C．雙曲線 D．拋物線
[解析] 設動圓的圓心為C半徑為r，則C到定圓A：(x＋2)2＋y2＝1的圓心的距離等于r＋1，而動圓的圓心到直線x＝1的距離等于r，所以動圓到直線x＝2距離為r＋1，即動圓圓心到定點(－2,0)和定直線x＝2的距離相等，根據(jù)拋物線的定義知，動圓的圓心軌跡為拋物線，所以答案為D.
角度2 到焦點與到定點距離之和最小問題
已知M是拋物線x2＝4y上一點，F(xiàn)為其焦點，C為圓(x＋1)2＋(y－2)2 ＝1的圓心，則|MF|＋|MC|的最小值為( B )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析] 設拋物線x2＝4y的準線方程為l：y＝－1，C為圓(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圓心，所以C的坐標為(－1,2)，過M作l的垂線，垂足為E，根據(jù)拋物線的定義可知|MF|＝|ME|，所以問題求|MF|＋|MC|的最小值，就轉(zhuǎn)化為求|ME|＋|MC|的最小值，由平面幾何的知識可知，當C，M，E在一條直線上時，此時CE⊥l，|ME|＋|MC|有最小值，最小值為|CE|＝2－(－1)＝3，故選B.
[引申]本例中，(ⅰ)|MC|－|MF|的最大值為 eq \r(2) ；最小值為 －eq \r(2) ；(ⅱ)若N為⊙C上任一點，則|MF|＋|MN|的最小值為 2 .
角度3 到準線與到定點距離之和最小問題
(2023·四川大學附中期中)設點P是拋物線C1：x2＝4y上的動點，點M是圓C2：(x－5)2＋(y＋4)2＝4上的動點，d是點P到直線y＝－2的距離，則d＋|PM|的最小值是( B )
A．5eq \r(2)－2 B．5eq \r(2)－1
C．5eq \r(2) D．5eq \r(2)＋1
[解析] 拋物線C1：x2＝4y的焦點為F(0,1)，∴d＋|PM|＝|PF|＋1＋|PC2|－2＝|PF|＋|PC2|－1≥|FC2|－1＝5eq \r(2)－1.(當且僅當F、P、C2共線時取等號)．故選B.
角度4 到兩定直線的距離之和最小問題
(2024·陜西西安質(zhì)檢)已知直線l：4x－3y＋6＝0，拋物線y2＝8x上一動點P(x0，y0)到直線l的距離為d，則d＋|x0|的最小值是 eq \f(4,5) .
[解析] 如圖所示：若PC⊥直線l，PB⊥拋物線準線且交y軸于A點，則d＝|PC|，|x0|＝|PA|，
由拋物線定義知：|PF|＝|PB|＝|PA|＋eq \f(p,2)，
則|PA|＝|PF|－eq \f(p,2)＝|PF|－2，
所以d＋|x0|＝|PC|＋|PF|－2，
要使目標式最小，即|PC|＋|PF|最小，
當F，P，C共線時，又F(2,0)，此時(d＋|x0|)min＝eq \f(|8－0＋6|,5)－2＝eq \f(4,5).
名師點撥：利用拋物線的定義可解決的常見問題
1．軌跡問題：用拋物線的定義可以確定動點與定點、定直線距離有關(guān)的軌跡是否為拋物線．
2．距離問題：涉及拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離問題時，注意在解題中利用兩者之間的關(guān)系進行相互轉(zhuǎn)化．
注：看到準線想焦點，看到焦點想準線，這是解決拋物線焦點弦有關(guān)問題的重要途徑．
【變式訓練】
1．(角度1)到定點A(0,2)的距離比到定直線l：y＝－1大1的動點P的軌跡方程為 x2＝8y .
[解析] 由題意知P到A的距離等于其到直線y＝－2的距離，故P的軌跡是以A為焦點，直線y＝－2為準線的拋物線，所以其方程為x2＝8y.
2．(角度2)(2024·江蘇無錫等四地模擬)已知P(3,3)，M是拋物線y2＝4x上的動點(異于頂點)，過M作圓C：(x－2)2＋y2＝4的切線，切點為A，則|MA|＋|MP|的最小值為 3 .
[解析] 依題意，設M(x0，y0)，x0>0，有yeq \\al(2,0)＝4x0，圓C：(x－2)2＋y2＝4的圓心C(2,0)，半徑r＝2，于是|MA|＝eq \r(|MC|2－r2)＝eq \r(?x0－2?2＋y\\al(2,0)－4)＝eq \r(x\\al(2,0))＝x0，因此|MA|＋|MP|＝x0＋|MP|，表示拋物線C上的點M到y(tǒng)軸距離與到定點P的距離的和，而點P在拋物線C內(nèi)，當且僅當M是過點P垂直于y軸的直線與拋物線C的交點時，x0＋|MP|取得最小值3，所以|MA|＋|MP|的最小值為3.
3．(角度3)已知點Q(2eq \r(2)，0)及拋物線y＝eq \f(x2,4)上一動點P(x，y)，則y＋|PQ|的最小值是 2 .
[解析] 拋物線y＝eq \f(x2,4)即x2＝4y，其焦點坐標為F(0,1)，準線方程為y＝－1.因為點Q的坐標為(2eq \r(2)，0)，所以|FQ|＝eq \r(?2\r(2)?2＋12)＝3.過點P作準線的垂線PH，交x軸于點D，如圖所示．結(jié)合拋物線的定義，有y＋|PQ|＝|PD|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1＝3－1＝2，即y＋|PQ|的最小值是2.
4．(角度4)已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和l2的距離之和的最小值為( C )
A.eq \f(37,16) B．eq \f(11,5)
C．2 D．eq \f(7,4)
[解析] 直線l2：x＝－1是拋物線y2＝4x的準線，拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，則點P到直線l2：x＝－1的距離等于|PF|，過點F作直線l1：4x－3y＋6＝0的垂線，和拋物線的交點就是點P，所以點P到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離和到直線l2：x＝－1的距離之和的最小值就是點F(1,0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，所以最小值為eq \f(|4－0＋6|,\r(32＋42))＝2，故選C.

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