題型一分段遞推數(shù)列求通項公式
例1．（2023·江西南昌·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列滿足，其中 ，則數(shù)列的前項和為______.
例2．（2023春·廣東佛山·高二佛山一中?？茧A段練習）（多選）已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．
B．當為偶數(shù)時，
C．
D．數(shù)列的前項和為
練習1．（2023·全國·高二專題練習）已知數(shù)列滿足，，記，求數(shù)列的通項公式．
練習2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學?？寄M預測）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前n項和．
練習3．（2023秋·安徽宣城·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，，，令.
(1)寫出，，并求出數(shù)列的通項公式；
(2)記，求的前10項和.
練習4．（2023·陜西安康·陜西省安康中學?？寄M預測）已知數(shù)列的首項為,數(shù)列的前項和小于實數(shù)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
練習5．（2023春·重慶渝中·高二重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知數(shù)列滿足：①；②.則的通項公式______；設為的前項和，則______.（結果用指數(shù)冪表示）
題型二公共項數(shù)列
例3．（2023春·河北石家莊·高二石家莊市第十五中學?？茧A段練習）數(shù)列的通項公式分別為和，設這兩個數(shù)列的公共項構成集合A，則集合中元素的個數(shù)為（ ）
A．167B．168C．169D．170
例4．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且滿足． 將數(shù)列與的公共項按照由小到大的順序排列，構成新數(shù)列．
(1)證明：
(2)求數(shù)列的前n項和．
練習6．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習）將數(shù)列與的公共項由小到大排列得到數(shù)列，則數(shù)列的前n項的和為__________．
練習7．（2023·全國·高三專題練習）已知，將數(shù)列與數(shù)列的公共項從小到大排列得到新數(shù)列，則__________.
練習8．（2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學校聯(lián)考階段練習）已知等差數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列由與的公共項按從小到大的順序排列而成，求數(shù)列落在區(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)．
練習9．（2023·全國·高三專題練習）記為公比不為1的等比數(shù)列的前項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)設，若由與的公共項從小到大組成數(shù)列，求數(shù)列的前項和．
練習10．（2022秋·山東濟寧·高三統(tǒng)考期中）我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)值剩二，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”根據(jù)這一數(shù)學思想，所以被除余的自然數(shù)從小到大組成數(shù)列，所有被除余的自然數(shù)從小到大組成數(shù)列，把和的公共項從小到大得到數(shù)列，則（ ）
A．B．C．D．
題型三插項數(shù)列
例5．（2023·全國·高三專題練習）若在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，可以形成一個新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法可以不斷構造出新的數(shù)列．現(xiàn)將數(shù)列1，3進行構造，第1次得到數(shù)列1，4，3；第2次得到數(shù)列1，5，4，7，3；依次構造，第次得到數(shù)列1，．記，若成立，則的最小值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
例6．（2023·安徽滁州·?？寄M預測）已知等比數(shù)列的前項和為，且
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和．
練習11．（2023秋·江蘇鹽城·高三江蘇省阜寧中學校聯(lián)考期末）已知數(shù)列的通項公式，在數(shù)列的任意相鄰兩項與之間插入個4，使它們和原數(shù)列的項構成一個新的數(shù)列，記新數(shù)列的前n項和為，則的值為______．
練習12．（2023·全國·學軍中學校聯(lián)考二模）設數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)在數(shù)列的任意與項之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項的和為，求的值.
練習13．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，且．
(1)求的通項公式；
(2)保持中各項先后順序不變，在與之間插入個1，使它們和原數(shù)列的項構成一個新的數(shù)列，記的前n項和為，求的值（用數(shù)字作答）．
練習14．（2023春·遼寧錦州·高三?？计谥校┯洖楦黜椌鶠檎龜?shù)的等比數(shù)列的前n項和，，且，，成等差數(shù)列.
(1)求的通項公式；
(2)在和之間插入n個數(shù)，使得這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項和.
練習15．（2023·浙江金華·統(tǒng)考模擬預測）已知數(shù)列的前項和，，且.數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)將數(shù)列中的項按從小到大的順序依次插入數(shù)列中，在任意的，之間插入項，從而構成一個新數(shù)列，求數(shù)列的前100項的和.
