一．橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：
注明：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.
二．橢圓的方程、圖形與性質(zhì)
橢圓的方程、圖形與性質(zhì)
三、雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對值等于常數(shù)（大于零且小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）.用集合表示為
.
注（1）若定義式中去掉絕對值，則曲線僅為雙曲線中的一支.
（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以和為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線.
（3）時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.
在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：
= 1 \* GB3 ①條件“”是否成立； = 2 \* GB3 ②要先定型（焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上），再定量（確定，的值），注意的應(yīng)用.
四、雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)
雙曲線的方程、圖形及性質(zhì).
五、拋物線的定義
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.
注 若在定義中有，則動點(diǎn)的軌跡為的垂線，垂足為點(diǎn).
六、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，其中一次項(xiàng)與對稱軸一致，一次項(xiàng)系數(shù)的符號決定開口方向（如表10-3所示）
表10-3
三、拋物線中常用的結(jié)論
1. 點(diǎn)與拋物線的關(guān)系
（1）在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)）.
（2）在拋物線上.
（3）在拋物線外.
2. 焦半徑
拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，.
3. 的幾何意義
為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開口越大.
4. 焦點(diǎn)弦
若為拋物線的焦點(diǎn)弦，，，則有以下結(jié)論：
（1）.
（2）.
（3）焦點(diǎn)弦長公式1：，，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)弦取最小值，即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長度為.
焦點(diǎn)弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）.
（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）.
【典型例題】
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為，它的長軸長等于圓C：x2＋y2－2x－15＝0的半徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線C：mx2＋ny2＝1，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上
B．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為
C．若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±x
D．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線
例3．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期末（文））等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于A、B兩點(diǎn)，，則的實(shí)軸長為（ ）
A．B．C．4D．8
（多選題）例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：，右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)，若，則有（ ）
A．漸近線方程為B．
C．D．漸近線方程為
（多選題）例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）以下說法正確的是（ ）
A．橢圓的長軸長為4，短軸長為
B．離心率為的橢圓較離心率為的橢圓來得扁
C．橢圓的焦點(diǎn)在軸上且焦距為2
D．橢圓的離心率為
（多選題）例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．的長軸長為C．的短軸長為D．的離心率為
（多選題）例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：y2－x2＝1的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)P是其一條漸近線上一點(diǎn)，且以線段F1F2為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P，則（ ）
A．雙曲線C的漸近線方程為y＝±x
B．以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1
C．點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為±1
D．△PF1F2的面積為
（多選題）例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線與橢圓有相同的焦距，且一條漸近線方程為，則雙曲線的方程可能為（ ）
A．B．C．D．
例9．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期末（文））過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為5，則___________.
例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上的點(diǎn)P滿足軸，，則該橢圓的離心率為___________．
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知為橢圓上一點(diǎn)，若到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為1，則到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（ ）
A．3B．5C．8D．12
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別是，，橢圓上任意一點(diǎn)到，的距離之和為4，過焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若線段的長為3，則橢圓的方程為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在邊上，則的周長是（ ）
A．B．6C．4D．
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使得，則該橢圓離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上的點(diǎn)．若是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則等于
A．4B．5C．8D．10
6．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若動點(diǎn)始終滿足關(guān)系式，則動點(diǎn)M的軌跡方程為（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)圓的圓心為，點(diǎn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)為圓周上任一點(diǎn)，線段的垂直平分線與的連線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．若的周長為8，則橢圓方程為（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且.則的面積為（ ）
A．6B．C．8D．
10．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知?是橢圓：()的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，且.若的面積為，則（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若以為直徑的圓過點(diǎn)P，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．，D．
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列四個(gè)橢圓中，形狀最扁的是（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則（ ）
A．1B．2C．5D．9
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若直線x－2y＋2＝0經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．＋y2＝1B．＋y2＝1
C．＋y2＝1或D．以上答案都不正確
16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)(－3，2)且與有相同焦點(diǎn)的橢圓方程是（ ）
