題型一倒序相加法
例1．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．
(1)計算的值．
(2)求數(shù)列的通項公式．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）直接計算可得答案；
（2）由（1）的計算結(jié)果，當時，利用倒序相加法可得答案.
【詳解】（1）；
（2）由題知，當時，，
又，兩式相加得
，
所以，
又不符合，
所以.
例2．（2023·全國·高三對口高考）已知函數(shù)，則__________；數(shù)列滿足，則這個數(shù)列的前2015項的和等于__________.
【答案】 /1007.5
【分析】根據(jù)，化簡即可，再利用倒序相加法即可求得答案.
【詳解】由，
得，所以，
設(shè)數(shù)列前項之和為，
則，
，
兩式相加得，所以，
即這個數(shù)列的前2015項的和等于.
故答案為：；.
練習1．（2022秋·天津南開·高三天津市天津中學校考期末）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，則（ ）
A．2022B．2023C．4044D．4046
【答案】A
【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正確答案.
【詳解】∵，
∴．
∵，
∴．令，
則，兩式相加得，
∴．
故選:A
練習2．（2022秋·河南漯河·高二漯河高中?？计谀┮阎瘮?shù)，則________.
【答案】/
【分析】可令，，利用倒序相加法，將角度之和為的兩項結(jié)合（如化簡整理即可．
【詳解】解：，
，
令，①
，②
①②得：，
，即．
故答案為：.
練習3．（2022·全國·高三專題練習）已知定義在R上的函數(shù)，則___________.
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件得，再利用倒序相加法即可求解.
【詳解】由，得，
所以，
設(shè),
,
由，得
即，于是有，解得，
所以.
故答案為：.
練習4．（2023·全國·高三專題練習）已知，則______.
【答案】4042
【分析】先判斷函數(shù)的對稱性，然后用倒序相加法求和..
【詳解】由，令可得，，
且，
則，
所以，函數(shù)關(guān)于點對稱，即
由已知，，
又
兩式相加可得，
所以，.
故答案為：4042.
練習5．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)，設(shè)，．求數(shù)列的通項公式．
【答案】
【分析】通過，將已知倒序相加得出的式子，注意是否滿足即可.
【詳解】；
時，，
，
相加得，
所以，又，
所以對一切正整數(shù)，有；
題型二分組求和法
例3．（2023春·四川廣安·高二四川省廣安友誼中學?？茧A段練習）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，.
(1)求的通項公式；
(2)數(shù)列滿足，求的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件建立關(guān)于的方程組，然后解出即可得答案；
（2）利用分組求和法求出答案即可.
【詳解】（1）∵，
∴，，解得，∴；
（2）由題可知，∴，
∴，
例4．（2023春·北京海淀·高二北京交通大學附屬中學?？计谥校┮阎炔顢?shù)列滿足，．
(1)①求公差；
②求數(shù)列的通項公式；
③設(shè)數(shù)列的前項和為，求使得最小的的值；
(2)若數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列．
①求數(shù)列的通項公式；
②求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)①；②；③，當時，取最小值
(2)①；②
【分析】（1）①根據(jù)直接求解；
②根據(jù)等差數(shù)列的通項公式可求得的表達式；
③根據(jù)等差數(shù)列的求和公式可求得，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得當取最小值時的值；
（2）①求出數(shù)列的通項公式，結(jié)合數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式；
②利用分組求和法可求得.
【詳解】（1）解：①因為，，則；
②；
③，
由二次函數(shù)的基本性質(zhì)可知，當時，取最小值.
（2）解：①因為數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，
所以，；
②
.
練習6．（2023春·吉林長春·高二長春十一高?？计谥校┰O(shè)等比數(shù)列的前項和為，公比，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和為.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用基本量法，即可求解.
（2）利用分組求和即可求解.
【詳解】（1）解：，解得，
；
（2）

.