題型四數(shù)列中的新定義問題
例7．（2023·全國·高三對口高考）對于數(shù)列，定義為數(shù)列的一階差分數(shù)列，其中
(1)若數(shù)列的通項公式，求的通項公式；
(2)若數(shù)列的首項是1，且滿足，證明數(shù)列為等差為數(shù)列.
例8．（2023·廣東佛山·?？寄M預測）（多選）所有的有理數(shù)都可以寫成兩個整數(shù)的比，例如如何表示成兩個整數(shù)的比值呢？代表了等比數(shù)列的無限項求和，可通過計算該數(shù)列的前項的和，再令獲得答案.此時，當時，，即可得.則下列說法正確的是（ ）
A．
B．為無限循環(huán)小數(shù)
C．為有限小數(shù)
D．數(shù)列的無限項求和是有限小數(shù)
練習16．（2023·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預測）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點在函數(shù)的圖象上，其中n為正整數(shù)，
(1)證明：數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)設，定義，且記，求數(shù)列的前n項和．
練習17．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）將按照某種順序排成一列得到數(shù)列，對任意，如果，那么稱數(shù)對構成數(shù)列的一個逆序對.若，則恰有2個逆序對的數(shù)列的個數(shù)為（ ）
A．4B．5C．6D．7
練習18．（2023·北京·人大附中?？既＃┮阎獢?shù)列滿足：對任意的，總存在，使得，則稱為“回旋數(shù)列”．以下結論中正確的個數(shù)是（ ）
①若，則為“回旋數(shù)列”；
②設為等比數(shù)列，且公比q為有理數(shù)，則為“回旋數(shù)列”；
③設為等差數(shù)列，當，時，若為“回旋數(shù)列”，則；
④若為“回旋數(shù)列”，則對任意，總存在，使得．
A．1B．2C．3D．4
練習19．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？级＃ǘ噙x）在數(shù)列中，（，為非零常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”，稱為“公方差”，下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（ ）
A．是等方差數(shù)列
B．若正項等方差數(shù)列的首項，且是等比數(shù)列，則
C．等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列
D．存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列
練習20．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）（多選）若數(shù)列滿足：對任意的，總存在，使，則稱是“數(shù)列”.則下列數(shù)列是“數(shù)列”的有（ ）
A．B．
C．D．
題型五數(shù)列的結構不良
例9．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和為，，．
(1)求的通項公式及；
(2)設__________，求數(shù)列的前項和．
在①；②；③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并求解．
注：如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
例10．（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）已知正項數(shù)列的前項和為，在①，且；②；③，，這三個條件中任選一個，解答下列問題：
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項公式；
(2)設，數(shù)列的前項和為，若恒成立，求的最小值.
注：若選擇不同的條件分別解答，則按第一個解答計分.
練習21．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列的前項和為，在①且；②；③且，，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并求解：
(1)已知數(shù)列滿足______，求的通項公式；
(2)已知正項等比數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項和．
練習22．（2023春·江西·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前項和.
(1)從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立；
①；
②；
③.
(2)在（1）的條件下，若，求.
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.
練習23．（2023春·浙江杭州·高三浙江大學附屬中學?？计谥校┰冖?；②這兩組條件中任選一組，補充下面橫線處，并解答下列問題.
已知數(shù)列的前n項和是，數(shù)列的前n項和是，___________.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，數(shù)列的前n項和為，求.
練習24．（2023秋·云南昆明·高三統(tǒng)考期末）已知是數(shù)列的前項和，①，，②，且，③，
請從①②③中選擇一個條件進行求解.
注：如果選擇不同的條件分別解答，則按第一個解答計分.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由.
練習25．（2023春·北京海淀·高三中央民族大學附屬中學?？计谥校┮阎獢?shù)列中，，_____，其中 ．
從①數(shù)列的前項和 ，② ，③且，這三個條件中一個，補充在上面的問題中并作答.
