2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)知識(shí)梳理訓(xùn)練題第7章立體幾何第6講空間的角與距離-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

知識(shí)點(diǎn)一兩條異面直線所成角的求法
設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量分別為a，b，其夾角為θ，則cs φ＝|cs θ|＝ eq \f(|a·b|,|a||b|) (其中φ為異面直線a，b所成的角)．
知識(shí)點(diǎn)二直線和平面所成角的求法
如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，向量e與n的夾角為θ，則有sin φ＝|cs θ|＝ eq \f(|n·e|,|n||e|) .
知識(shí)點(diǎn)三求二面角的大小
1．如圖①，AB，CD分別是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉 .
2．如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cs θ|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)．
知識(shí)點(diǎn)四利用空間向量求距離
1．點(diǎn)到直線的距離
設(shè)過點(diǎn)P的直線l的單位方向向量為n，A為直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)A到直線l的距離d＝eq \r(|\(PA,\s\up6(→))|2－?\(PA,\s\up6(→))·n?2).
若能求出點(diǎn)在直線上的射影坐標(biāo)，可以直接利用兩點(diǎn)間距離公式求距離．
2．點(diǎn)到平面的距離
如圖所示，已知AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離為d＝eq \f(|\(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).
3.線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距進(jìn)行求解．
注意體積法在求點(diǎn)到平面距離時(shí)的應(yīng)用．
歸納拓展
1．直線的方向向量的確定：l是空間一直線，A，B是l上任意兩點(diǎn)，則eq \(AB,\s\up6(→))及與eq \(AB,\s\up6(→))平行的非零向量均為直線l的方向向量．
2．平面的法向量的確定：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·a＝0，,n·b＝0.))
3．若二面角A－BC－D的大小為α，平面ABC內(nèi)的直線l與平面BCD所成角為β，則α≥β，當(dāng)l⊥BC時(shí)，取等號(hào)．
4．注意線面角、二面角與點(diǎn)到平面間距離的聯(lián)系．
雙基自測(cè)
題組一走出誤區(qū)
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角．( × )
(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角．( × )
(3)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角．( × )
(4)若空間向量a平行于平面α，則a所在直線與平面α平行．( × )
題組二走進(jìn)教材
2．(選擇性必修1P20例2)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線ON，AM所成的角是 eq \f(π,2) .
[解析] 以A為原點(diǎn)，分別以eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AA1,\s\up6(→))所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A(0,0,0)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，
Oeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，1))，
eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)，1))＝0，
∴ON與AM垂直．即直線ON、AM所成角是eq \f(π,2).
3．(選擇性必修1P44T13)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)D1到平面AEC1的距離為 eq \f(2\r(6),3) ，AD1與平面AEC1所成角的余弦值為 eq \f(\r(6),3) .
[解析] 如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則由題意知eq \(AE,\s\up6(→))＝(－2,1,0)，eq \(EC1,\s\up6(→))＝(0,1,2)，設(shè)平面AEC1的法向量為n＝(x，y，z)，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(AE,\s\up6(→))·n＝－2x＋y＝0,\(EC1,\s\up6(→))·n＝y(tǒng)＋2z＝0))，令y＝2得x＝1，z＝－1，
∴n＝(1,2，－1)，又eq \(AD1,\s\up6(→))＝(－2,0,2)
∴點(diǎn)D1到平面AEC1的距離d＝eq \f(|n·\(AD1,\s\up6(→))|,|n|)＝eq \f(4,\r(6))＝eq \f(2\r(6),3)，
AD1與平面AEC1所成角的正弦值為sin θ＝eq \f(|n·\(AD1,\s\up6(→))|,|n|·|\(AD1,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(3),3)，
∴cs θ＝eq \f(\r(6),3).
另解：可用VD1－AEC1＝VA－D1EC1求得d＝eq \f(2\r(6),3).
進(jìn)而可知sin θ＝eq \f(d,|AD1|)＝eq \f(2\r(6),3×2\r(2))＝eq \f(\r(3),3).
題組三走向高考
4．(2022·全國(guó)乙卷)如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E為AC的中點(diǎn)．
(1)證明：平面BED⊥平面ACD；
(2)設(shè)AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．
[解析] (1)證明：因?yàn)锳D＝CD，E為AC的中點(diǎn)，
所以AC⊥DE；
在△ABD和△CBD中，
因?yàn)锳D＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，
所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB，
又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥BE；
又因?yàn)镈E，BE?平面BED，DE∩BE＝E，
所以AC⊥平面BED，
因?yàn)锳C?平面ACD，
所以平面BED⊥平面ACD.
(2)連接EF，由(1)知，AC⊥平面BED，因?yàn)镋F?平面BED，
所以AC⊥EF，所以S△AFC＝eq \f(1,2)AC·EF，
當(dāng)EF⊥BD時(shí)，EF最小，
即△AFC的面積最?。?br>因?yàn)椤鰽BD≌△CBD，所以CB＝AB＝2，
又因?yàn)椤螦CB＝60°，所以△ABC是等邊三角形，
因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，
所以AE＝EC＝1，BE＝eq \r(3)，
因?yàn)锳D⊥CD，所以DE＝eq \f(1,2)AC＝1，
在△DEB中，DE2＋BE2＝BD2，
所以BE⊥DE.
以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E－xyz，
則A(1,0,0)，B(0，eq \r(3)，0)，D(0,0,1)，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－1，eq \r(3)，0)，
設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AD,\s\up6(→))＝－x＋z＝0，,n·\(AB,\s\up6(→))＝－x＋\r(3)y＝0，))取y＝eq \r(3)，
則n＝(3，eq \r(3)，3)，
又因?yàn)镃(－1,0,0)，F(xiàn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),4)，\f(3,4)))，
所以eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),4)，\f(3,4)))，
所以csn，eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(n·\(CF,\s\up6(→)),|n|·|\(CF,\s\up6(→))|)＝eq \f(6,\r(21)×\r(\f(7,4)))＝eq \f(4\r(3),7)，
設(shè)CF與平面ABD所成的角為θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ≤\f(π,2)))，
所以sin θ＝|csn，eq \(CF,\s\up6(→))|＝eq \f(4\r(3),7)，
所以CF與平面ABD所成的角的正弦值為eq \f(4\r(3),7).

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