知識點一 空間向量的有關概念
1．空間向量的有關概念
(1)空間向量：在空間中，具有 大小 和 方向 的量叫做空間向量，其大小叫做向量的 長度 或 模 .
(2)零向量：長度為 0 的向量，記作0；
零向量與任意向量共線，0∥a；
單位向量：模為 1 的向量；
相反向量：與向量a長度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a；
相等向量：方向 相同 且模 相等 的向量．
(3)共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線 平行 或 重合 ，則這些向量叫做 共線向量 或 平行向量 .
(4)共面向量：平行于同一 平面 的向量叫做共面向量．
2．空間向量中的有關定理
(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b?存在唯一確定的λ∈R，使a＝λb.
(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個基底．
3．空間向量的數(shù)量積及運算律
(1)已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作 〈a，b〉 ，其范圍是 0≤〈a，b〉≤π ，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，則稱a與b 互相垂直 ，記作a⊥b.
向量a，b的數(shù)量積a·b＝ |a||b|cs〈a，b〉 .
(2)空間向量數(shù)量積的運算律
結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
交換律：a·b＝b·a；
分配律：a·(b＋c)＝ a·b＋a·c .
知識點二 空間向量的坐標表示及其應用
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．則
空間兩點P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)之間的距離為|P1P2|＝eq \r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2＋?z1－z2?2).
知識點三 兩個重要的向量
1．直線的方向向量
直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量，一條直線的方向向量有 無數(shù) 個．
2．平面的法向量
直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個向量叫做平面α的法向量．顯然一個平面的法向量有 無數(shù) 個，它們是共線向量．
知識點四 空間位置關系的向量表示
歸 納 拓 展
1．向量三點共線定理
在平面中A，B，C三點共線的充要條件是：eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O為平面內(nèi)任意一點．
2．向量四點共面定理
在空間中P，A，B，C四點共面的充要條件是：eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點．
3．|a|2＝a·a；|a·b|≤|a|·|b|.
4．a(chǎn)·b>0?a、b的夾角為銳角或0角．即“a·b>0”是“a、b的夾角為銳角”的必要不充分條件．
5．向量法證明空間的線面平行或垂直
①a，b為平面α的基向量，若eq \(AB,\s\up6(→))＝λa＋μb(λ，μ∈R)，AB?α，則AB∥α.
②若n為平面α的法向量，eq \(AB,\s\up6(→))·n＝0.AB?α，則AB∥α.
③a，b為平面α的基向量，若eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))·a＝0，,\(AB,\s\up6(→))·b＝0，))則AB⊥α.
雙 基 自 測
題組一 走出誤區(qū)
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)空間中任意兩個非零向量a，b共面．( √ )
(2)在向量的數(shù)量積運算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( × )
(3)對于非零向量b，由a·b＝b·c，則a＝c.( × )
(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同．( × )
(5)平面的單位法向量是唯一確定的．( × )
(6)若兩平面的法向量垂直，則兩平面垂直．( √ )
題組二 走進教材
2．(選擇性必修1P10T5)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M為A1C1的中點，若eq \(BA,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(BB1,\s\up6(→))＝c，則下列向量與eq \(BM,\s\up6(→))相等的是( D )
A．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c B．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－c
C．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c D．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
[解析] ∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，M為A1C1的中點，
∴eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1M,\s\up6(→))
＝a＋c＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))
＝a＋c＋eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→)))
＝a＋c＋eq \f(1,2)(b－a)
＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.故選D.
3．(選擇性必修1P14T2)(2023·河南駐馬店模擬)在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為( A )
A.eq \f(\r(6),6) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(1,6) D．eq \f(1,3)
[解析] 解法一：記eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，
由題意知a、b、c兩兩夾角均為eq \f(π,3)，設AB＝1，則eq \(AB1,\s\up6(→))＝a＋c，eq \(BC1,\s\up6(→))＝－a＋b＋c，
∴|eq \(AB1,\s\up6(→))|＝eq \r(?a＋c?2)＝eq \r(3)，
|eq \(BC1,\s\up6(→))|＝eq \r(?－a＋b＋c?2)＝eq \r(2)，
∴cs〈eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(AB1,\s\up6(→))·\(BC1,\s\up6(→)),|\(AB1,\s\up6(→))||\(BC1,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(6),6).
