[解析] 取A1B1的中點(diǎn)M，連接EM、MC1、EF并延長(zhǎng)交于Q，作直線HQ交C1D1于N，交B1A1的延長(zhǎng)線于S，作直線SE交A1A于P，交B1B的延長(zhǎng)線于R，連FR交BC于G，連EG、FN、HP得過E、F、H三點(diǎn)的截面EGFNHP，易證EGFNHP為正六邊形．
2．(2022·江西紅色七校聯(lián)考)已知正三棱錐A－BCD的外接球是球O，BC＝1，AB＝eq \f(2\r(3),3)，點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(4π,9))) .
[解析] 如圖，設(shè)△BCD的中心為O1，球O的半徑為R，連接O1D，OD，O1E，OE，則O1D＝1×sineq \f(π,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(\r(3),3)，AO1＝eq \r(AD2－O1D2)＝1，
在Rt△OO1D中，
R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2＋(1－R)2，
解得R＝eq \f(2,3)，
所以O(shè)O1＝AO1－R＝eq \f(1,3)，
O1E＝1×sineq \f(π,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(\r(3),6)，
所以O(shè)E＝eq \r(O1E2＋OO\\al(2,1))＝eq \f(\r(7),6)，過點(diǎn)E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時(shí)，截面的面積最小，
此時(shí)截面的半徑為eq \r(R2－OE2)＝eq \f(1,2)，則截面面積為π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(π,4)，當(dāng)截面過球心時(shí)，截面面積最大，最大面積為πR2＝eq \f(4π,9).故答案為：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(4π,9))).
名師點(diǎn)撥：
1．作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點(diǎn)；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．
2．作交線的方法有如下兩種：
(1)利用基本事實(shí)3作交線；
(2)利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線．
注：正六面體的一些截面：
說(shuō)明：正六面體斜截面是不會(huì)出現(xiàn)以下幾種圖形：直角三角形、鈍角三角形、直角梯形、正五邊形．
【變式訓(xùn)練】
1．如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的幾何體，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是( D )
A．(1)(2) B．(1)(3)
C．(1)(4) D．(1)(5)
[解析] 當(dāng)該平面過圓柱上、下底中心時(shí)截面圖形為(1)；當(dāng)不過上、下底的中心時(shí)，截面圖形為(5)．所以只有(1)(5)正確．故選D.
2．(2022·湖南三湘名校聯(lián)盟聯(lián)考)一個(gè)正方體內(nèi)接于一個(gè)球，過這個(gè)球的球心作一平面，則截面圖形不可能是( D )
[解析] 考慮過球心的平面在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，平面在球的內(nèi)接正方體上截得的截面不可能是大圓的內(nèi)接正方形，故選D.
3．(原創(chuàng))E、F分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中點(diǎn)，則過A、E、F三點(diǎn)的截面的圖形是 五邊形 .
[解析] 作直線EF分別與直線DC、DD1相交于P、Q，
連AP交BC于M，連AQ交A1D1于N，連接NF、ME.
則五邊形AMEFN即為過A、E、F三點(diǎn)的截面．

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