云南省保山市騰沖市民族中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷(A卷)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【滿分：100分】
一、單項選擇題（共8小題，每小題4分，共32分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.）
1. 函數(shù)在點處的切線方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，故，
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，函數(shù)在點處的切線方程為，即.
故選：B.
2. 已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則當(dāng)取得最大值時，（）
A. 37B. 36C. 18D. 19
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)與前項和公式推得，，從而得解.
【詳解】因為，
，
所以，，從而當(dāng)時，取得最大值．
故選：C.
3. 在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點到直線的距離為3，點到直線的距離為2，則滿足條件的直線的條數(shù)為（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為求以點為圓心，以3為半徑的圓和以點為圓心，以2為半徑的圓的公切線的條數(shù)求解.，
【詳解】到點距離為3的直線可看作以A為圓心3為半徑的圓的切線，
同理到點距離為2的直線可看作以B為圓心2為半徑的圓的切線，
故所求直線為兩圓的公切線，
又，
故兩圓外切，
所以公切線有3條，
故選：C
4. 直線（）截圓所得弦長的最小值是（）
A. 2B. C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】求出直線過的定點、圓的圓心坐標(biāo)及半徑，再利用圓的性質(zhì)及弦長公式計算即得.
【詳解】依題意，直線過定點，圓的圓心，半徑，
，即點在圓內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)直線與直線垂直時，直線截圓所得弦長最短，
所以所求最短弦長為.
故選：C
5. 阿基米德不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若焦點在軸上的橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)出橢圓方程，由題意可得，結(jié)合離心率以及的關(guān)系，可得出答案.
【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，
依題意有，解得，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故選：C．
6. 若雙曲線（，）的一條漸近線經(jīng)過點，則雙曲線的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出漸近線方程，得到，從而得到離心率.
【詳解】由題意得的漸近線方程為，
顯然在上，故，
故，
即雙曲線的離心率為.
故選：A
7. 等差數(shù)列的首項為1，公差不為0，若成等比數(shù)列，則前6項的和為（）
A. B. C. 3 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差，由成等比數(shù)列求出，代入可得答案.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差，
∵等差數(shù)列的首項為1，成等比數(shù)列，
∴，
∴，且，，
解得，
∴前6項的和為.
故選：A.
8. 如圖，在正三棱柱中，若，則點到直線的距離為（）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取中點，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【詳解】取的中點，則，
以為原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以，
所以在上的投影的長度為，
故點到直線的距離．

故選：B.
二、多項選擇題（共4小題，每小題4分，共16分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得4分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）
9. 已知直線與圓，則（）
A. 直線的傾斜角是
B. 圓的半徑是4
C. 直線與圓相交
D. 圓上的點到直線的距離的最大值是7
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A：求出直線的斜率即可得傾斜角；對于B：求出圓的標(biāo)準(zhǔn)式即可；對于CD：求出圓心到直線的距離即可判斷.
【詳解】直線，即，斜率為，則傾斜角是，錯誤；
圓，即，圓心為，半徑為4，正確；
圓心到直線的距離，則直線與圓相交，故正確；
圓上的點到直線的距離的最大值為，則正確.
故選：BCD.
10. 已知、，則下列命題中正確的是（）
A. 平面內(nèi)滿足的動點P的軌跡為橢圓
B. 平面內(nèi)滿足的動點P的軌跡為雙曲線的一支
C. 平面內(nèi)滿足的動點P的軌跡為拋物線
D. 平面內(nèi)滿足的動點P的軌跡為圓
【答案】AD
【解析】
【分析】由橢圓定義可直接判定選項A；由雙曲線的定義可直接判定選項B；由拋物線的定義可直接判定選項C；設(shè)點，列式化簡即可判定選項D；
【詳解】對于選項A,有、，且,由橢圓定義可知選項A正確;
對于選項B,有、，且,軌跡為射線，不符合雙曲線的定義可知選項B錯誤;
對于選項C,有、，且,軌跡為線段的垂直平分線，不符合拋物線的定義可知選項C錯誤;
對于選項D,有、，且,設(shè)點，則，化簡可得，可知選項D正確;
故選：AD
11. 已知復(fù)數(shù)，，，則（）
A. B. 的實部依次成等比數(shù)列
C. D. 的虛部依次成等差數(shù)列
【答案】ABC
【解析】
【分析】由題意由復(fù)數(shù)乘除法分別將化簡，再由復(fù)數(shù)加法、共軛復(fù)數(shù)的概念即可判斷A；復(fù)數(shù)的實部、虛部以及等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念即可判斷BD，由復(fù)數(shù)模的運算即可判斷C.
【詳解】因為，，所以，所以，故A正確；
因為，，的實部分別為1，3，9，所以，，的實部依次成等比數(shù)列，故B正確；
因為，，的虛部分別為，，1，所以，，的虛部依次不成等差數(shù)列，故D錯誤；
，故C正確.
故選：ABC.
12. 已知函數(shù)，則下列各選項正確的是（）
A. 在區(qū)間上單調(diào)遞增B. 是偶函數(shù)
C. 的最小值為1D. 方程無解
【答案】BC
【解析】
【分析】由函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷ABC，由零點存在性定理可判斷D.
【詳解】因為，
所以，所以為偶函數(shù)，B正確；
當(dāng)時，，令，
則，故與均為減函數(shù)，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，A錯誤；
由偶函數(shù)對稱性可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，C正確；
令，所以，
由零點存在性定理可知方程有解，D錯誤.
故選：BC.
三、填空題（共4小題，每小題4分，共16分．）
13. 數(shù)列滿足：，則_________．
【答案】512
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，進而可得，故從第二項開始，數(shù)列是以公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式運算求解.
【詳解】當(dāng)時，則；
當(dāng)時，可得，且，
則，
可得：從第二項開始，數(shù)列是以公比為2的等比數(shù)列，
綜上所述：.
故答案為：512.
14. 如圖，已知二面角的平面角大小為，四邊形，均是邊長為4的正方形，則________．