練習7．（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知的面積為1，點D，E，F(xiàn)分別為線段，，的中點，記的面積為；點G，H，I分別為線段，，的中點，記的面積為；…；以此類推，第n次取中點后，得到的三角形面積記為．
(1)求，，并求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)相鄰兩個三角形的面積關(guān)系可得，即可求解通項，
（2）先利用并項求和法求得為偶數(shù)的情況的和，再利用所得結(jié)論求得奇數(shù)的情況的和，然后寫成分段形式.
【詳解】（1）由題意可知,，...，
由此可知，故是以公比為的等比數(shù)列，所以.
（2）由得，，
當為偶數(shù)時，
，
當為奇數(shù)時，，
故.
練習8．（2023春·北京豐臺·高三北京市第十二中學?？计谥校┮阎獢?shù)列的前n項和為，且，，則使得成立的n的最小值為（ ）
A．32B．33C．44D．45
【答案】D
【分析】分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況，得到的通項公式，進而分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況求和，解不等式，求出答案.
【詳解】①，
當時，②，
兩式相減得，
當為奇數(shù)時，為等差數(shù)列，首項為4，公差為4，
所以，
中，令得，故，
故當為偶數(shù)時，為等差數(shù)列，首項為2，公差為4，
所以，
所以當為奇數(shù)時，，
當為偶數(shù)時，，
當為奇數(shù)時，令，解得，
當為偶數(shù)時，令，解得，
所以成立的n的最小值為.
故選：D
練習9．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列滿足，．
(1)令，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）計算，確定，得到證明.
（2）計算，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式結(jié)合分組求和法計算得到答案.
【詳解】（1），則，
，
故是以首項為3，公比為3的等比數(shù)列．
（2），故，
.
練習10．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列滿足：，，
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記數(shù)列的前n項和為，求.
【答案】(1)；
(2)1024144.
【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，分奇偶討論求出的通項公式.
（2）利用（1）的結(jié)論，利用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式求解作答.
【詳解】（1）數(shù)列滿足：，，，
當時，，數(shù)列是首項，公差為2的等差數(shù)列，
因此，即當為偶數(shù)時，，
當時，，即，由，得，
因此，即當為奇數(shù)時，，
所以數(shù)列的通項公式為.
（2）由（1）知，
.
題型三并項求和法
例5．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┮阎畈粸榱愕牡炔顢?shù)列的首項為1，且是一個等比數(shù)列的前三項，記數(shù)列的前項和為．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前20項的和．
【答案】(1)，
(2)210
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)計算即可；
（2）利用分組求和法求和即可.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，所以．
因為是一個等比數(shù)列的前三項，所以．
即又，所以
所以數(shù)列的通項公式為，
（2）由（1）知數(shù)列的前項和
所以，數(shù)列的前20項的和為
例6．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項和.
【答案】(1)
(2)1012
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式以及給定的條件求出公差d和；
（2）根據(jù)數(shù)列的周期性求解.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，
即
解得，所以；
（2）由（1）可知，，
對于任意，有，
所以，
故數(shù)列的前2023項和為
.
練習11．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)是數(shù)列的前n項和，已知，.
(1)求，；
(2)令，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系即可聯(lián)立求解，
（2）根據(jù)偶數(shù)項和奇數(shù)項的關(guān)系可得，進而根據(jù)分組求和即可.
【詳解】（1）由得即
，即，又，所以，
（2）當時，，
當時，，
兩式相加可得，得，
由于，所以

練習12．（2023·全國·高三專題練習）已知，，，…，是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)求數(shù)列前2n項的和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意和等差數(shù)列前n項求和公式可得當時，，驗證符合該式即可；
（2）由（1）可得，，結(jié)合等差數(shù)列前n項求和公式計算即可求解.
【詳解】（1）當時，，
又，符合上式，
∴；
（2）由（1）知，，
，
∴
.
練習13．（2023·全國·模擬預測）記為正項數(shù)列的前項和，已知．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，由可得出的值，當時，由可得，兩式作差可推導出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，即可求得數(shù)列的通項公式；
（2）求得，計算出，然后分為偶數(shù)、為奇數(shù)兩種情況討論，利用分組求和法可求得的表達式.
