是求解隨機變量均值的關(guān)鍵所在.
【變式訓(xùn)練3】 在甲、乙等六個單位參加的一次慶祝國慶演出活動中,每個單位的節(jié)目集中安排在一起,現(xiàn)采用抽簽的方式隨機確定各單位的演出順序(序號為1,2,…,6),求:(1)甲、乙兩個單位的演出序號至少有一個為奇數(shù)的概率;(2)甲、乙兩個單位之間的演出單位個數(shù)X的分布列與均值.
【例4】 某商場經(jīng)銷某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計,顧客采用的分期付款期數(shù)X的分布列為商場經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤為200元;分2期或3期付款,其利潤為250元;分4期或5期付款,其利潤為300元.Y表示經(jīng)銷一件該商品的利潤.(1)求事件A“購買該商品的3名顧客中,至少有1名采用1期付款”的概率P(A);(2)求Y的分布列及均值E(Y).
解:(1)由事件A表示“購買該商品的3名顧客中至少有1名采用1期付款”知,事件 表示“購買該商品的3名顧客中無人采用1期付款”.P( )=(1-0.4)3=0.216,則P(A)=1-P( )=1-0.216=0.784.(2)Y的可能取值為200,250,300,且P(Y=200)=P(X=1)=0.4,P(Y=250)=P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.2=0.4,P(Y=300)=P(X=4)+P(X=5)=0.1+0.1=0.2.因此Y的分布列為故E(Y)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240.
1.實際生活中的均值問題均值在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用,如在體育比賽的安排和成績預(yù)測、消費預(yù)測、工程方案的選擇、產(chǎn)品合格率的預(yù)測、投資收益等,都可以通過隨機變量的均值來進行估計.2.概率模型的解答步驟(1)審題,確定實際問題是哪一種概率模型,可能用到的事件類型,所用的公式有哪些.(2)確定隨機變量的分布列,計算隨機變量的均值.(3)根據(jù)實際意義,回答概率、均值等所表示的結(jié)論.
【變式訓(xùn)練4】 隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件,經(jīng)質(zhì)檢,其中一等品126件,二等品50件,三等品20件,次品4件.已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元,而1件次品虧損2萬元,設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(單位:元)為X.(1)求X的分布列;(2)求生產(chǎn)1件產(chǎn)品的平均利潤(即X的均值);(3)經(jīng)技術(shù)革新后,仍有四個等級的產(chǎn)品,但次品率降為1%,一等品率提高為70%,如果此時要求生產(chǎn)1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元,則三等品率最多是多少?
(2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34.
(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x,其中0

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7.3 離散型隨機變量的數(shù)字特征

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

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