題型一基本量的計算
例1．（2023春·湖南·高三校聯考階段練習）在等比數列中，，則“”是“數列的公比為”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
例2．（2023春·高三課時練習）在等比數列中，公比為q，前n項和為.
(1) ，，求n；
(2)，求及.
練習1．（2023春·高二課時練習）在等比數列中．
(1)若，，，求和；
(2)已知，，求.
練習2．（2023·江西撫州·統(tǒng)考模擬預測）已知正項等比數列{}的前n項和為，若，則=（ ）
A．64B．81C．128D．192
練習3．（2023春·新疆伊犁·高三奎屯市第一高級中學校考期中）已知等比數列滿足，，若的前n項和，則（ ）
A．5B．6C．7D．8
練習4．（2023·全國·高三專題練習）數列中，，若其前k項和為86，則________．
練習5．（2023·甘肅金昌·統(tǒng)考模擬預測）在等比數列中，是數列的前項和．若，則（ ）
A．5B．6C．7D．8
題型二等比中項及等比數列項的性質
例3．（2023春·高二課時練習）已知等比數列的前項和為，且，，求.
例4．（2023春·高三課時練習）已知數列為等比數列.
(1)若，且，求的值；
(2)若數列的前三項和為168，，求，的等比中項.
練習6．（2023·全國·高三專題練習）（多選）已知數列為等比數列，則（ ）
A．數列，，成等比數列
B．數列，，成等比數列
C．數列，，成等比數列
D．數列，，成等比數列
練習7．（2023·全國·高三專題練習）已知數列、滿足.其中是等差數列，若，則_____________.
練習8．（2022·高三課時練習）已知等比數列的首項為2，前項滿足，，則正整數m＝______.
練習9．（2022·全國·高三專題練習）在各項均為正數的等比數列中，公比，若，，，數列的前項和為，則數列前n項和為______.
練習10．（2023·全國·高三專題練習）已知一個等比數列的前項和?前項和?前項和分別為??，則下列等式正確的是（ ）
A．B．
C．D．
題型三等比數列的判定與證明
例5．（2023·山東濰坊·三模）已知數列和滿足．
(1)證明：和都是等比數列；
(2)求的前項和．
例6．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，．證明：數列是等比數列；
練習11．（2023春·湖北·高三武漢市第四十九中學校聯考期中）記為數列的前項和，給出以下條件，其中一定可以推出數列為等比數列的條件是（ ）．
A．B．C．D．是等比數列
練習12．（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和為，，．證明：數列為等比數列；
練習13．（2023·湖北·校聯考模擬預測）已知數列滿足：.
(1)證明：數列是等比數列；
(2)設，求數列的前項和.
練習14．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，且，若．
(1)證明：為等比數列．
(2)求的通項公式．
練習15．（河南省部分重點中學2022-2023學年高三下學期5月質量檢測數學試題）（多選）數列中，．則下列結論中正確的是（ ）
A．是等比數列B．
C．D．
題型四等比數列前項和的性質
例7．（2023·全國·高三專題練習）已知等比數列的公比，且，則___________.
例8．（2023春·高二課時練習）在等比數列中，若，則 ________.
練習16．（2022春·遼寧·高三遼陽縣第一高級中學校聯考階段練習）（多選）已知等比數列的前n項和為，則下列說法正確的是（ ）
A．數列為等比數列
B．數列，，，…為等比數列
C．數列，，，，…為等比數列
D．數列，，，…為等比數列
練習17．（2023春·安徽宿州·高三江西省泰和中學校聯考期中）（多選）已知等比數列中，滿足，，則（ ）
A．數列是等比數列B．數列是遞增數列
C．數列是等差數列D．數列中，，，仍成等比數列
練習18．（2022·全國·高三專題練習）已知數列的通項公式，求由其奇數項所組成的數列的前項和．
練習19．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）（多選）已知實數數列的前n項和為，下列說法正確的是（ ）．
A．若數列為等差數列，則恒成立
B．若數列為等差數列，則，，，…為等差數列
C．若數列為等比數列，且，，則
D．若數列為等比數列，則，，，…為等比數列
練習20．（2023春·山東德州·高二統(tǒng)考期中）已知為等比數列的前n項和，，，則的值為（ ）
A．85B．64C．84D．21
題型五等比數列中的單調，最值問題
例9．（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預測）在等比數列中，若，，則當取得最大值時， _______________．
例10．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）等比數列公比為，若，則“數列為遞增數列”是“且”的（ ）
A．充要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分又不必要條件
練習21．（2023·全國·高三專題練習）已知數列是等差數列，是等比數列的前n項和，，，．
(1)求數列，的通項公式；
(2)求的最大值和最小值．
練習22．（2023·全國·高三專題練習）設公比為的等比數列的前項和為，前項積為，且，，，則下列結論正確的是（ ）
A．B．
C．是數列中的最大值D．數列無最大值
練習23．（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預測）已知正項等比數列滿足，則取最大值時的值為（ ）
A．8B．9C．10D．11
練習24．（2023·上海閔行·上海市七寶中學?？级＃┮阎獢盗袨榈缺葦盗校醉?，公比，則下列敘述不正確的是（ ）
A．數列的最大項為B．數列的最小項為
C．數列為嚴格遞增數列D．數列為嚴格遞增數列
練習25．（2023·江蘇揚州·揚州中學?？寄M預測）（多選）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，并且滿足條件，則下列結論正確的是（ ）
A．B．
C．的最大值為D．的最大值為
題型六等比數列的簡單應用
例11．（2023·陜西安康·陜西省安康中學?？寄M預測）中國古代著作《張丘建算經》有這樣一個問題：“今有馬行轉遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，則該馬第五天走的里程數約為（ ）
A．B．C．D．
例12．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預測）小明的父母在他入讀初中一年級起的9月1日向銀行教育儲蓄賬戶存入1000元，并且每年在9月1日當天都存入一筆錢，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，連續(xù)存6年，每年到期利息連同本金自動轉存，在小明高中畢業(yè)的當年9月1日當天一次性取出，假設教育儲蓄存款的年利率為p，不考慮利率的變化．在小明高中畢業(yè)的當年9月1日當天，一次性取出的金額總數（單位：千元）為（ ）．
A．B．
C．D．
練習26．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學?？既＃┲袊糯鷶祵W著作《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，如此六日過其關.” 則此人在第六天行走的路程是__________里（用數字作答）.
