題型一觀察法
例1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：
(1)；
(2)；
(3)7，77，777，7777.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）各項(xiàng)分母分別為，第1,2,3,4項(xiàng)分子分別比分母少了3，得到通項(xiàng)公式.
（2）數(shù)列的前4項(xiàng)的分母都是比序號(hào)大1的數(shù)，分子都是比序號(hào)大1的數(shù)的平方減1，得到通項(xiàng)公式.
（3）數(shù)列的前4項(xiàng)可以變?yōu)?，，，，得到通?xiàng)公式.
【詳解】（1）各項(xiàng)分母分別為，第1,2,3,4項(xiàng)分子分別比分母少了3，
則原數(shù)列可化為，，，，
故它的一個(gè)通項(xiàng)公式為，.
（2）這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的分母都是比序號(hào)大1的數(shù)，分子都是比序號(hào)大1的數(shù)的平方減1，
所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為，.
（3）這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以變?yōu)?，，，?br>即，，，，
所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為，.
例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點(diǎn)（或圓球）在等距的排列下可以形成三角形數(shù)，如1，3，6，10，15.我國宋元時(shí)期數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數(shù)”垛（如圖所示，頂上一層1個(gè)球，下一層3個(gè)球，再下一層6個(gè)球）.若一“落一形”三角錐垛有10層，則該堆垛第10層球的個(gè)數(shù)為___________.

【答案】55
【分析】根據(jù)給定條件歸納總結(jié)出“三角形數(shù)”的通項(xiàng)公式即可求出第10層球的個(gè)數(shù).
【詳解】設(shè)“落一形”三角錐垛從頂上一層開始，依次往下的各層球的個(gè)數(shù)形成數(shù)列，
，，，，，…，
由此得，即，
則，
∴堆垛第10層球的個(gè)數(shù)為55.
故答案為：55.
練習(xí)1．（2023秋·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列1，0，，與數(shù)列，，0，1是相同的數(shù)列
B．如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列
C．?dāng)?shù)列0，2，4，6，8，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為
D．?dāng)?shù)列，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為
【答案】D
【分析】根據(jù)數(shù)列的定義和表示方法，逐一判斷，即可得到本題答案.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，數(shù)列1，0，-1，-2與數(shù)列-2，-1，0，1中的數(shù)字排列順序不同，不是同一個(gè)數(shù)列，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，常數(shù)數(shù)列既不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，所以?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，故D正確.
故選：D
練習(xí)2．（2023春·江西·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列為1，，9，，25，，…，則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)觀察法，即可求解.
【詳解】由題意知，數(shù)列：1，4，9，16，25，的通項(xiàng)公式為，
所以數(shù)列：的通項(xiàng)公式為.
故選：B.
練習(xí)3．（2023·廣東·高三專題練習(xí)）已知無窮數(shù)列滿足，，，寫出滿足條件的的一個(gè)通項(xiàng)公式：___________.（不能寫成分段數(shù)列的形式）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)，，，利用不完全歸納法可得答案.
【詳解】由，，，
猜想.
故答案為：.（答案不唯一）
練習(xí)4．（2023春·安徽·高三巢湖市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）傳說古代希臘的畢達(dá)哥拉斯在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題：把叫做三角形數(shù)；把叫做正方形數(shù)，則下列各數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分別寫出三角形數(shù)和正方形數(shù)的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式可得答案.
【詳解】三角形數(shù)：，可得其通項(xiàng)公式為；
正方形數(shù)：，可得其通項(xiàng)公式為，
均無正整數(shù)解，且，
所以，，是正方形數(shù)不是三角形數(shù)，
又，既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù).
故選：A.
練習(xí)5．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列， ，，，，…，則該數(shù)列的第100項(xiàng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化簡數(shù)列，得出數(shù)列的第項(xiàng)為，進(jìn)而求得第項(xiàng)的值，得到答案.
【詳解】由數(shù)列，可化為數(shù)列，
可得數(shù)列的第項(xiàng)為，所以第項(xiàng)為.
故選：C.
題型二周期數(shù)列
例3．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·?？寄M預(yù)測）若數(shù)列滿足，則（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】利用數(shù)列的周期性即可求得的值.
【詳解】因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?br>所以，
所以是周期為4的數(shù)列，故.
故選：B
例4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測）在數(shù)列中，已知，當(dāng)時(shí)，是的個(gè)位數(shù)，則（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】由題意，列出數(shù)列的前若干項(xiàng)，分析出數(shù)列變化規(guī)律，進(jìn)而得出答案.
