1.一元二次方程的概念
只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一個關(guān)于x 的一元二次方程都可以化為 的形式,我們把(a,b,c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式。
對于形如ax2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥)的方程可以用直接開平方法解
用配方法解一元二次方程的步驟:
1.化1:把二次項系數(shù)化為1(方程兩邊都除以二次項系數(shù));2.移項:把常數(shù)項移到方程的右邊;3.配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù)絕對值一半的平方;4.變形:方程左分解因式,右邊合并同類;5.開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:寫出原方程的解.
我們通過配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,這種解一元二次方程的方法稱為配方法
一般地,對于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
上面這個式子稱為一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法.
老師提示:用公式法解一元二次方程的前提是:1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 嗎?
1.化1:把二次項系數(shù)化為1;
3.配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù)絕對值一半的平方;
4.變形:方程左分解因式,右邊合并同類;
5.開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方;
6.求解:解一元一次方程;
7.定解:寫出原方程的解.
2.移項:把常數(shù)項移到方程的右邊;
當一元二次方程的一邊是0,而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時,我們就可以用分解因式的方法求解.這種用分解因式解一元二次方程的方法你為分解因式法.
老師提示:1.用分解因式法的條件是:方程左邊易于分解,而右邊等于零;2. 關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的知識;3.理論依舊是“如果兩個因式的積等于零,那么至少有一個因式等于零.”
ax2+c=0 ====>
ax2+bx=0 ====>
ax2+bx+c=0 ====>
2、公式法雖然是萬能的，對任何一元二次方程都適用，但不一定 是最簡單的，因此在解方程時我們首先考慮能否應(yīng)用“直接開平方法”、“因式分解法”等簡單方法，若不行，再考慮公式法（適當也可考慮配方法）
3、方程中有括號時，應(yīng)先用整體思想考慮有沒有簡單方法，若看不出合適的方法時，則把它去括號并整理為一般形式再選取合理的方法。
我們知道:代數(shù)式b2-4ac對于方程的根起著關(guān)鍵的作用.
若方程有兩個 不相等的實數(shù)根,則b2-4ac＞0
若方程有兩個 相等的實數(shù)根,則b2-4ac=0
若方程沒有實數(shù)根,則b2-4ac＜0
若方程有兩個 實數(shù)根,則b2-4ac≥0
1.不解方程.判別方程根的情況,2.根據(jù)方程根的情況,確定方程中待定常數(shù)的值或取值范圍,3.進行有關(guān)的證明,
一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
設(shè)x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根,則有
x1+x2= , x1x2= .
列方程解應(yīng)用題的一般步驟是:1.審:審清題意:已知什么,求什么?已,未知之間有什么關(guān)系?2.設(shè):設(shè)未知數(shù),語句要完整,有單位(同一)的要注明單位;3.列:列代數(shù)式,列方程;4.解:解所列的方程;5.驗:是否是所列方程的根;是否符合題意;6.答:答案也必需是完事的語句,注明單位且要貼近生活.列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是:找出相等關(guān)系.
例1.一個兩位數(shù),它的十位數(shù)字比個位數(shù)字小3,而它的個位數(shù)字的平方恰好等于這個兩位數(shù).求這個兩位數(shù).
例2.有一個兩位數(shù),它的十位數(shù)字與個位數(shù)字的和是5.把這個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字互換后得到另一個兩位數(shù),兩個兩位數(shù)的積為763.求原來的兩位數(shù).
例1 .一塊長方形草地的長和寬分別為20cm和15cm,在它的四周外圍環(huán)繞著寬度相等的小路.已知小路的面積為246cm2,求小路的寬度.
例2. 如圖,在一塊長92m,寬60m的矩形耕地上挖三條水渠,水渠的寬度都相等.水渠把耕地分成面積均為885m2的6個矩形小塊,水渠應(yīng)挖多寬.
例3. 將一條長為56cm的鐵絲剪成兩段,并把每一段圍成一個正方形.(1).要使這兩個正方形的面積之和等于100cm2,該怎樣剪?(2).要使這兩個正方形的面積之和等于196cm2,該怎樣剪?(3).這兩個正方形的面積之和可能等于200m2嗎?
例1.一次會議上,每兩個參加會議的人都互相握了一次手,有人統(tǒng)計一共握了66次手.這次會議到會的人數(shù)是多少?
例2.小明將勤工助學掙得的500元錢按一年定期存入銀行,到期后取出50元用來購買學習用品 剩下的450元連同應(yīng)得的稅后利息又全部按一年定期存入銀行如果存款的年利率保持不變,且到期后可得稅后本息約461元,那么這種存款的年利率大約是多少? (精確到0.01%) .
例.某果園有100棵桃樹,一棵桃樹平均結(jié)1000個桃子,現(xiàn)準備多種一些桃樹以提高產(chǎn)量.試驗發(fā)現(xiàn),每多種一棵桃樹,每棵棵桃樹的產(chǎn)量就會減少2個.如果要使產(chǎn)量增加15.2%,那么應(yīng)種多少棵桃樹?
例.某商場銷售一批名牌襯衫,現(xiàn)在平均每天能售出20件,每件盈利40元.為了盡快減少庫存,商場決定采取降價措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):如果這種襯衫的售價每降低1元時,平均每天能多售出2件.商場要想平均每天盈利1200元,每件襯衫應(yīng)降價多少元?
例. 某商店從廠家以每件21元的價格購進一批商品,若每件商品售價為x元,則每天可賣出(350-10x)件,但物價局限定每件商品加價不能超過進價的20%.商店要想每天賺400元,需要賣出多少年來件商品?每件商品的售價應(yīng)為多少元?
列方程解應(yīng)用題的一般步驟是:1.審:審清題意:已知什么,求什么?已,未知之間有什么關(guān)系?2.設(shè):設(shè)未知數(shù),語句要完整,有單位(同一)的要注明單位;3.列:列代數(shù)式,列方程;4.解:解所列的方程;5.驗:是否是所列方程的根;是否符合題意;6.答:答案也必需是完事的語句,注明單位且要貼近生活.列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是:找出相等關(guān)系.關(guān)于兩次平均增長(降低)率問題的一般關(guān)系: a(1±x)2=A(其中a表示基數(shù),x表表示增長(或降低)率,A表示新數(shù))

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17.2 一元二次方程的解法

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