一、單選題
1．如圖，在四面體OABC中，M，N分別在棱OA，BC上，且滿足eq \(OM,\s\up6(→))＝2eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(NC,\s\up6(→))，點(diǎn)G是線段MN的中點(diǎn)，用向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))表示向量eq \(OG,\s\up6(→))應(yīng)為( A )
A.eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→))
B.eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→))
C.eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→))
D.eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→))
[解析] eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，化簡(jiǎn)得到eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→)).故選A.
2．(2023·廣西桂林模擬預(yù)測(cè))已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c共面，則λ等于( C )
A．－3 B．3
C．－9 D．9
[解析] ∵a，b，c共面，
∴設(shè)c＝ma＋nb(m、n為實(shí)數(shù))，
即(7,6，λ)＝m(2,1，－3)＋n(－1,2,3)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－n＝7，,m＋2n＝6，,－3m＋3n＝λ，))解得λ＝－9.故選C.
3．(2023·遼寧沈陽(yáng)重點(diǎn)高中聯(lián)合體期中)設(shè)x、y∈R，向量a＝(x,1,1)，b＝(1，y,1)，c＝(3，－6,3)且a⊥c，b∥c，則|a＋b|＝( D )
A．2eq \r(2) B．2eq \r(3)
C．4 D．3
[解析] 因?yàn)閍⊥c，則a·c＝3x－6＋3＝0，
解得x＝1，則a＝(1,1,1)，
因?yàn)閎∥c，則eq \f(1,3)＝eq \f(y,－6)，解得y＝－2，
即b＝(1，－2,1)，
所以a＋b＝(2，－1,2)，
因此|a＋b|＝eq \r(4＋1＋4)＝3.
故選D.
4．(2024·湖北宜荊荊隨聯(lián)考)已知空間向量a＝(0,1,2)，b＝(－1,2,2)，則向量a在向量b上的投影向量是( B )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3)，\f(2,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(4,3)，\f(4,3)))
C．(－2,4,4) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))
[解析] a在b方向上的投影向量為eq \f(a·b,|b|)·eq \f(b,|b|)＝eq \f(6,3)×eq \f(1,3)(－1,2,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，\f(4,3)，\f(4,3))).故選B.
5．(2024·河南漯河中學(xué)摸底)已知四面體A－BCD的所有棱長(zhǎng)都等于2，E是棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CD上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)，則eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))等于( D )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．－eq \f(5,2) D．eq \f(5,2)
[解析] 解法一：因?yàn)镋是棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CD上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)，所以eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(CD,\s\up6(→))，所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→)).因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝2×2×cs 60°＝2，eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(BC,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝2×2×cs 60°＝2，eq \(CD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(CD,\s\up6(→))|·|eq \(AC,\s\up6(→))|cs〈eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝2×2×cs 120°＝－2，所以eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)×2＋2＋eq \f(1,4)×(－2)＝eq \f(5,2).故選D.
解法二：取AC的中點(diǎn)H，分別以HB、HC為x軸、y軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，由題意知BH＝eq \r(3)，又D在平面ABC內(nèi)的射影為正△ABC的中心O.∴DO＝eq \f(2\r(6),3)，OH＝eq \f(\r(3),3).∴Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),12)，\f(3,4)，\f(\r(6),6)))，又Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)，0))，∴eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5\r(3),12)，\f(5,4)，\f(\r(6),6)))，又eq \(AC,\s\up6(→))＝(0,2,0)，∴eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(5,2).故選D.
6．(2024·湘豫名校聯(lián)考)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AC＝AA1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值等于( D )
A.eq \f(\r(3),2) B．eq \f(1,2)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(1,4)
[解析] 不妨設(shè)AB＝BC＝AC＝AA1＝2.
解法一：eq \(AB1,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(→))－eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))，由題意易知AB1＝BC1＝2eq \r(2)，eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0，eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2，∴cs θ＝eq \f(|\(AB1,\s\up6(→))·\(BC1,\s\up6(→))|,|\(AB1,\s\up6(→))||\(BC1,\s\up6(→))|)＝eq \f(|?\(BB1,\s\up6(→))－\(BA,\s\up6(→))?·?\(BC,\s\up6(→))＋\(BB1,\s\up6(→))?|,8)＝eq \f(1,4).故選D.