【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，是的個(gè)位數(shù)，
所以，，，，，，，，，，
可知數(shù)列中，從第3項(xiàng)開始有，
即當(dāng)時(shí)，的值以6為周期呈周期性變化，
又，
故.
故選：C.
練習(xí)6．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知首項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由遞推關(guān)系可知數(shù)列的周期為4，即可得到結(jié)果.
【詳解】依題意，，則；而，則
，故數(shù)列的周期為4．又，
則.
故選：D．
練習(xí)7．（2023春·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）數(shù)列滿足：，，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______．
【答案】
【分析】根據(jù)遞推公式得到為周期數(shù)列，最小正周期為8，且，從而求出.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，，
，，，
，，
，，……，
故為周期數(shù)列，最小正周期為8，且，
所以
.
故答案為：
練習(xí)8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）洛卡斯是十九世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家，他以研究斐波那契數(shù)列而著名.洛卡斯數(shù)列就是以他的名字命名，洛卡斯數(shù)列為：、、、、、、、、、、，即，，且.則洛卡斯數(shù)列的第項(xiàng)除以的余數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)數(shù)列各項(xiàng)除以所得余數(shù)所形成的數(shù)列為，從而可知數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，從而可解.
【詳解】設(shè)數(shù)列各項(xiàng)除以所得余數(shù)所形成的數(shù)列為，
則數(shù)列為：、、、、、、、、、、，
由上可知，數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，即對(duì)任意的，，
因?yàn)?，所?
故選：D.
練習(xí)9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則_______.
【答案】2
【分析】先求不動(dòng)點(diǎn)方程，根據(jù)方程無解再逐項(xiàng)計(jì)算根據(jù)周期求解即可.
【詳解】第一步，求不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，令得：，化簡得：，顯然該方程無解，這種情況下一般是周期不大的周期數(shù)列，
我們只需算出前幾項(xiàng)，找出規(guī)律即可，
由題意，，所以，，，，，，
從而是以6為周期的周期數(shù)列，
故.
故答案為：2.
練習(xí)10．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）數(shù)列中，，則（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，分別求得，即可得到數(shù)列的周期，從而得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，令，則，求得，
令，則，求得，令，則，求得，
令，則，求得，令，則，求得，
令，則，求得，，
所以數(shù)列的周期為，則.
故選：C
題型三累加法
例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，求通項(xiàng)公式．
【答案】
【解析】
由題意可得
，
所以．
例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，.求的通項(xiàng)公式.
【答案】
【詳解】=
.
練習(xí)11．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知條件求數(shù)列的通項(xiàng)，再用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和為.
【詳解】（1）根據(jù)題意可得，
則
；
又符合上式，所以；
（2）∵，
∴.
練習(xí)12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）古希臘著名科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的（石子），排成一個(gè)個(gè)如圖一樣的等邊三角形，從第二行起每一行都比前一行多1個(gè)石子，像這樣的數(shù)稱為三角形數(shù).那么把三角形數(shù)從小到大排列，第11個(gè)三角形數(shù)是______.
【答案】66
【分析】根據(jù)題意，得到，，進(jìn)而利用累加法求得，由此得解.
【詳解】依題意，設(shè)三角形數(shù)按從小到大排列構(gòu)成數(shù)列，則，，
所以，
上式相加得，
所以，
則第11個(gè)三角形數(shù)是.
故答案為：66.
練習(xí)13．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______．
【答案】
【分析】對(duì)已知遞推關(guān)系的等式兩邊同時(shí)除以，利用累加法，結(jié)合裂項(xiàng)求和法即可求得結(jié)果.
【詳解】，兩邊同除得：
，
所以，即，
化簡得，∵，∴．
故答案為：.
練習(xí)14．（2023春·江蘇南京·高三南京大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）在數(shù)列中，，.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由得，然后利用累加法求出即可得證；
（2），利用分組求和法和錯(cuò)位相減法可得答案.
【詳解】（1）由得，
∴，
，
??，
，
∴，
∴，，,
∴數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）由（1）可得，
∴，
令，①
∴，②
錯(cuò)位相減，②﹣①，得：
，
∴.
練習(xí)15．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為零，且滿足，（，），則的通項(xiàng)公式__________．
【答案】
【分析】變換得到，設(shè)，得到，利用累加法計(jì)算得到答案.
【詳解】，則，
設(shè)，，則，
，
而也符合該式，故，故.