【詳解】（1）由，得，
當時，，解得，
當時，，
所以，
整理得，
對任意的，，則，所以，
所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
故
（2）由（1）可知，，則，
所以，對任意的，，
當為偶數(shù)時，設(shè)，
則；
當為奇數(shù)時，設(shè)，則，
.
綜上所述，.
練習14．（2023·湖北荊門·荊門市龍泉中學校聯(lián)考模擬預測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前項和.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)數(shù)列滿足，求的前100項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由與關(guān)系得數(shù)列為等差數(shù)列，進而結(jié)合通項公式求解即可；
（2）結(jié)合題意得，，進而，再求和即可.
【詳解】（1）解：當時，，,，
由得當時，遞推得，
所以，兩式作差得：，即，
因為數(shù)列各項均為正數(shù)，
所以，
又因為，
所以，數(shù)列為等差數(shù)列，公差、首項均為，
所以.
（2）解：由得，，
；
令，
則.
練習15．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列滿足（n≥2，），．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）構(gòu)造等比數(shù)列，再求其通項；
（2）利用等比數(shù)列求和公式以及分組求和法得出結(jié)果.
【詳解】（1）∵，
∴，
所以，又，
∴是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
當n為偶數(shù)時，
．
當n為奇數(shù)時，
．
綜上．
題型四奇偶數(shù)列求和
例7．（2023·山東濟寧·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的基本量計算即可求解，
（2）由分組求和，結(jié)合等差等比數(shù)列的求和公式即可求解.
【詳解】（1）由，得
所以數(shù)列為等差數(shù)列．所以，得．
所以公差．所以．
（2）當為奇數(shù)時，．當為偶數(shù)時．
所以
例8．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知等比數(shù)列的前n項和為，其公比，，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知條件求出公比，，直接寫出等比數(shù)列的通項公式即可；
（2）由（1）得，分組求和即可，注意分類討論的思想.
【詳解】（1）因為是等比數(shù)列，公比為，則 ，
所以，解得，
由，可得，解得，
所以數(shù)列的通項公式為．
（2）由（1）得，
當n為偶數(shù)時，
；
當n為奇數(shù)時；
綜上所述：.
練習16．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足．
(1)求的通項公式；
(2)已知求數(shù)列的前20項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)得到，然后兩式相減得到，最后驗證時是否成立，即可得到；
（2）分奇偶項求和，奇數(shù)項用等差數(shù)列求和公式求和，偶數(shù)項用裂項相消的方法求和，最后相加即可.
【詳解】（1）當時，可得，
當時，，
，
上述兩式作差可得，
因為滿足，所以的通項公式為.
（2）因為，
所以，
.
所以數(shù)列的前20項和為.
練習17．（2023春·全國·高三期中）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由題意先求出，再根據(jù)，得，從而可得，再利用構(gòu)造法求出的通項，從而可得的通項公式；
（2）分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，再結(jié)合分組求和法即可得解.
【詳解】（1），得，
因為，即，解得，
由，得，
又，
故，所以，即，
所以，
又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，
則，故，
所以；
（2）當為偶數(shù)時，
，
當為奇數(shù)時，
，
綜上所述，.
練習18．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前n項和為，，且，則______．
【答案】
【分析】令，然后由條件可得，然后求出數(shù)列的通項公式，然后可算出答案.
【詳解】令，
因為，且，
所以，，
所以，所以數(shù)列是首項為8，公比為2的等比數(shù)列，
所以，即，
所以，
故答案為：
練習19．（2023春·北京·高三北京五十五中校考階段練習）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，，數(shù)列的前項和為，且，.