注：若選作多個條件分別解答，按第一個解答計分.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設，求證：數(shù)列 是等差數(shù)列；
(3)設數(shù)列 ，求數(shù)列的通項公式及前20項和 ．
題型六遞推數(shù)列的實際應用
例11．（2023·全國·高三專題練習）農(nóng)歷是我國古代通行歷法，被譽為“世界上最突出和最優(yōu)秀的智慧結晶”.它以月相變化周期為依據(jù)，每一次月相朔望變化為一個月，即“朔望月”，約為29.5306天.由于歷法精度的需要，農(nóng)歷設置“閏月”，即按照一定的規(guī)律每過若干年增加若干月份，來修正因為天數(shù)的不完美造成的誤差，以使平均歷年與回歸年相適應設數(shù)列滿足，其中均為正整數(shù)，且，，，，，，…，那么第n級修正是“平均一年閏個月”，已知我國農(nóng)歷為“19年共閏7個月”，則它是（ ）
A．第3級修正B．第4級修正C．第5級修正D．第6級修正
例12．（2023·全國·高三專題練習）（多選）1202年，斐波那契在《算盤全書》中從兔子問題得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21該數(shù)列的特點是前兩項為1，從第三項起，每一項都等于它前面兩項的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，19世紀以前并沒有人認真研究它，但在19世紀末和20世紀，這一問題派生出廣泛的應用，從而活躍起來，成為熱門的研究課題，記為該數(shù)列的前項和，則下列結論正確的是（ ）
A．B．為偶數(shù)
C．D．
練習26．（2022秋·福建漳州·高三統(tǒng)考期末）（多選）被譽為“閩南第一洞天”的風景文化名勝——漳州云洞巖，有大小洞穴四十余處，歷代書法題刻二百余處.由于巖石眾多，造就了云洞巖石頭上開鑿臺階的特色山路，美其名曰：天梯，其中有一段山路需要全程在石頭上爬，旁邊有鐵索可以拉，十分驚險.某游客爬天梯，一次上1個或2個臺階，設爬上第個臺階的方法數(shù)為，下列結論正確的是（ ）
A．B．C．D．
練習27．（2021秋·重慶·高三校聯(lián)考階段練習）阿司匹林（分子式，分子質(zhì)量180）對血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的發(fā)病風險.對于急性心肌梗死疑似患者，建議第一次服用劑量300，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小時服用200.阿司匹林口服后經(jīng)胃腸道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解為主要代謝產(chǎn)物水楊酸（分子式，分子質(zhì)量138），降解過程生成的水楊酸的質(zhì)量為阿司匹林質(zhì)量的，水楊酸的清除半衰期（一般用物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時間來描述衰減情況，這個時間被稱作半衰期）約為12小時.（考慮所有阿司匹林都降解為水楊酸）
(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服藥48小時后第3次服藥前血液中水楊酸的含量（單位）；
(2)證明：急性心肌梗死疑似患者服藥期間血液中水楊酸的含量不會超過230.
練習28．（2023春·山西太原·高三山西大附中?？茧A段練習）某地出現(xiàn)了蟲害，農(nóng)業(yè)科學家引入了“蟲害指數(shù)”數(shù)列{I}，{I}表示第n周的蟲害的嚴重程度，蟲害指數(shù)越大，嚴重程度越高．為了治理害蟲，需要環(huán)境整治、殺滅害蟲，然而由于人力資源有限，每周只能采取以下兩個策略之一：
策略A：環(huán)境整治，“蟲害指數(shù)”數(shù)列滿足：I+1＝1.02I﹣0.2．
策略B：殺滅害蟲，“蟲害指數(shù)”數(shù)列滿足：I+1＝1.08I﹣0.46．
當某周“蟲害指數(shù)”小于1時，危機就在這周解除．
(1)設第一周的蟲害指數(shù)Ⅰ1∈[0，8]，用哪一個策略將使第二周的蟲害的嚴重程度更??？
(2)設第一周的蟲害指數(shù)Ⅰ1＝3，如果每周都采用最優(yōu)策略，蟲害的危機最快將在第幾周解除？
練習29．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預計以后每年存欄數(shù)的增長率為，且每年年底賣出100頭牛，設牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為為的前項和，則___________.（結果保留成整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：）
練習30．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，有標號為1，2，3的三根柱子，在1號柱子上套有n個金屬圓片，從下到上圓片依次減?。聪铝幸?guī)則，把金屬圓片從1號柱子全部移到3號柱子，要求：①每次只能移動一個金屬圓片；②較大的金屬圓片不能在較小的金屬圓片上面．
若，則至少需要移動______次；
將n個金屬圓片從1號柱子全部移到3號柱子，至少需要移動______次．

題型一
分段遞推數(shù)列求通項公式
題型二
公共項數(shù)列
題型三
插項數(shù)列
題型四
數(shù)列中的新定義問題
題型五
數(shù)列的結構不良
題型六
遞推數(shù)列的實際應用

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