故答案為：
題型四累乘法
例7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的通項(xiàng)公式為___________．
【答案】
【分析】根據(jù)累乘法求出當(dāng)時(shí)的通項(xiàng)公式，并驗(yàn)證也滿足，從而得到的通項(xiàng)公式.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，則，
所以，當(dāng)時(shí)，，
也滿足，所以，對(duì)任意的，．
故答案為：
例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．
(1)若，求的通項(xiàng)公式．
(2)若，求的通項(xiàng)公式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)累乘法即可求解；（2）根據(jù)累加法即可求解.
【詳解】（1）由題意可得．
（2）由題可得．
練習(xí)16．（2022秋·重慶北碚·高三重慶市兼善中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．
(1)求，；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）將，分別代入中即可求得，；
（2）利用得出數(shù)列的遞推關(guān)系，再由累乘法求得通項(xiàng)公式，要注意的驗(yàn)證．
【詳解】（1）依題意有，得，
又，得；
（2）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，
兩式相減得，化簡得，
所以，
又滿足上式，所以．
練習(xí)17．（2023秋·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期末）已知向量，，，則______，______．
【答案】
【分析】設(shè)，，得到，利用累乘法求出，結(jié)合，求出，，裂項(xiàng)相消法求和得到答案.
【詳解】設(shè)，，
∴，
∴，
故，，
∴，
，
以上個(gè)式子相乘得：，，
又因?yàn)?，所以?br>∴，，
∴，，，
，
∴
．
故答案為：，．
練習(xí)18．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，，，則______，______．
【答案】 2
【分析】先根據(jù)已知遞推關(guān)系式列方程組，求得的值，然后將已知遞推關(guān)系式化簡、變形，得到數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，
進(jìn)而得到，最后利用累乘法求得．
【詳解】由，得，消去，
得，則．
由，得，
又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，
所以，
所以當(dāng)時(shí)，，
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)上式也成立，
所以．
故答案為：；.
練習(xí)19．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？级＃┮阎獢?shù)列滿足：.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）運(yùn)用累乘法計(jì)算；
（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和.
【詳解】（1）由題意： ，
，
，
，將代入上式也成立， ；
（2） ，
.
練習(xí)20．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）解法一：由已知等式變形可得，計(jì)算出的值，再利用累乘法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
解法二：由已知條件計(jì)算出的值，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法求出，進(jìn)而可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：解法一：由題①，，即②，由①②得，
由得，
所以當(dāng)時(shí)，，
也滿足，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
解法二：由題，①，，即②，由①②得，
由，得，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2）證明：由（1）知，
所以，
兩式作差得，
所以.
題型五待定系數(shù)法
例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an} 滿足a1 = 1，an+1 = 3an + 1.求{an}的通項(xiàng)公式.
【答案】
【分析】此題的基本方法是由an+1 = 3an + 1，構(gòu)造新數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，從而求得.這種構(gòu)造新數(shù)列的方法有時(shí)往往不能理解為何要這樣配湊，于是也就僅限于依葫蘆畫瓢而已，其實(shí)此類型問題可采用迭代法求解.
【詳解】
.
例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為.
(1)求通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，解得，得到是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，得到通項(xiàng)公式.
（2）確定，再利用分組求和結(jié)合等差等比數(shù)列求和公式計(jì)算得到答案.
【詳解】（1），設(shè)，
即，即，解得，
，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
，故.
（2），則
.
練習(xí)21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為___________.
【答案】．
【分析】已知式兩邊同除以，構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得結(jié)論．
【詳解】∵，所以，即，
∴是等差數(shù)列，而，
所以，
所以．
故答案為：．
練習(xí)22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____________.
【答案】
【分析】依題意可得，即可得到是為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】因?yàn)椋?br>設(shè)，即，
根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等則，解得，故，
所以是為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，即.
故答案為：
練習(xí)23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____________.
【答案】
【分析】解法一：利用待定系數(shù)法可得，結(jié)合等比數(shù)列分析運(yùn)算；解法二：整理得，結(jié)合等比數(shù)列分析運(yùn)算；解法三：整理得，根據(jù)累加法結(jié)合等比數(shù)列求和分析運(yùn)算.
【詳解】解法一：設(shè)，整理得，可得，
即，且，
則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即；
解法二：(兩邊同除以) 兩邊同時(shí)除以得：，
整理得，且，
則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即；
解法三：(兩邊同除以)兩邊同時(shí)除以得：，即，
當(dāng)時(shí)，則
，
故，
顯然當(dāng)時(shí)，符合上式，故.