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)，（），，（）
(2)
【分析】（1）由等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，可求數(shù)列的通項公式；
對于數(shù)列，當時，，先求出遞推公式，從而得到的通項公式；
（2）利用分組求和的方法可求數(shù)列的前項和.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得
，解得，所以，（）；
對于數(shù)列，由已知，當時，，得，
當時，， ，
兩式相減，得，所以數(shù)列為等比數(shù)列，
得，（）.
（2）由（1）可得設(shè),
所以
練習20．（2023春·浙江杭州·高三浙江大學附屬中學期中）（多選）已知數(shù)列滿足，，則下列說法正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】A選項直接由遞推關(guān)系式即可求出；B選項由即可判斷；C選項由即可判斷；D選項由分組求和及等比數(shù)列求和公式即可判斷.
【詳解】，故選項A正確；
對于，有，
兩式相加，得，則，故選項B正確；
由，知，
則，故選項C錯誤；
由偶數(shù)項均為，可得為偶數(shù)時，，
則
，
則，故選項D正確.
故選：ABD.
題型五裂項相消法
例9．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預測）已知等差數(shù)列前項和為，數(shù)列前項積為.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）求得數(shù)列的公差，由此求得.利用求得.
（2）利用裂項相消求和法求得.
【詳解】（1）是等差數(shù)列，，
即：，又，
，
.
又，
當時，，符合上式，
.
（2）由（1）可得：，
.
例10．（河南省TOP二十名校2023屆高三猜題大聯(lián)考（二）數(shù)學（文科）試題）已知等差數(shù)列的前項和為.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件列出方程組求解；
（2）對裂項，用累加法求數(shù)列的通項公式.
【詳解】（1）設(shè)的公差為，首項為，因為
所以解得
所以.
（2）由題設(shè)，
所以當時，，
將上式累加可得：，
又，則.
又，也適合上式，故.
練習21．（2023春·河南南陽·高三鎮(zhèn)平縣第一高級中學校考階段練習）數(shù)列的前2022項和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)裂項相消法求和即可.
【詳解】因為，
所以數(shù)列的前2022項的和為：
.
故選：D
練習22．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)若，，成等比數(shù)列.從下面三個條件中選擇一個，求數(shù)列的前項和.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）
①；②；③.
【答案】(1)證明見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差得到，當時兩邊同除，即可得到為常數(shù)數(shù)列，從而求出，即可證明；
（2）設(shè)的公差為，根據(jù)等比中項的性質(zhì)得到方程，求出，即可求出的通項，再根據(jù)所選條件，利用裂項相消法計算可得.
【詳解】（1）因為，即，當時，解得，
當時，所以，
即，
所以，
當時上述式子恒成立，
當時兩邊同除可得，
即，所以為常數(shù)數(shù)列，即，
所以，即，
當時上述也成立，
所以，
所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列.
（2）設(shè)的公差為，因為，，成等比數(shù)列，
所以，即，解得，所以；
若選①，則，
所以.
若選②，則，
所以.
若選③，則，
所以
.
練習23．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校?？既＃┮阎棓?shù)列滿足，.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義可證等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式可得;
（2）根據(jù)裂項求和法可求出結(jié)果.
【詳解】（1）因為，，所以，，
所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以.
（2）,
所以
.
練習24．（2023春·河南南陽·高三鎮(zhèn)平縣第一高級中學校考階段練習）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用求通項公式；
（2）先根據(jù)求出，再把拆項為，然后求和．
【詳解】（1）∵，，當時，，∴．
由，，兩式相減可得：．
∴，又．
∴是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴．
（2）因為，
，
所以
.
練習25．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學?？寄M預測）已知正項數(shù)列，其前項和為，且滿足，數(shù)列滿足，其前項和，設(shè)，若對任意恒成立，則的最小值是___________.
【答案】1
【分析】利用，得出，即可判斷數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，因此，，，，根據(jù)，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，不等式且恒成立，即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意知，，且，
則當時，，
兩式相減得，
所以，
而，即，
又，解得，
數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，因此，
則，
，
，
數(shù)列是單調(diào)遞增的，，
而數(shù)列是單調(diào)遞減的，，
因為，不等式恒成立，
則，不等式且恒成立，
因此且，即有，
又，所以的最小值是1.
