∴p1＝eq \f(2,3)或p2＝eq \f(9,4).
∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－eq \f(4,3)x或x2＝eq \f(9,2)y.
2．焦點(diǎn)在直線x－2y－4＝0上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2＝16x或x2＝－8y ，準(zhǔn)線方程為 x＝－4或y＝2 .
[解析] 令x＝0，得y＝－2，令y＝0，得x＝4.
∴拋物線的焦點(diǎn)為(4,0)或(0，－2)．
當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，eq \f(p,2)＝4，
∴p＝8，此時(shí)拋物線方程為y2＝16x；
當(dāng)焦點(diǎn)為(0，－2)時(shí)，eq \f(p,2)＝2，
∴p＝4，此時(shí)拋物線方程為x2＝－8y.
∴所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x或x2＝－8y，
對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x＝－4，y＝2.
3.已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)A(2，y0)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，直線FA交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)M，滿足2eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))，則拋物線方程為( C )
A．y2＝8x B．y2＝16x
C．y2＝24x D．y2＝32x
[解析] 解法一：作AB⊥x軸，則AB∥MK，
因?yàn)?eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))，且A(2，y0)，
所以eq \f(|AF|,|AM|)＝eq \f(|BF|,|BK|)＝eq \f(\f(p,2)－2,\f(p,2)＋2)＝eq \f(1,2)，
即2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－2))＝2＋eq \f(p,2)，解得p＝12，
所以拋物線方程是y2＝24x，故選C.
解法二：作AN垂直準(zhǔn)線l于N，
則|AN|＝|AF|，又2eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))，
∴|AN|＝eq \f(1,2)|AM|，
∴∠AMN＝eq \f(π,6).
∴|AF|＝eq \f(1,3)|MF|＝eq \f(2p,3)，
即2＋eq \f(p,2)＝eq \f(2p,3)，∴p＝12.
故拋物線方程為y2＝24x.故選C.
解法三：由解法一與二知∠BFA＝eq \f(π,3)，
∴|BA|＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－2))，
∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－2))))，代入拋物線方程得3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)－2))2＝4p，解得p＝12或eq \f(4,3)(舍去)
∴拋物線方程為y2＝24x，故選C.
[引申](1)本例3中若直線FA交拋物線于另一點(diǎn)B，則|AB|＝ 32 .
(2)本例3中若將“2eq \(FA,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))”改為“2|FA|＝|AM|”則拋物線方程為 y2＝24x或y2＝eq \f(8,3)x .
[解析] (1)由p＝12知|AF|＝8，
又eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,12)，
∴|BF|＝24，∴|AB|＝32.
(2)若A在第四象限，拋物線方程為y2＝24x，
若A在第一象限，同理可求得拋物線方程為y2＝eq \f(8,3)x.
名師點(diǎn)撥：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
1．求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，若焦點(diǎn)位置確定，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只需一個(gè)條件確定p值即可．
2．因?yàn)閽佄锞€方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時(shí)，需先定位，再定量．一般焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的方程可設(shè)為y2＝ax(a≠0)；焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的方程可設(shè)為x2＝ay(a≠0)．
注：數(shù)形結(jié)合解題時(shí)，注意圖形的對(duì)稱性，不要丟解．
已知焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程可確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式；已知拋物線過某點(diǎn)不能確定拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，需根據(jù)四種拋物線的圖形及開口方向確定．
【變式訓(xùn)練】
1．(2024·山東青島調(diào)研)設(shè)拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，M(x,4)在C上，|MF|＝5，則C的方程為( A )
A．x2＝4y B．x2＝－4y
C．x2＝－2y D．x2＝2y
[解析] 拋物線x2＝2py的開口向上，由于M(x,4)在C上，且|MF|＝5，根據(jù)拋物線的定義可知4＋eq \f(p,2)＝5，p＝2，所以拋物線C的方程為x2＝4y.故選A.
2．過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F且斜率為－2的直線交拋物線C于A，B.若|AB|＝eq \f(5,2)，則拋物線C的方程為( B )
A．y2＝x B．y2＝2x
C．y2＝4x D．y2＝6x
[解析] AB的方程為y＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，即y＝－2x＋p，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－2x＋p，,y2＝2px，))得4x2－6px＋p2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝eq \f(3,2)p，x1x2＝eq \f(p2,4)，∴eq \f(5,2)＝|AB|＝eq \r(5)eq \r(?x1＋x2?2－4x1x2)＝eq \f(5,2)p，解得p＝1，∴拋物線C的方程為y2＝2x，故選B.

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