題型一觀察法
例1．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：
(1)；
(2)；
(3)7，77，777，7777.
例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點(diǎn)（或圓球）在等距的排列下可以形成三角形數(shù)，如1，3，6，10，15.我國宋元時(shí)期數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數(shù)”垛（如圖所示，頂上一層1個(gè)球，下一層3個(gè)球，再下一層6個(gè)球）.若一“落一形”三角錐垛有10層，則該堆垛第10層球的個(gè)數(shù)為___________.

練習(xí)1．（2023秋·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列1，0，，與數(shù)列，，0，1是相同的數(shù)列
B．如果一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，那么它一定是遞減數(shù)列
C．?dāng)?shù)列0，2，4，6，8，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為
D．?dāng)?shù)列，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為
練習(xí)2．（2023春·江西·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列為1，，9，，25，，…，則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是（ ）
A．B．C．D．
練習(xí)3．（2023·廣東·高三專題練習(xí)）已知無窮數(shù)列滿足，，，寫出滿足條件的的一個(gè)通項(xiàng)公式：___________.（不能寫成分段數(shù)列的形式）
練習(xí)4．（2023春·安徽·高三巢湖市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）傳說古代希臘的畢達(dá)哥拉斯在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題：把叫做三角形數(shù)；把叫做正方形數(shù)，則下列各數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
練習(xí)5．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列， ，，，，…，則該數(shù)列的第100項(xiàng)為（ ）
A．B．C．D．
題型二周期數(shù)列
例3．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·?？寄M預(yù)測(cè)）若數(shù)列滿足，則（ ）
A．2B．C．D．
例4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，已知，當(dāng)時(shí)，是的個(gè)位數(shù)，則（ ）
A．4B．3C．2D．1
練習(xí)6．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知首項(xiàng)為的數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．B．1C．D．
練習(xí)7．（2023春·遼寧·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）數(shù)列滿足：，，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______．
練習(xí)8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）洛卡斯是十九世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家，他以研究斐波那契數(shù)列而著名.洛卡斯數(shù)列就是以他的名字命名，洛卡斯數(shù)列為：、、、、、、、、、、，即，，且.則洛卡斯數(shù)列的第項(xiàng)除以的余數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
練習(xí)9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則_______.
練習(xí)10．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）數(shù)列中，，則（ ）
A．B．C．2D．4
題型三累加法
例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，求通項(xiàng)公式．
例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，.求的通項(xiàng)公式.
練習(xí)11．（2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列是以4為公差的等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的值．
練習(xí)12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）古希臘著名科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯把1，3，6，10，15，21，…這些數(shù)量的（石子），排成一個(gè)個(gè)如圖一樣的等邊三角形，從第二行起每一行都比前一行多1個(gè)石子，像這樣的數(shù)稱為三角形數(shù).那么把三角形數(shù)從小到大排列，第11個(gè)三角形數(shù)是______.
練習(xí)13．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎獢?shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______．
練習(xí)14．（2023春·江蘇南京·高三南京大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）在數(shù)列中，，.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
練習(xí)15．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為零，且滿足，（，），則的通項(xiàng)公式__________．
題型四累乘法
例7．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則的通項(xiàng)公式為___________．
例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．
(1)若，求的通項(xiàng)公式．
(2)若，求的通項(xiàng)公式．
練習(xí)16．（2022秋·重慶北碚·高三重慶市兼善中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．
(1)求，；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
練習(xí)17．（2023秋·江蘇無錫·高三統(tǒng)考期末）已知向量，，，則______，______．
練習(xí)18．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，，，則______，______．
練習(xí)19．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？级＃┮阎獢?shù)列滿足：.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
練習(xí)20．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)證明：．
題型五待定系數(shù)法
例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an} 滿足a1 = 1，an+1 = 3an + 1.求{an}的通項(xiàng)公式.
例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列是首項(xiàng)為.
(1)求通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
練習(xí)21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列{an}滿足，，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為___________.
練習(xí)22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____________.
練習(xí)23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____________.
練習(xí)24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____________.
練習(xí)25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足：，（），數(shù)列滿足：．求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
題型六取倒數(shù)法、取對(duì)數(shù)法
例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求的通項(xiàng)公式.
例12．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．為等比數(shù)列
B．的通項(xiàng)公式為
C．為遞增數(shù)列
D．的前n項(xiàng)和
練習(xí)26．（2023春·高三課時(shí)練習(xí)）數(shù)列中，，，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為
B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列
D．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列
練習(xí)27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)的乘積，且
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
練習(xí)28．（2022秋·湖南婁底·高三湖南省新化縣第一中學(xué)?？计谀ǘ噙x）已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的有（ ）
A．為等比數(shù)列B．的通項(xiàng)公式為
C．為遞增數(shù)列D．的前項(xiàng)和為
練習(xí)29．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列中，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和.
練習(xí)30．（2023春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，，，．
(1)當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
題型七已知求通項(xiàng)公式
例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則__________.
例14．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
練習(xí)31．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
練習(xí)32．（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求；
(3)若，求數(shù)列前項(xiàng)和．
練習(xí)33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足．
(1)證明：是一個(gè)等差數(shù)列；
(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
練習(xí)34．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，是公差為2的等差數(shù)列.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列前項(xiàng)和，證明：.
練習(xí)35．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
題型八已知或者求通項(xiàng)公式
例15．（2023·四川涼山·三模）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則______．
例16．（2023春·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
練習(xí)36．（2023·四川成都·成都七中統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知在數(shù)列中，，，則_____ .
練習(xí)37．（2023·全國·長郡中學(xué)校聯(lián)考二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（且）.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.
練習(xí)38．（2023·云南·校聯(lián)考二模）正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出，；
(2)若，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和．
練習(xí)39．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，設(shè)（表示不超過的最大整數(shù)），則數(shù)列的前2023項(xiàng)和（ ）
A．B．C．D．
練習(xí)40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則______
題型九因式分解型求通項(xiàng)
例17．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
例18．（2023春·江蘇南京·高三江蘇省溧水高級(jí)中學(xué)?？计谥校┱?xiàng)數(shù)列的前和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
練習(xí)41．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)且滿足，數(shù)列滿足，且．求的通項(xiàng)公式.
練習(xí)42．（河南省部分重點(diǎn)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期5月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知遞增數(shù)列滿足．
(1)求；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．
練習(xí)43．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，且遞增，則___________．
練習(xí)44．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足.求的通項(xiàng)公式；
練習(xí)45．（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？家荒＃┮阎龜?shù)數(shù)列，，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
題型一
觀察法
題型二
周期數(shù)列
題型三
累加法
題型四
累乘法
題型五
待定系數(shù)法
題型六
取倒數(shù)法、取對(duì)數(shù)法
題型七
已知求通項(xiàng)公式
題型八
已知或者求通項(xiàng)公式
題型九
因式分解型求通項(xiàng)

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