知識(shí)點(diǎn)一 橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的 距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|) 的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的 焦點(diǎn) ，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的 焦距 .
注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c為常數(shù)，則有如下結(jié)論：
(1)若a＞c，則集合P為 橢圓 ；
(2)若a＝c，則集合P為 線段F1F2 ；
(3)若a＜c，則集合P為 空集 .
知識(shí)點(diǎn)二 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
歸 納 拓 展
1．a(chǎn)＋c與a－c分別為橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值和最小值；a與b分別為橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值和最小值．
2．過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦|AB|＝eq \f(2b2,a)，稱為通徑．
3．若過(guò)焦點(diǎn)F1的弦為AB，則△ABF2的周長(zhǎng)為4a.
4．e＝eq \r(1－\f(b2,a2)).離心率e越大，橢圓越扁；離心率e越小，橢圓越圓．
5．橢圓的焦點(diǎn)在x軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的分母較大，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的分母較大．
6．AB為橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則
(1)弦長(zhǎng)|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；
(2)直線AB的斜率kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
7．若M、N為橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)長(zhǎng)軸端點(diǎn)，P是橢圓上不與M、N重合的點(diǎn)，則kPM·kPN＝－eq \f(b2,a2).
雙 基 自 測(cè)
題組一 走出誤區(qū)
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．( × )
(2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．( × )
(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲線是橢圓．( √ )
(4)eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)與eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相同．( √ )
題組二 走進(jìn)教材
2．(選擇性必修1P115T6)如圖所示，A是圓O內(nèi)一定點(diǎn)，B是圓周上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AB的中垂線CD與OB交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E的軌跡是( B )
A．圓 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
[解析] 由題意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r為圓的半徑)且r>|OA|，故E的軌跡為以O(shè)，A為焦點(diǎn)的橢圓，故選B.
3．(多選題)(選擇性必修1P115T4)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍；且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,0)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( AD )
A.eq \f(x2,9)＋y2＝1 B．eq \f(x2,81)＋eq \f(y2,9)＝1
C．x2＋eq \f(y2,9)＝1 D．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,81)＝1
[解析] 若P為長(zhǎng)軸的端點(diǎn)，則a＝3，b＝1，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,9)＋y2＝1；
若P為短軸的端點(diǎn)，則b＝3，a＝9，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,81)＝1.
題組三 走向高考
4．(2022·全國(guó)甲卷)橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線AP，AQ的斜率之積為eq \f(1,4)，則C的離心率為( A )
A.eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(1,3)
[解析] A(－a,0)，設(shè)P(x1，y1)，則Q(－x1，y1)，
則kAP＝eq \f(y1,x1＋a)，kAQ＝eq \f(y1,－x1＋a)，
故kAP·kAQ＝eq \f(y1,x1＋a)·eq \f(y1,－x1＋a)＝eq \f(y\\al(2,1),－x\\al(2,1)＋a2)＝eq \f(1,4)，
又eq \f(x\\al(2,1),a2)＋eq \f(y\\al(2,1),b2)＝1，則yeq \\al(2,1)＝eq \f(b2?a2－x\\al(2,1)?,a2)，
所以eq \f(\f(b2?a2－x\\al(2,1)?,a2),－x\\al(2,1)＋a2)＝eq \f(1,4)，即eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，
所以橢圓C的離心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2).故選A.
5．(2023·高考新課標(biāo)Ⅱ卷)已知橢圓C：eq \f(x2,3)＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線y＝x＋m與C交于A，B兩點(diǎn)，若△F1AB面積是△F2AB面積的2倍，則m＝( C )
A.eq \f(2,3) B．eq \f(\r(2),3)
C．－eq \f(\r(2),3) D．－eq \f(2,3)
[解析] 將直線y＝x＋m與橢圓聯(lián)立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1，))消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，因?yàn)橹本€與橢圓相交于A，B點(diǎn)，則Δ＝36m2－4×4(3m2－3)>0，解得－2

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