A．B．
C．D．
18．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知橢圓過點(diǎn)和點(diǎn)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．或
C．D．以上都不對
19．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，橢圓的長軸長是焦距的倍，則該橢圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，且的離心率為，則的方程是（ ）
A．B．
C．D．
21．（2022·上海·高三專題練習(xí)）若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距為，且經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
A．B．C．D．
22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在軸上，是橢圓上一點(diǎn)，且、、成等差數(shù)列，則橢圓方程為
A．B．C．D．
23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）與橢圓共焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．C．D．
24．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））橢圓與關(guān)系為（ ）
A．有相等的長軸長B．有相等的離心率
C．有相同的焦點(diǎn)D．有相等的焦距
25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓 的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)， 為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為 ( )
A．B．C．D．
26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B，若∠F1AB＝90°，則此橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使∠F1PF2=90°，則橢圓的離心率e的取值范圍為 （ ）
A．B．
C．D．
28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，直線與圓相切，則實(shí)數(shù)m的值是（ ）
A．B．
C．D．
29．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知是橢圓的左右焦點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)M滿足：，則該橢圓離心率是（ ）
A．B．C．D．
30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別是，，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率是（ ）
A．B．C．D．
31．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））雙曲線上一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為4，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（ ）
A．20B．16C．12D．8
32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線上的一點(diǎn)，且；則C的離心率為（ ）
A．1B．2C．3D．4
33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為，過的直線交雙曲線右支于，若，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A．B．C．D．
34．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知雙曲線：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線的一條漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的方程為，則下列關(guān)于雙曲線說法正確的是（ ）
A．虛軸長為4B．焦距為
C．離心率為D．漸近線方程為
36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的一條漸近線方程為，它的焦距為2，則雙曲線的方程為（ ）
A．B．C．D．
37．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)且與橢圓有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程為（ ）
A．B．C．D．
38．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是雙曲線：的右焦點(diǎn)，過作與軸垂直的直線與雙曲線交于.兩點(diǎn)，過作一條漸近線的垂線，垂足為，若，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C的離心率，虛軸長為，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．或
C．D．或
40．（2022·全國·高三專題練習(xí)）雙曲線過點(diǎn)，且離心率為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
41．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線的距離為（ ）
A．B．C．2D．4
42．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若拋物線的焦點(diǎn)F與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則n的值為（ ）
A．B．1C．2D．13
43．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知雙曲線：的漸近線方程為，則的焦距等于（ ）
A．B．2C．D．4
44．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線與雙曲線有相同的焦點(diǎn).則的漸近線方程為（ ）
A．B．
C．D．
45．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知雙曲線C與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且焦點(diǎn)到該雙曲線漸近線的距離等于1，則雙曲線C的方程為（ ）
A．B．C．D．
46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若雙曲線的一條漸近線與直線相互垂直，則雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)與虛軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為（ ）
A．B．C．6D．8
47．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若雙曲線的漸近線與圓相切，則該雙曲線的實(shí)軸長為（ ）
A．B．C．D．
48．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線是雙曲線等的一條漸近線，且雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)到漸近線的距離為，則該雙曲線的虛軸長為（ ）
A．4B．8C．D．
49．（2022·上海·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．和B．和
C．和D．和
50．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
51．（2022·全國·高三專題練習(xí)）漸近線方程為的雙曲線的離心率是
A．B．1
C．D．2
52．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若雙曲線C：的一條漸近線與直線平行，則m的值為（ ）
A．4B．C．2D．
53．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率，則該雙曲線的一條漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
54．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））設(shè)，為雙曲線：的兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好將線段三等分，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
55．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））雙曲線C：=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則△PFO的面積為
A．B．C． D．
56．（2022·河北張家口·高三期末）已知是拋物線上一點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，，則（ ）
A．2B．3C．6D．9
57．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期末（文））在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，則的長為（ ）
A．2B．3C．4D．5