故答案為：1
題型六含絕對值數(shù)列求和
例11．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）在正項數(shù)列中，，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意因式分解可得，即，再根據(jù)等比數(shù)列的通項即可得解；
（2）分和兩種情況去絕對值符號，再根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式即可得解.
【詳解】（1）由，
得，
因為，所以，
又，則，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
所以；
（2），
當時，，
當時，
，
綜上所述，.
例12．（2023·全國·高三對口高考）等差數(shù)列中，是它的前n項的和，且滿足.則的最大值為__________；數(shù)列的前n項和__________.
【答案】
【分析】由已知得，進而求通項，根據(jù)的正負，即可確定取得最大值時的值，進而可求；由已知得是首項為，公差為的等差數(shù)列，由，得時，時，，由此分類能求出數(shù)列的前項和.
【詳解】∵，設(shè)等差數(shù)列的公差為，
∴，∴.
∴＝.
∴當時，，時，，
∴當時，取得最大值，且最大值為.
又因為等差數(shù)列的前n項和為，
，
設(shè)的前n項和為
當時，，
當時，
因此
故答案為：；.
練習26．（2022秋·上海浦東新·高三上海市建平中學?？奸_學考試）已知數(shù)列的通項公式為，那么滿足的整數(shù)k的個數(shù)為______．
【答案】2
【分析】根據(jù)數(shù)列的通項公式，去絕對值符號，對進行討論，進而求得的表達式，解方程即可求得結(jié)果．
【詳解】∵，
∴若，則，
∴與矛盾，
∴，
∴
，
解得或，
∴滿足的整數(shù)，5，即整數(shù)k的個數(shù)為2，
故答案為2．
【點睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的通項公式求數(shù)列的和，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，去絕對值是解題的關(guān)鍵，考查運算能力，屬中檔題．
練習27．（2023春·高三課時練習）已知數(shù)列的通項公式，則（ ）
A．150B．162C．180D．210
【答案】B
【分析】根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)得到數(shù)列單調(diào)性，再根據(jù)大小關(guān)系去掉絕對值符號得到答案.
【詳解】由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：
當時，數(shù)列為遞減；當時，數(shù)列為遞增.
所以
=
===162.
故選：B.
【點睛】本題考查了數(shù)列求和，意在考查學生的計算能力和綜合應(yīng)用能力，確定數(shù)列單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.
練習28．（2022·高三課時練習）已知數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，若，則數(shù)列的前100項和（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根據(jù)數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，求出，再判斷出數(shù)列各項符號后，去掉絕對值可求得結(jié)果.
【詳解】∵，∴.又∵數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，
∴，可得.
易得當時，，當時，，
∴數(shù)列的前100項和
.
故選：C
【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)通項公式判斷出各項符號，去掉絕對值符號求解是解題關(guān)鍵.
練習29．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列滿足，設(shè)，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，證明數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列即可求解；
（2）結(jié)合（1）得，再分和兩種情況討論求解即可.
【詳解】（1）解：由，得，
兩式相減，得，
所以，即.
又因為時，，所以，
因為，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.
所以.
（2）解：由（1）得，.
當時，，
當時，
綜上，
練習30．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列的前項和，若，則（ ）
A．578B．579
C．580D．581
【答案】B
【分析】由的關(guān)系得出通項公式，再討論，兩種情況，結(jié)合求和公式得出.
【詳解】當時，
當時，，經(jīng)檢驗時，不成立.
故得到.
令，則，解得，且，
當時，
，
當時，
，
故：，.
故選：B.
題型七數(shù)列求和與不等式
例13．（2023春·山東德州·高二?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列滿足：，數(shù)列的前項和為，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式，進一步利用裂項相消法求數(shù)列的和，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求出結(jié)果.