【答案】
【解析】
【分析】由，兩邊平方，利用數(shù)量積運算性質(zhì)計算即可.
【詳解】因為，
所以
又二面角的平面角大小為，
四邊形，均為邊長為4正方形，
所以，
，
，
所以，則．
故答案為：
15. 在一平面直角坐標(biāo)系中，已知點，現(xiàn)沿x軸將坐標(biāo)平面折成60°的二面角，則折疊后A，B兩點間的距離為_____________．
【答案】
【解析】
【分析】作軸于點，作軸于點，將用表示，再根據(jù)數(shù)量積的運算律結(jié)合向量的模的計算公式計算即可.
【詳解】解：如圖為折疊后的圖形，作軸于點，作軸于點，
則異面直線所成的角為，即的夾角為，
，
，
則
，
即折疊后A，B兩點間距離為.
故答案為：.
16. 拋物線y2＝4x的焦點為F，點A(2，1)，M為拋物線上一點，且M不在直線AF上，則△MAF周長的最小值為____．
【答案】3＋
【解析】
【分析】過M作MN垂直于拋物線的準(zhǔn)線l，由拋物線的定義得到MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|，然后由A、M、N三點共線時求解.
【詳解】如圖所示，
過M作MN垂直于拋物線的準(zhǔn)線l，垂足為N．易知F(1，0)，
因為△MAF的周長為|AF|＋|MF|＋|AM|，
|AF|＝，|MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|，
所以當(dāng)A、M、N三點共線時，△MAF的周長最小，
最小值為2＋1＋．
故答案為：3＋
四、解答題（共4小題，其中第17～18題每題各8分，第19～20題每題各10分，共36分；解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
17. 已知等比數(shù)列的公比，若，且分別是等差數(shù)列的第1，3，5項.
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）記，求數(shù)列的前項和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等差、等比數(shù)列的知識求得首項和公差、公比，從而求得.
（2）利用錯位相減求和法求得.
【小問1詳解】
由題意得，，
，，解得（舍去）
則，解得，所以.
則，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，
所以
【小問2詳解】
.
所以，
兩式相減得，
.
18. 如圖，在邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點，F(xiàn)是DD1的中點，
（1）求證：CF∥平面A1DE；
（2）求平面A1DE與平面A1DA夾角的余弦值．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
【分析】（1）以D為原點，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明CF∥平面A1DE．
（2）求出平面A1DE的法向量和平面A1DA的法向量，利用向量法能求出平面A1DE與平面A1DA夾角的余弦值．
【詳解】證明：（1）以D為原點，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2），
則，
設(shè)平面A1DE的法向量是
則，取，
∴
所以CF∥平面A1DE．
解：（2）是面A1DA的法向量，
∴
即平面A1DE與平面A1DA夾角的余弦值為．
【點睛】本題考查線面平行的證明，考查線面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．
19. 在平面直角坐標(biāo)系中，點分別在軸，軸上運動，且，動點滿足.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）設(shè)直線與曲線交于，兩點，且，求實數(shù)的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)相關(guān)點法求軌跡方程,求出結(jié)果即可；
（2）將直線方程與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，表示出，求實數(shù)的值即可.
【小問1詳解】
設(shè)，，，
，，
，即，
，，
動點的軌跡的方程.
【小問2詳解】
設(shè)，
聯(lián)立,可得：，
由得，化簡得,
又因為，，，
所以，
即，
化簡得，滿足，
所以.
20. 已知圓C過點，圓心在x軸正半軸上，且與直線相切．
求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
已知過點的直線1交圓C于A、B兩點，且，求直線1的方程．
【答案】：;或.
【解析】
【分析】由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為，利用半徑相等列式求得a，進一步求得半徑，則圓的方程可求；當(dāng)直線的斜率不存在時，可得直線方程為，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程，結(jié)合垂徑定理求解．
【詳解】由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為，
由題意，，解得舍或．
圓的半徑為．
則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
若斜率不存在，則直線方程為，
弦心距，半徑為，
則，符合題意．
若斜率存在，設(shè)直線方程為，即．
弦心距，得，
解得：，直線方程為．
綜上所述，直線l的方程為或．
【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系及其應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．一般直線和圓的題很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來解決的，聯(lián)立的時候較少；在求圓上的點到直線或者定點的距離時，一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及到圓的弦長或者切線長時，經(jīng)常用到垂徑定理.

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