故答案為：.
練習(xí)24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____________.
【答案】
【分析】根據(jù)題意,可得，令，則，再結(jié)合等比數(shù)列的定義求解即可.
【詳解】∵，等式兩側(cè)同除，可得，
令，則，
∴，又，
∴是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴，即，
∴，即.
故答案為：.
練習(xí)25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足：，（），數(shù)列滿足：．求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】．
【分析】利用輔助法，對(duì)于數(shù)列的遞推公式，兩邊同時(shí)除以，根據(jù)數(shù)列構(gòu)造法，可得答案.
【詳解】∵，兩邊同時(shí)除以得．
令，則．
兩邊同時(shí)加上得．
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
∴，∴．
∴．
又∵，∴，
題型六取倒數(shù)法、取對(duì)數(shù)法
例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求的通項(xiàng)公式.
【答案】
【分析】兩邊取對(duì)數(shù)得，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，解方程即可得解.
【詳解】取以10為底的對(duì)數(shù)可得，即，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以，即，即.
例12．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）（多選）已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．為等比數(shù)列
B．的通項(xiàng)公式為
C．為遞增數(shù)列
D．的前n項(xiàng)和
【答案】ABD
【分析】根據(jù)已知證明為定值即可判斷A；由A選項(xiàng)結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)即可判斷B；作差判斷的符號(hào)即可判斷C；利用分組求和法即可判斷D.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以+3，所以，
又因?yàn)椋?br>所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；
，即，故B正確；
因?yàn)椋?br>因?yàn)椋裕?br>所以，所以為遞減數(shù)列，故C錯(cuò)誤；
，
則，故D正確.
故選：ABD.
練習(xí)26．（2023春·高三課時(shí)練習(xí)）數(shù)列中，，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為
B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
D．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列
【答案】C
【分析】求出數(shù)列的前3項(xiàng)，利用等比數(shù)列定義判斷A，B；給定等式兩邊取對(duì)數(shù)可得，判斷C，D作答.
【詳解】數(shù)列中，，，則，，顯然不成等比數(shù)列，A，B都不正確；
依題意，，由兩邊取對(duì)數(shù)得：，
因此，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，C正確，D不正確.
故選：C
練習(xí)27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)的乘積，且
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用得的遞推關(guān)系，取對(duì)數(shù)得常數(shù)數(shù)列，從而得通項(xiàng)公式；
（2）用錯(cuò)位相減法求和．
【詳解】（1）由得：當(dāng)時(shí)，，
兩式相除得：，即，
兩邊取對(duì)數(shù)得：，亦即，故數(shù)列是常數(shù)列，
，，；
（2），，
，
，
兩式相減得，
．
練習(xí)28．（2022秋·湖南婁底·高三湖南省新化縣第一中學(xué)校考期末）（多選）已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的有（ ）
A．為等比數(shù)列B．的通項(xiàng)公式為
C．為遞增數(shù)列D．的前項(xiàng)和為
【答案】BC
【分析】取倒數(shù)后由構(gòu)造法得為等比數(shù)列，得通項(xiàng)公式后對(duì)選項(xiàng)逐一判定
【詳解】由題意得，則，而，
故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
，得，為遞減數(shù)列，故A正確，B，C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，，的前項(xiàng)和為，故D正確，
故選：BC
練習(xí)29．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列中，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）兩邊同時(shí)取到數(shù)，構(gòu)造等比數(shù)列求解即可；
（2）放縮法證明不等式即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，，故?br>所以，整理得．
又，，，
所以為定值，
故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以，得.
（2）因?yàn)椋?
所以．
練習(xí)30．（2023春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，，．
(1)當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）推導(dǎo)出，計(jì)算得出，即可得出當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可求得，計(jì)算可得，利用錯(cuò)位相減法可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，，即，
所以，，所以，，即，
因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，.
（2）解：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，則，即，
所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，.
故，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
所以，，①
則，②
①②可得
，
因此，.
題型七已知求通項(xiàng)公式
例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則__________.
【答案】
【分析】當(dāng)時(shí)，由可得，兩式作差可得出，當(dāng)時(shí)，求出的值，可得出，分析可知數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的求和公式可求得的值.
【詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，
兩式相減得，即，
即.
當(dāng)時(shí)，，即，
所以，，則，
則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.
則.
故答案為：.