【詳解】數(shù)列滿足，①
當時，，②
①②得，，故，
則，
則，
由于恒成立，
故，
整理得：，
因隨的增加而減小，
所以當時，最大，且為，
即.
故選：D
例14．（河南省開封市等2地學校2022-2023學年高三下學期普高聯(lián)考測評（六）理科數(shù)學試題）數(shù)列是首項和公比均為2的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，則使不等式成立的最小正整數(shù)的值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】根據(jù)等比數(shù)列得，利用裂項求和可得，結(jié)合不等式的性質(zhì)代入求解即可得答案.
【詳解】因為數(shù)列是首項和公比均為2的等比數(shù)列，所以，則，
所以，則，
不等式整理得，
當時，左邊，右邊，顯然不滿足不等式；
當時，左邊，右邊，顯然滿足不等式；
且當時，左邊，右邊，則不等式恒成立；
故當不等式成立時的最小值為9.
故選：B.
練習31．（2023春·北京·高三北京四中校考期中）已知數(shù)列的前項和，數(shù)列的前項和為，且滿足，.
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和；
(3)求使不等式成立的最小正整數(shù)的值.
【答案】(1)，
(2)
(3)8
【分析】（1）根據(jù)求出，為公比為2的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式求出答案；
（2）利用錯位相減法求和得到答案；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，解不等式結(jié)合單調(diào)性得到答案.
【詳解】（1）當時，，
當時，，
經(jīng)檢驗，，滿足，
綜上：，
故，
因為①，當時，②，
兩式相減得，即，
中，令得，，
故為公比為2的等比數(shù)列，首項為1，
所以，
（2），
則，
兩式相減得，
故；
（3），
因為當時，，又單調(diào)遞增，
故在單調(diào)遞增，
又，又，
解得，
故最小正整數(shù)的值為8.
練習32．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，，，.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，的前項和為，若對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義以及的關(guān)系求解；
（2）利用錯位相減法可求得，在根據(jù)題意得即可求解.
【詳解】（1）由，得，又，
所以數(shù)列是以為首項，公差為1的等差數(shù)列，
∴，即，
∴當時，
，
又不滿足上式，所以.
（2）由（1）知，∴，
∴，①
，②
①?②得：，
整理得，
又因為對任意的正整數(shù)，恒成立，所以，
∵，
∴在上單調(diào)遞增，，
由，可得，
所以實數(shù)的取值范圍是.
練習33．（2023春·甘肅張掖·高三高臺縣第一中學?？茧A段練習）已知數(shù)列的通項公式為，為數(shù)列的前n項和.
(1)求；
(2)若對于，恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用裂項相消法求和可得答案；
（2）根據(jù)的表達式，求出的范圍，得到的最大值，可得答案.
【詳解】（1）因為，
所以
.
（2）當n為正奇數(shù)時，，
且隨n的增大而增大，所以，所以，
當n為正偶數(shù)時，，
且隨n的增大而減小，所以，
所以，綜上可得且，則，
所以的最大值為（當且僅當時取得）.
因為恒成立，所以恒成立，所以，
所以的取值范圍為.
練習34．（2023·全國·高三專題練習）已知數(shù)列滿足，若，求滿足條件的最大整數(shù)．
【答案】2021
【分析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式可得，結(jié)合的取值范圍分析運算即可.
【詳解】∵，
所以
，
因為，即，
∵，則，
故，則，
因為為正整數(shù)，所以的最大值為.
練習35．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)數(shù)列的前項和.若存在，使不等式成立，求實數(shù)的最大值.
【答案】
【分析】利用裂項相消的方法得到，即可得到存在，使成立，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到，即可得到.
【詳解】解：因為一般項，所以
.
于是，即存在，使成立.
因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，
所以.
故實數(shù)的最大值是.
題型一
倒序相加法
題型二
分組求和法
題型三
并項求和法
題型四
奇偶數(shù)列求和
題型五
裂項相消法
題型六
含絕對值數(shù)列求和
題型七
數(shù)列求和與不等式

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