解法二：將三棱柱補成平行六面體(如圖)，連AD1，B1D1，則AD1∥BC1，
∴∠B1AD1或其補角即為AB1與BC1所成的角，設AB＝1，則AB1＝eq \r(3)，
AD1＝BC1＝eq \r(2)，B1D1＝eq \r(3)，
∴cs∠B1AD1＝eq \f(\f(AD1,2),AB1)＝eq \f(\r(2),2\r(3))＝eq \f(\r(6),6).
題組三 走向高考
4．(多選題)(2021·全國新高考Ⅱ)如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點，則滿足MN⊥OP的是( BC )
[解析] 不妨設正方體棱長為2，
對于A，
eq \(MN,\s\up6(→))＝(－2,2,0)，eq \(OP,\s\up6(→))＝(－1,1,1)，
∴eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(OP,\s\up6(→))＝4≠0，
∴MN不垂直O(jiān)P.
對于B，
eq \(MN,\s\up6(→))＝(－2,0,2)，eq \(OP,\s\up6(→))＝(1，－1,1)，
∴eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(OP,\s\up6(→))＝0，∴MN⊥OP.
對于C，
eq \(MN,\s\up6(→))＝(－2,0，－2)，eq \(OP,\s\up6(→))＝(－1，－1,1)，
∴eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(OP,\s\up6(→))＝0，
∴MN⊥OP.
對于D，
eq \(MN,\s\up6(→))＝(0，－2,2)，eq \(OP,\s\up6(→))＝(1,0,2)，
∴eq \(MN,\s\up6(→))·eq \(OP,\s\up6(→))＝4≠0，
∴MN不垂直O(jiān)P.故選BC.
5．(多選題)(2021·全國新課標Ⅰ卷)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝1，點P滿足eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))＋μeq \(BB1,\s\up6(→))，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，則( BD )
A．當λ＝1時，△AB1P的周長為定值
B．當μ＝1時，三棱錐P－A1BC的體積為定值
C．當λ＝eq \f(1,2)時，有且僅有一個點P，使得A1P⊥BP
D．當μ＝eq \f(1,2)時，有且僅有一個點P，使得A1B⊥平面AB1P
[解析] 易知，點P在矩形BCC1B1內(nèi)部(含邊界)．對于A，當λ＝1時，eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋μeq \(BB1,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋μeq \(CC1,\s\up6(→))，即此時P∈線段CC1，△AB1P周長不是定值，故A錯誤；對于B，當μ＝1時，eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(→))＋λeq \(B1C1,\s\up6(→))，故此時P點軌跡為線段B1C1，而B1C1∥BC，B1C1∥平面A1BC，則有P到平面A1BC的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確；對于C，當λ＝eq \f(1,2)時，eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋μeq \(BB1,\s\up6(→))，取BC，B1C1中點分別為Q，H，則eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(BQ,\s\up6(→))＋μeq \(QH,\s\up6(→))，所以P點軌跡為線段QH，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，A1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0，1))，P(0,0，μ)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)，0))，則eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，0，μ－1))，eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)，μ))，eq \(A1P,\s\up6(→))·eq \(BP,\s\up6(→))＝μ(μ－1)＝0，所以μ＝0或μ＝1.故H，Q均滿足，故C錯誤；對于D，當μ＝eq \f(1,2)時，eq \(BP,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BB1,\s\up6(→))，取BB1，CC1中點為M，N.eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(BM,\s\up6(→))＋λeq \(MN,\s\up6(→))，所以P點軌跡為線段MN.設Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，y0，\f(1,2)))，因為Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0，0))，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，y0，\f(1,2)))，eq \(A1B,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)，－1))，所以eq \f(3,4)＋eq \f(1,2)y0－eq \f(1,2)＝0?y0＝－eq \f(1,2)，此時P與N重合，故D正確．故選BD.
向量表示
坐標表示
數(shù)量積
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共線
a＝λb(b≠0)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0
(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))
夾角
〈a，b〉
(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉
＝ eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))·\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))
位置關系
向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2
l1∥l2
n1∥n2?n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2?n1·n2＝0
直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m
l∥α
n⊥m?m·n＝0
l⊥α
n∥m?n＝λm
平面α、β的法向量分別為n、m
α∥β
n∥m?n＝λm
α⊥β
n⊥m?n·m＝0

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