例14．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系可得，再結(jié)合等差數(shù)列定義證明；
（2）結(jié)合（1）中的結(jié)果，利用裂項(xiàng)相消法求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則；
當(dāng)時(shí)，則；
顯然當(dāng)時(shí)，也滿足上式，
所以.
當(dāng)n≥2時(shí)，則，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列.
（2）由（1）可知，，則，
可得
，
所以數(shù)列前n項(xiàng)和為.
練習(xí)31．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求得，即，再根據(jù)與的關(guān)系采用相減法即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由題意得，利用等比數(shù)列求和公式即可得數(shù)列的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，.
時(shí)，也符合
（2）顯然
于是
練習(xí)32．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求；
(3)若，求數(shù)列前項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）類比題目中的和式再寫出一個(gè)把換成的和式，然后與原來的和式作差即可求出結(jié)果；
（2）利用（1）的結(jié)果求出，然后利用裂項(xiàng)相消法即可求和；
（3）利用（1）的結(jié)果求出，然后分組利用錯(cuò)位相減法即可求出.
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，
得，即，
滿足上式，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）由（1）得，
；
（3）由（1）知，
數(shù)列前項(xiàng)和
，
令，
，
，
，
得
.
得
，
.
練習(xí)33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．
(1)證明：是一個(gè)等差數(shù)列；
(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）根據(jù)得到，然后兩式相減得到，最后驗(yàn)證時(shí)是否成立，即可得到，進(jìn)而即可證明結(jié)論；
（2）分奇偶項(xiàng)求和，奇數(shù)項(xiàng)用等差數(shù)列求和公式求和，偶數(shù)項(xiàng)用裂項(xiàng)相消的方法求和，最后相加即可．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，可得，
當(dāng)時(shí)，由，
則，
上述兩式作差可得，
因?yàn)闈M足，所以的通項(xiàng)公式為，所以，
因?yàn)椋ǔ?shù)），
所以是一個(gè)等差數(shù)列．
（2），
所以，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和．
練習(xí)34．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，是公差為2的等差數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列前項(xiàng)和，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）求出，從而利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出，再利用求出答案；
（2）裂項(xiàng)相消法求和，并證明.
【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，
所以，可得，
當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)檫m合上式，因此.
（2）由（1）可得：，
故.
練習(xí)35．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得，結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法即可求解.
【詳解】（1）①，
當(dāng)時(shí)，，解得.
當(dāng)時(shí)，②，
①-②，得，所以，
又，符合上式，故.
（2）由（1）知，則，
所以，
則
.
題型八已知或者求通項(xiàng)公式
例15．（2023·四川涼山·三模）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則______．
【答案】
【分析】由，可得當(dāng)時(shí)，，兩式相減可證得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，即可求出的通項(xiàng)公式.
【詳解】由已知，，①，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，②，
①－②得：，整理得：，即，
又符合上式，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，
所以.
故答案為：.
例16．（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出的通項(xiàng)公式；
（2）由題知，進(jìn)而根據(jù)裂項(xiàng)求和法求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，
所以，即，
則，
當(dāng)時(shí)，，解得，則，
從而是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
故，即；
（2）由（1）知，
所以．
練習(xí)36．（2023·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知在數(shù)列中，，，則_____ .
【答案】
【分析】將時(shí)的等式與條件中的等式做差整理可得，然后利用計(jì)算即可.
【詳解】①，
當(dāng)時(shí)，②，
①-②得，整理得，
當(dāng)時(shí)，，得，
.
故答案為：.
練習(xí)37．（2023·全國·長郡中學(xué)校聯(lián)考二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（且）.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由及題意可得數(shù)列為等差數(shù)列，從而求出，從而可求出答案；
（2）利用裂項(xiàng)相消法證明即可.
【詳解】（1）∵，
∴，
又，
∴，
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴，∴，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，滿足上式，
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）由（1）可知，，則，
故
，因?yàn)?，故，即得證
練習(xí)38．（2023·云南·校聯(lián)考二模）正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出，；
(2)若，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和．
【答案】(1)；；
(2).
【分析】（1）將代入遞推公式即可求出答案；
（2）將通項(xiàng)公式代入，將展開并項(xiàng)求和即可得出答案.
【詳解】（1）由可得，，
又因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以，數(shù)列為等差數(shù)列，
所以 ，，，所以.
（2），
.
