2025版高考數(shù)學一輪總復習考點突破訓練題第7章立體幾何第5講空間向量及其運算考點1空間向量的線性運算-試卷下載-教習網(wǎng)

2．(多選題)在四面體P－ABC中，以下說法正確的有( ABC )
A．若eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，則eq \(BC,\s\up6(→))＝3eq \(BD,\s\up6(→))
B．若Q為△ABC的重心，則eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PC,\s\up6(→))
C．若四面體的各棱長都相等，則eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0
D．若四面體P－ABC各棱長都為2，M，H分別為PA，BC的中點，則|eq \(MH,\s\up6(→))|＝1
[解析] 由eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，得eq \(AC,\s\up6(→))＝3eq \(AD,\s\up6(→))－2eq \(AB,\s\up6(→))，
∴eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋3eq \(AD,\s\up6(→))－2eq \(AB,\s\up6(→))
＝3(eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝3eq \(BD,\s\up6(→))，A正確；
連接AQ并延長交BC于H，
則eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AH,\s\up6(→))
＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(PH,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(PH,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(PC,\s\up6(→))，B正確；
因為四面體P－ABC各棱長都相等，則|eq \(PB,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(BC,\s\up6(→))|，∠PBA＝∠PBC＝eq \f(π,3)，
∴eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))
＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))
＝|eq \(PB,\s\up6(→))|·|eq \(AB,\s\up6(→))|cseq \f(π,3)＋|eq \(PB,\s\up6(→))|·|eq \(BC,\s\up6(→))|cseq \f(2π,3)＝0，C正確；
若四面體P－ABC的棱長都為2，
則eq \(PA,\s\up6(→))、eq \(PB,\s\up6(→))、eq \(PC,\s\up6(→))兩兩夾角都為eq \f(π,3)，且|eq \(PA,\s\up6(→))|＝|eq \(PB,\s\up6(→))|＝|eq \(PC,\s\up6(→))|＝2，∴eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))＝2.
又eq \(MH,\s\up6(→))＝eq \(PH,\s\up6(→))－eq \(PM,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(PC,\s\up6(→))
∴|eq \(MH,\s\up6(→))|2＝eq \f(1,4)(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))2
＝eq \f(1,4)(|eq \(PA,\s\up6(→))|2＋|eq \(PB,\s\up6(→))|2＋|eq \(PC,\s\up6(→))|2＋2eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))－2eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))－2eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,4)(4＋4＋4＋4－4－4)＝2.
∴|eq \(MH,\s\up6(→))|＝eq \r(2)，D錯誤．故選ABC.
名師點撥：用已知向量表示某一向量的方法
用已知不共面的向量表示某一向量時，應結(jié)合圖形，將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中，然后利用三角形法則或平行四邊形法則，把所求向量用已知向量表示出來．
【變式訓練】
如圖，空間四邊形OABC中，M、N分別為OA、CB的中點，MG＝2GN，用向量eq \(OA,\s\up6(→))、eq \(OB,\s\up6(→))、eq \(OC,\s\up6(→))表示向量eq \(OG,\s\up6(→))為( A )
A.eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))
B.eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OC,\s\up6(→))
C.eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OC,\s\up6(→))
D.eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OC,\s\up6(→))
[解析] eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MG,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(MN,\s\up6(→))
＝eq \f(2,3)eq \(ON,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OM,\s\up6(→))，
又M，N分別為OA、CB的中點，
∴eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))，
eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，
∴eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))
＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)).
故選A.