2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)知識(shí)梳理訓(xùn)練題第8章平面解析幾何第6講雙曲線-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識(shí)點(diǎn)一雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|) 的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn) ，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距 .
注：設(shè)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)，且a＞0，c＞0；
(1)當(dāng)a＜c時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；
(2)當(dāng)a＝c時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線；
(3)當(dāng)a＞c時(shí)，集合P是空集 .
知識(shí)點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
歸納拓展
雙曲線中的幾個(gè)常用結(jié)論
(1)焦點(diǎn)到漸近線的距離為b.
(2)實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)相等的雙曲線叫做等軸雙曲線．
雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e＝eq \r(2)?雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關(guān)系)．
(3)過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長(zhǎng)為eq \f(2b2,a)(通徑)．
過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)與雙曲線一支相交所得弦長(zhǎng)的最小值為eq \f(2b2,a)；與兩支相交所得弦長(zhǎng)的最小值為2a.
(4)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F1的弦AB與雙曲線交在同支上，則AB與另一個(gè)焦點(diǎn)F2構(gòu)成的△ABF2的周長(zhǎng)為4a＋2|AB|.
(5)雙曲線的離心率公式可表示為e＝eq \r(1＋\f(b2,a2)).
(6)雙曲線的形狀與e的關(guān)系：|k|＝eq \f(b,a)＝eq \r(\f(c2,a2)－1)＝eq \r(e2－1)，e越大，即漸近線斜率的絕對(duì)值就越大，雙曲線開(kāi)口就越開(kāi)闊．
(7)若M、N為雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)實(shí)軸端點(diǎn)，P為雙曲線上不與M、N重合的點(diǎn)，則kPM·kPN＝eq \f(b2,a2).
(8)eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與eq \f(y2,b2)－eq \f(x2,a2)＝1(a>0，b>0)互為共軛雙曲線，其離心率倒數(shù)的平方和為1.
雙基自測(cè)
題組一走出誤區(qū)
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．( × )
(2)方程eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．( × )
(3)雙曲線方程eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝0，即eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.( √ )
(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于eq \r(2).( √ )
(5)若雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與eq \f(y2,b2)－eq \f(x2,a2)＝1(a>0，b>0)的離心率分別是e1，e2，則eq \f(1,e\\al(2,1))＋eq \f(1,e\\al(2,2))＝1(此條件中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線)．( √ )
題組二走進(jìn)教材
2．(選擇性必修1P127T8)與橢圓eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1有公共焦點(diǎn)，且離心率e＝eq \f(5,4)的雙曲線的漸近線方程為 3x±4y＝0 .
[解析] 由題意知c＝eq \r(49－24)＝5，又e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)，∴a＝4，從而b＝eq \r(c2－a2)＝3.∴雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \f(3,4)x，即3x±4y＝0.
3．(多選題)(選擇性必修1P146T11)已知常數(shù)a>0，點(diǎn)A(－a,0)，B(a,0)，動(dòng)點(diǎn)M(不與A，B重合)滿足：直線AM與直線BM的斜率之積為m(m≠0)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡與點(diǎn)A，B共同構(gòu)成曲線C，則關(guān)于曲線C的下列說(shuō)法正確的是( BCD )
A．當(dāng)m－1且m≠0時(shí)，曲線C的離心率是eq \r(1＋m)
[解析] 設(shè)M(x，y)，則eq \f(y,x＋a)·eq \f(y,x－a)＝m，所以y2＝m(x2－a2)，即曲線C的方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,ma2)＝1，當(dāng)m0時(shí)，曲線C表示雙曲線，其漸近線方程為y＝±eq \r(m)x，C正確；當(dāng)m>0時(shí)，曲線C表示雙曲線，其離心率為eq \r(1＋\f(ma2,a2))＝eq \r(1＋m)，當(dāng)－10)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為 y＝±eq \r(3)x .
[解析] 因?yàn)殡p曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，
所以e＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝2，所以eq \f(b2,a2)＝3，
所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(3)x.
故答案為y＝±eq \r(3)x.
5．(2023·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷)已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，eq \(F1A,\s\up6(→))⊥eq \(F1B,\s\up6(→))，eq \(F2A,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(→))，則C的離心率為 eq \f(3\r(5),5) .
[解析] 解法一：依題意，設(shè)|AF2|＝2m，則|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，
在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，則(a＋3m)(a－m)＝0，
故a＝m或a＝－3m(舍去)，
所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，則|AB|＝5a，
故cs∠F1AF2＝eq \f(|AF1|,|AB|)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，
所以在△AF1F2中，cs∠F1AF2＝eq \f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq \f(4,5)，整理得5c2＝9a2，故e＝eq \f(c,a)＝eq \f(3\r(5),5).
解法二：依題意，得F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，
令A(yù)(x0，y0)，B(0，t)，因?yàn)閑q \(F2A,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)eq \(F2B,\s\up6(→))，
所以(x0－c，y0)＝－eq \f(2,3)(－c，t)，則x0＝eq \f(5,3)c，y0＝－eq \f(2,3)t，
又eq \(F1A,\s\up6(→))⊥eq \(F1B,\s\up6(→))，所以eq \(F1A,\s\up6(→))·eq \(F1B,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)c，－\f(2,3)t))(c，t)＝eq \f(8,3)c2－eq \f(2,3)t2＝0，
則t2＝4c2，又點(diǎn)A在C上，則eq \f(\f(25,9)c2,a2)－eq \f(\f(4,9)t2,b2)＝1，
整理得eq \f(25c2,9a2)－eq \f(4t2,9b2)＝1，則eq \f(25c2,9a2)－eq \f(16c2,9b2)＝1，
所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，
即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，
整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，則(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，
又e>1，所以e＝eq \f(3\r(5),5)或e＝eq \f(\r(5),5)(舍去)，故e＝eq \f(3\r(5),5).標(biāo)準(zhǔn)方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1
(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1
(a＞0，b＞0)
圖形
性
質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1 (－a,0) ，A2 (a,0)
頂點(diǎn)坐標(biāo)：A1 (0，－a) ，A2 (0，a)
漸近線
y＝ ±eq \f(b,a)x
y＝ ±eq \f(a,b)x
離心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq \r(a2＋b2)
實(shí)虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|＝ 2a ；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|＝ 2b ； a 叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng) ，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)
a、b、c
的關(guān)系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)

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