練習(xí)39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，設(shè)（表示不超過的最大整數(shù)），則數(shù)列的前2023項(xiàng)和（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)和的關(guān)系化簡，可得，進(jìn)而得到數(shù)列是以為首項(xiàng)、4為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而得到，可得，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求解即可.
【詳解】因?yàn)?，則，
兩式相減得．
當(dāng)時(shí)，，即，
代入，可得，即，所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)、4為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，
所以．
故選：B．
練習(xí)40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則______
【答案】
【分析】根據(jù)與的關(guān)系式，可推得，進(jìn)而根據(jù)累乘法即可求出.
【詳解】由已知可得，.
當(dāng)時(shí)，，
所以；
當(dāng)時(shí)，
有，，
兩式相減得，，
所以.
所以有，
，
，
，
，
兩邊同時(shí)相乘可得，，
整理可得，.
當(dāng)時(shí)，，滿足該式，
，滿足該式，
故.
故答案為：.
題型九因式分解型求通項(xiàng)
例17．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根據(jù)得到，根據(jù)和得到，即可得到數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，然后求通項(xiàng)即可；
（2）利用裂項(xiàng)相消的方法求和即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以①?br>所以時(shí)，②．
由，得，即．
因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以，即，
因?yàn)?，所以，，解得，，?br>所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，
所以．
（2）由（1）得．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
．
所以
例18．（2023春·江蘇南京·高三江蘇省溧水高級(jí)中學(xué)校考期中）正項(xiàng)數(shù)列的前和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由證明是等差數(shù)列，可求通項(xiàng)；
（2）由錯(cuò)位相減法求的通項(xiàng)，再用分組求和求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）正項(xiàng)數(shù)列，當(dāng)時(shí)，由，解得，
由，所以，
所以，即，
，
數(shù)列是正項(xiàng)數(shù)列，所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的正項(xiàng)等差數(shù)列，
所以.
（2）由，
所以，
，
，
上面兩式相減，得，
，即，
所以，
.
練習(xí)41．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)且滿足，數(shù)列滿足，且．求的通項(xiàng)公式.
【答案】，
【分析】由化簡可得到的通項(xiàng)公式，將左右兩邊同除以可得是等差數(shù)列，即可得到的通項(xiàng)公式.
【詳解】由可得，
，
因?yàn)?，左右兩邊同除以，得?br>所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，
，，
.
練習(xí)42．（河南省部分重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期5月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知遞增數(shù)列滿足．
(1)求；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)；
(2)Sn=.
【分析】（1）由題可得，然后根據(jù)等差數(shù)列的概念即得；
（2）利用錯(cuò)位相減法即得.
【詳解】（1）由，得，
即，
若，則，又，
所以數(shù)列為首項(xiàng)為7公差為4的等差數(shù)列；
若，由，得，（舍去）；
綜上：；
（2）由（1）知，，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和，
作差可得：
，
所以，
故的前n項(xiàng)和為Sn=.
練習(xí)43．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）在數(shù)列中，，且遞增，則___________．
【答案】
【分析】由題設(shè)中的遞歸關(guān)系可得，從而可求，故可求數(shù)列的通項(xiàng)，也可以利用特值方程法求出數(shù)列的通項(xiàng).
【詳解】解法一 根據(jù)題意，有，
于是，
考慮到，于是，
所以
進(jìn)而．
解法二 根據(jù)題意，有，
，
兩式相減，得，
因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以，，
兩式相減，得．
解上式對(duì)應(yīng)的特征方程,
得，因此．
將代入上式，得
練習(xí)44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足.求的通項(xiàng)公式；
【答案】
【分析】將所給等式因式分解后再用累乘法求解.
【詳解】由可得：，
因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列，所以，
所以，則，……，，
將這個(gè)式子相乘，則，
又因?yàn)?，所?br>練習(xí)45．（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┮阎龜?shù)數(shù)列，，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因式分解，從而可推導(dǎo)得，再利用累乘法計(jì)算數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法計(jì)算數(shù)列的前項(xiàng)和.
【詳解】（1）∵，
∴，
又，∴，即．
又，
且，∴
（2），∴，，
又，
∴.
題型一
觀察法
題型二
周期數(shù)列
題型三
累加法
題型四
累乘法
題型五
待定系數(shù)法
題型六
取倒數(shù)法、取對(duì)數(shù)法
題型七
已知求通項(xiàng)公式
題型八
已知或者求通項(xiàng)公式
題型九
因式分解型求通項(xiàng)

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通用版2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)求數(shù)列的通項(xiàng)公式作業(yè)含答案：

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