知識點一 拋物線的定義
平面內 與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等 的點的軌跡叫拋物線．點 F 叫拋物線的 焦點 ，直線 l 叫拋物線的 準線 .
注：l經(jīng)過F時，與定點F和定直線l距離相等的點的軌跡為過F與l垂直的一條直線．
知識點二 拋物線的標準方程與幾何性質
歸 納 拓 展
拋物線焦點弦的處理規(guī)律
如圖，直線AB過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，CA⊥l于C，BD⊥l于D，BM⊥AC于M，交OF于N(l為拋物線的準線)．
則△HBD∽△HFQ∽△HAC∽△BFN∽△BAM等，且
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4).
(2)|AF|＝eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs α)，弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)；x1＋x2≥2eq \r(x1x2)＝p，即當x1＝x2時，弦長最短為2p.
(3)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p).
(4)焦點弦端點與頂點構成的三角形面積：S△AOB＝eq \f(p2,2sin θ)＝eq \f(1,2)|AB||d|＝eq \f(1,2)|OF|·|y1－y2|.
(5)以AB為直徑的圓與準線相切．
(6)焦點F對A，B在準線上射影的張角為90°.
(7)A、O、D三點共線；B、O、C三點共線．
(8)已知拋物線y2＝2px(p>0)，過點P(2p,0)作直線與拋物線交于A，B兩點，則OA⊥OB；過原點O作兩條互相垂直的直線分別交拋物線于A，B兩點(即OA⊥OB)，則直線AB必過定點(2p,0)．
雙 基 自 測
題組一 走出誤區(qū)
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線．( × )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，準線方程是x＝－eq \f(a,4).( × )
(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．( × )
(4)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.( √ )
(5)過拋物線的焦點與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a>0)的通徑長為2a.( √ )
題組二 走進教材
2．(選擇性必修1P135例4)過拋物線y2＝4x的焦點且傾斜角為eq \f(π,4)的直線l交拋物線于A、B，則|AB|＝( B )
A．9 B．8
C．7 D．6
[解析] 由題意知l：y＝x－1，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－1，,y2＝4x))得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故選B.
3．(多選題)(選擇性必修1P136T1)過點M(5，－4)的拋物線的標準方程為( BC )
A．x2＝－eq \f(4,25)y B．x2＝－eq \f(25,4)y
C．y2＝eq \f(16,5)x D．y2＝eq \f(5,16)x
[解析] 若拋物線的對稱軸為y軸，設其標準方程為x2＝－2py(p>0)，則25＝8p，∴p＝eq \f(25,8)，拋物線方程為x2＝－eq \f(25,4)y，
若拋物線的對稱軸為x軸，設其標準方程為y2＝2px(p>0)，則16＝10p，∴p＝eq \f(8,5)，拋物線方程為y2＝eq \f(16,5)x，故選BC.
題組三 走向高考
4．(2023·高考北京卷)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，點M在C上．若M到直線x＝－3的距離為5，則|MF|＝( D )
A．7 B．6
C．5 D．4
[解析] 因為拋物線C：y2＝8x的焦點F(2,0)，準線方程為x＝－2，點M在C上，所以M到準線x＝－2的距離為|MF|，又M到直線x＝－3的距離為5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故選D.
5．(多選題)(2022·全國高考真題)已知O為坐標原點，點A(1,1)在拋物線C：x2＝2py(p>0)上，過點B(0，－1)的直線交C于P，Q兩點，則( BCD )
A．C的準線為y＝－1 B．直線AB與C相切
C．|OP|·|OQ|>|OA|2 D．|BP|·|BQ|>|BA|2
[解析] 將點A的坐標代入拋物線方程得1＝2p，所以拋物線方程為x2＝y(tǒng)，故準線方程為y＝－eq \f(1,4)，A錯誤；kAB＝eq \f(1－?－1?,1－0)＝2，所以直線AB的方程為y＝2x－1，聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x－1,x2＝y(tǒng)))，可得x2－2x＋1＝0，Δ＝4－4＝0，故B正確；
設過B的直線為l，若直線l與y軸重合，則直線l與拋物線C只有一個交點，
所以直線l的斜率存在，設其方程為y＝kx－1，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,x2＝y(tǒng)))得x2－kx＋1＝0，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝k2－4>0，,x1＋x2＝k，,x1x2＝1，))所以k>2或k2＝|OA|2，故C正確；
因為|BP|＝eq \r(1＋k2)|x1|，|BQ|＝eq \r(1＋k2)|x2|，
所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2>5，而|BA|2＝5，
故D正確．故選BCD.標準
方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離
圖形
頂點
O(0,0)
對稱軸
y＝0
x＝0
焦點
F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
離心率
e＝ 1
準線
方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
開口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半徑
(其中
P(x0，y0))
|PF|＝
x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝
－x0＋eq \f(p,2)
|PF|＝
y0＋eq \f(p,2)
|PF|＝
－y0＋eq \f(p,2)

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