練習27．（2023·貴州遵義·?？寄M預測）公元前1650年的埃及萊因德紙草書上載有如下問題：“十人分十斗玉米，從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗？”在上述問題中，前五人得到的玉米總量為（ ）
A．斗B．斗
C．斗D．斗
練習28．（2023春·安徽·高三合肥市第八中學校聯考期中）某公司為慶祝公司成立9周年，特意制作了兩個熱氣球，在氣球上寫著“9年耕耘，碩果累累”8個大字，已知熱氣球在第一分鐘內能上升30m，以后每分鐘上升的高度都是前一分鐘的，則該氣球上升到70m高度至少要經過（ ）
A．3分鐘B．4分鐘C．5分鐘D．6分鐘
練習29．（2023·四川·校聯考模擬預測）“勾股樹”，也被稱為畢達哥拉斯樹，是根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重復的樹形圖形．如圖所示，以正方形的一邊為直角三角形的斜邊向外作一個等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的兩直角邊為正方形的邊長向外作兩個正方形，如此繼續(xù)，若共得到127個正方形，且，則這127個正方形的周長之和為（ ）
A．B．
C．D．
練習30．（2023春·湖北孝感·高三校聯考階段練習）為響應國家號召，某地出臺了相關的優(yōu)惠政策鼓勵“個體經濟”.個體戶小王2022年6月初向銀行借了1年期的免息貸款8000元，用于進貨，因質優(yōu)價廉，供不應求.據測算：他每月月底獲得的利潤是該月初投入資金的20%，并且每月月底需扣除生活費800元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續(xù)，預計到2023年5月底他的年所得收入（扣除當月生活費且還完貸款）為（ ）元（參考數據：，）
A．35200B．43200C．30000D．32000
題型七等差、等比數列的綜合應用
例13．（2023秋·貴州銅仁·高三統(tǒng)考期末）在正項等比數列中，若是與的等差中項，則數列的公比______.
例14．（2023·北京·北京八十中校考模擬預測）已知是首項為正數，公比不為的等比數列，是等差數列，且，那么（ ）
A．B．C．D．的大小關系不能確定
練習31．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學?？寄M預測）若分別從下表的第一、二、三列中各取一個數，依次作為等比數列{}的，，；分別從下表的第一、二、三行中各取一個數，依次作為等差數列的，，．
(1)請寫出數列{}，{}的一個通項公式；
(2)若數列{}單調遞增，設，數列{}的前n項和為．求證：．
練習32．（2023·湖北咸寧·校考模擬預測）設為公差不為0的等差數列的前項和，若成等比數列，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
練習33．（2023·河南·校聯考模擬預測）定義矩陣運算：．已知數列，滿足，且．
(1)證明：，分別為等差數列，等比數列．
(2)求數列的前n項和．
練習34．（2023春·北京東城·高三北京市第十一中學?？茧A段練習）是各項均為正數的等差數列，其公差，是等比數列，若，，和分別是和的前項和，則（ ）
A．B．
C．D．和的大小關系不確定
練習35．（2023·河南·河南省實驗中學?？寄M預測）已知等比數列的公比，前項和為．若，且是與的等差中項.
(1)求；
(2)設數列滿足，，數列的前項和為.求．
題型一
基本量的計算
題型二
等比中項及等比數列項的性質
題型三
等比數列的判定與證明
題型四
等比數列前項和的性質
題型五
等比數列中的單調，最值問題
題型六
等比數列的簡單應用
題型七
等差、等比數列的綜合應用
第一列
第二列
第三列
第一行
1
4
7
第二行
3
6
9
第三行
2
5
8

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