解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(eq \r(3)，1,0)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)，∴eq \(AB1,\s\up6(→))＝(－eq \r(3)，－1,2)，eq \(BC1,\s\up6(→))＝(0,2,2)，∴cs θ＝eq \f(|\(AB1,\s\up6(→))·\(BC1,\s\up6(→))|,|AB1\(|,\s\up6(→))|\(BC1,\s\up6(→))|)＝eq \f(|－2＋4|,2\r(2)×2\r(2))＝eq \f(1,4).故選D.
解法三：如圖將三棱柱補(bǔ)形成平行六面體，連接DC1，則DC1∥AB1，∴∠BC1D為異面直線AB1與BC1所成的角．由題意易知AB1＝DC1＝2eq \r(2)，BD＝2eq \r(3).∴cs∠BC1D＝eq \f(DC\\al(2,1)＋BC\\al(2,1)－BD2,2DC1·BC1)＝eq \f(8＋8－12,2×2\r(2)×2\r(2))＝eq \f(1,4).故選D.
7. (2024·河北聯(lián)考)如圖，二面角α－l－β等于135°，A，B是棱l上兩點(diǎn)，BD，AC分別在半平面α，β內(nèi)，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝2，BD＝eq \r(2)，則CD＝( C )
A．2eq \r(3) B．2eq \r(2)
C．eq \r(14) D．4
[解析] 由二面角的平面角的定義知〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝135°，所以eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝|eq \(BD,\s\up6(→))||ACeq \(|,\s\up6(→))cs〈eq \(BD,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉＝eq \r(2)×2×cs 135°＝－2.由AC⊥l，BD⊥l，得eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0，eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0.又eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，所以|eq \(DC,\s\up6(→))|2＝(eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))2＝eq \(DB,\s\up6(→))2＋eq \(BA,\s\up6(→))2＋eq \(AC,\s\up6(→))2＋2eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＋2eq \(DB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \r(2))2＋22＋22－2eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝10－2×(－2)＝14，即|eq \(DC,\s\up6(→))|＝eq \r(14).
8．(2022·浙江紹興高三期末)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，P是直線A1C上一點(diǎn)( A )
A．若eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(A1C,\s\up6(→))，則直線AP∥平面BC1D
B．若eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(A1C,\s\up6(→))，則直線AP∥平面BC1D
C．若eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(A1C,\s\up6(→))，則直線BP⊥平面ACD1
D．若eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(A1C,\s\up6(→))，則直線BP⊥平面ACD1
[解析] 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以eq \(DA,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))，eq \(DD1,\s\up6(→))為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A1(1,0,1)，
當(dāng)eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(A1C,\s\up6(→))時(shí)，
eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(A1C,\s\up6(→))
＝(0,0,1)＋eq \f(1,3)(－1,1，－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3)，\f(2,3)))，
eq \(DB,\s\up6(→))＝(1,1,0)，eq \(DC1,\s\up6(→))＝(0,1,1)，
設(shè)平面BC1D的一個(gè)法向量為m＝(x，y，z)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝0，,y＋z＝0，))可取m＝(1，－1,1)，
則eq \(AP,\s\up6(→))·m＝－eq \f(1,3)－eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)＝0，
從而可知直線AP∥平面BC1D，故A正確，B不正確；
同理可取平面ACD1的一個(gè)法向量n＝(1,1,1)，
若eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(A1C,\s\up6(→))時(shí)，
eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(A1C,\s\up6(→))
＝(0，－1,0)＋(0,0,1)＋eq \f(1,3)(－1,1，－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(2,3)，\f(2,3)))，
所以eq \(BP,\s\up6(→))與n不共線，所以直線BP與平面ACD1不垂直，故C不正確；
若eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(A1C,\s\up6(→))時(shí)，
eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1P,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(A1C,\s\up6(→))
＝(0，－1,0)＋(0,0,1)＋eq \f(1,2)(－1,1，－1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,2)，\f(1,2)))，
所以eq \(BP,\s\up6(→))與n不共線，所以直線BP與平面ACD1不垂直，故D不正確．故選A.
