B．DP∥平面AB1D1
C．三棱錐P－ACD1的體積為定值eq \r(2)
D．A1P＋PC的最小值為eq \r(3)＋1
[解析] 由正方體性質(zhì)易知B1D⊥平面A1BC1，
又A1P?平面A1BC1，
∴B1D⊥A1P，故A正確；
由平面BDC1∥平面AB1D1，
DP?平面BDC1，
∴DP∥平面AB1D1，故B正確；
∵AD1∥BC1，AD1?平面ACD1，BC1?平面ACD1，
∴BC1∥平面ACD1，
∴點(diǎn)P到平面ACD1的距離等于點(diǎn)B到平面ACD1的距離，
∴VP－ACD1＝VB－ACD1＝VD1－ACB＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)×eq \r(2)＝eq \f(\r(2),3)，故C錯(cuò)誤；將平面A1BC1和平面BCC1沿直線BC1展開為一個(gè)平面，如圖：
△A1BC1是正三角形，△BCC1是等腰直角三角形，
且BC1＝2，BC＝eq \r(2)，
∠A1C1C＝105°，
A1C2＝A1Ceq \\al(2,1)＋CCeq \\al(2,1)－2·A1C1·CC1·cs∠A1C1C＝4＋2－2×2×eq \r(2)×eq \f(\r(2)－\r(6),4)＝4＋2eq \r(3)，
∴A1C＝eq \r(3)＋1，
即A1P＋PC的最小值為eq \r(3)＋1，故D正確．故選ABD.
2.(2024·江蘇揚(yáng)州高郵期初測(cè)試(節(jié)選))如圖，在多面體ABCDE中，AB⊥平面BCD，平面ECD⊥平面BCD，其中△ECD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，△BCD是以∠BDC為直角的等腰三角形．
證明：AB∥平面CDE.
[證明] 取CD的中點(diǎn)F，連接EF，由EC＝ED知EF⊥CD.
∵平面ECD⊥平面BCD，
且平面ECD∩平面BCD＝CD，
∴EF⊥平面BCD.
又∵AB⊥平面BCD，∴AB∥EF.
∵AB?平面ECD，EF?平面ECD.
∴AB∥平面CDE.
名師點(diǎn)撥：
空間兩點(diǎn)“路徑”最短問題通?！罢蛊健被癁閮牲c(diǎn)間距離問題．
【變式訓(xùn)練】
(2024·陜西漢中模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別為AC，A1B的中點(diǎn)，則下列說法中不正確的是( D )
A．MN∥平面ADD1A1
B．MN⊥AB
C．MN與CC1所成角為45°
D．MN⊥平面ACD1
[解析] 連接BD，A1D，則M為BD的中點(diǎn)，又N為BA1的中點(diǎn)，∴MN∥A1D，從而MN∥平面ADD1A1，A正確；又AB⊥平面ADD1A1，∴AB⊥A1D，從而AB⊥MN，B正確；∠AA1D＝45°為MN與CC1所成的角，C正確．故選D.事實(shí)上，若D正確，則MN⊥AC，從而A1D⊥A1C1，這與∠C1A1D＝eq \f(π,3)矛盾．

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