二、多選題
9．(2024·江蘇鎮(zhèn)江期初測(cè)試)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，∠A1AB＝∠A1AD，A1C1∩B1D1＝O1，則下列說(shuō)法正確的是( ABD )
A．四邊形B1BDD1為矩形
B.eq \(AO1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AO1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))
C.eq \(AO1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(→))
D．如果eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA1,\s\up6(→))，那么點(diǎn)M在平面A1BD內(nèi)
[解析] eq \(AO1,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＝2eq \(AN,\s\up6(→))，N為A1O1的中點(diǎn)，eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，
由于eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))≠2eq \(AN,\s\up6(→))，所以eq \(AO1,\s\up6(→))≠eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(→))，C錯(cuò)誤；
設(shè)AC∩BD＝O，A1B2＝A1A2＋AB2－2AA1·ABcs∠A1AB，
A1D2＝A1A2＋AD2－2AA1·ADcs∠A1AD，∴A1B＝A1D，
故A1O⊥BD，
又AC⊥BD，A1O∩AC＝O，A1O，AC?平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，由于AA1?平面ACC1A1，故BD⊥AA1，由于AA1∥BB1，進(jìn)而B(niǎo)D⊥BB1，所以四邊形BDD1B1為矩形，A正確；
BD⊥AO1，所以eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AO1,\s\up6(→))＝0?(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·eq \(AO1,\s\up6(→))＝0，所以eq \(AO1,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AO1,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))，B正確；
eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA1,\s\up6(→))，由于eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝1，
所以M，B，D，A1四點(diǎn)共面，故M在平面A1BD內(nèi)，D正確．故選ABD.
10．(2024·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)已知空間四點(diǎn)O(0,0,0)，A(4,3,0)，B(－3,0,4)，C(5,6,4)，則下列說(shuō)法正確的是( BD )
A.eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝12
B．cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))〉＝－eq \f(12,25)
C．點(diǎn)O到直線BC的距離為eq \r(5)
D．O，A，B，C四點(diǎn)共面
[解析] 因?yàn)閑q \(OA,\s\up6(→))＝(4,3,0)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3,0,4)，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝4×(－3)＝－12，因此A不正確；又cs〈eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))·\(OB,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→)))))＝－eq \f(12,\r(42＋32)×\r(?－3?2＋42))＝－eq \f(12,25)，因此B正確；eq \(BO,\s\up6(→))＝(3,0，－4)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(8,6,0)，cs〈eq \(BO,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \f(\(BO,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BO,\s\up6(→))))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→)))))＝eq \f(24,\r(32＋?－4?2)×\r(82＋62))＝eq \f(12,25)，所以sin〈eq \(BO,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝eq \r(1－cs2〈\(BO,\s\up6(→))，\(BC,\s\up6(→))〉)＝eq \f(\r(481),25)，所以點(diǎn)O到直線BC的距離為eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BO,\s\up6(→))))sin〈eq \(BO,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))〉＝5×eq \f(\r(481),25)＝eq \f(\r(481),5)，因此C不正確；因?yàn)閑q \(OA,\s\up6(→))＝(4,3,0)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(8,6,0)，所以有eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))，因此eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(OA,\s\up6(→))是共線向量，所以O(shè)，A，B，C四點(diǎn)共面，因此D正確．故選BD.
11．(2023·廣東梅州二模)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝3，點(diǎn)M，N分別在棱AB和BB1上運(yùn)動(dòng)(不含端點(diǎn))，若D1M⊥MN，下列命題正確的是( ACD )
A．MN⊥A1M
B．MN⊥平面D1MC
C．線段BN長(zhǎng)度的最大值為eq \f(3,4)
D．三棱錐C1－A1D1M體積不變
[解析] 在正方體ABCD－A1B1C1D1中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD1分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：
A1(3,0,3)，D1(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，設(shè)M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z∈(0,3)，
eq \(D1M,\s\up6(→))＝(3，y，－3)，eq \(MN,\s\up6(→))＝(0,3－y，z)，而D1M⊥MN，
則eq \(D1M,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝y(tǒng)(3－y)－3z＝0，
∴z＝eq \f(1,3)y(3－y)，
對(duì)于A選項(xiàng)：eq \(A1M,\s\up6(→))＝(0，y，－3)，
則eq \(A1M,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝y(tǒng)(3－y)－3z＝0?eq \(A1M,\s\up6(→))⊥eq \(MN,\s\up6(→))，MN⊥A1M，A正確；
對(duì)于B選項(xiàng)：eq \(CM,\s\up6(→))＝(3，y－3,0)，
eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝(y－3)(3－y)＝－(3－y)2

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