58．（2022·全國·高三專題練習(xí)）拋物線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是2，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
59．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，到直線的距離是到的準(zhǔn)線距離的2倍，且，則（ ）
A．4B．6C．8D．10
60．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知A（3，2），點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上移動，為使取得最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A．（0，0）B．（2，2）C．D．
61．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：y2＝2px（p>0）上一點(diǎn)M（6，y）到焦點(diǎn)F的距離為8，則p＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
62．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為是C上一點(diǎn)，，則（ ）
A．1B．2C．4D．8
63．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若拋物線（）上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2，則（ ）
A．B．C．D．
64．（2022·全國·高三專題練習(xí)）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)為直線3x－4y－12＝0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．x2＝－12y或y2＝16xB．x2＝12y或y2＝－16x
C．x2＝9y或y2＝12xD．x2＝－9y或y2＝－12x
65．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知拋物線，過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（ ）
A．B．C．D．
66．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若直線的傾斜角為，則的值為（ ）
A．B．C．D．
67．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F是拋物線C1：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，曲線C2是以F為圓心，為半徑的圓，直線4x－3y－2p＝0與曲線C1，C2從上到下依次相交于點(diǎn)A，B，C，D，則 ＝（ ）
A．16B．4
C．D．
68．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知雙曲線被斜率為1的直線截得的弦的中點(diǎn)為（4，2），則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．
C．D．2
69．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l被雙曲線C：﹣y2=1所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，則直線l的方程（ ）
A．x+4y﹣9=0B．x﹣4y+7=0
C．x﹣8y+15=0D．x+8y﹣17=0
二、多選題
70．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓C上異于長軸端點(diǎn)的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的周長為10
B．面積的最大值為
C．當(dāng)時(shí)，的面積為
D．存在點(diǎn)P使得
71．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線C的方程為（且），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，曲線C是焦距為4的雙曲線
B．當(dāng)時(shí)，曲線C是離心率為的橢圓
C．曲線C可能是一個(gè)圓
D．當(dāng)時(shí)，曲線C是漸近線方程為的雙曲線
72．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)，曲線為橢圓
B．當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線，其漸近線方程為
C．“或”是“曲線為雙曲線”的充要條件
D．不存在實(shí)數(shù)使得曲線為離心率為的雙曲線
73．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn))在拋物線上，若，則（ ）
A．B．
C．D．的坐標(biāo)為
74．（2022·全國·高三專題練習(xí)）[多選題]已知拋物線的焦點(diǎn)為，，是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．點(diǎn)的坐標(biāo)為
B．若直線過點(diǎn)，則
C．若，則的最小值為
D．若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為
75．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)為，延長與拋物線相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．
C．的面積為D．
三、填空題
76．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，的周長是，則的頂點(diǎn)的軌跡方程為___.
77．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為________．
78．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，若橢圓上的點(diǎn)滿足，則________
79．（2022·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且的內(nèi)切圓半徑為1，當(dāng)P在第一象限內(nèi)時(shí)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為________．
80．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)(，－)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______．
81．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．
82．（2022·全國·高三專題練習(xí)）與橢圓有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
83．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)，則橢圓方程為_____．
84．（2022·全國·高三專題練習(xí)）與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)M（2,-2）的雙曲線方程為________.
85．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的準(zhǔn)線為，若M為上的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為，則的最小值為___________.
86．（2022·全國·高三專題練習(xí)）О為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C ∶y2= 4x的焦點(diǎn)，P為C上的一點(diǎn)，若，則三角形POF的面積為 _________.
87．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線過拋物線的焦點(diǎn)，與交于倆點(diǎn)，則________．
焦點(diǎn)的位置
焦點(diǎn)在軸上
焦點(diǎn)在軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
統(tǒng)一方程
參數(shù)方程
第一定義
到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2，即（）
范圍
且
且
頂點(diǎn)
、
、
、
、
軸長
長軸長 短軸長
長軸長 短軸長
對稱性
關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱
焦點(diǎn)
、
、
焦距
離心率

點(diǎn)和橢圓
的關(guān)系
通徑
過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點(diǎn)的弦）
弦長公式
設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，,,
則弦長
（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
y
x
B1
B2
F2
A2
A1
F1
B1
F1
x
y
A1
F2
B2
A2
焦點(diǎn)坐標(biāo)
，
，
對稱性
關(guān)于，軸成軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱
頂點(diǎn)坐標(biāo)
，
，
范圍
實(shí)軸、
虛軸
實(shí)軸長為，虛軸長為
離心率
漸近線方程
令，
焦點(diǎn)到漸近線的距離為
令，
焦點(diǎn)到漸近線的距離為
點(diǎn)和雙曲線
的位置關(guān)系
共漸近線的雙曲線方程
弦長公式
設(shè)直線與雙曲線兩交點(diǎn)為，，.
則弦長，
，其中“”是消“”后關(guān)于“”的一元二次方程的“”系數(shù).
通徑
通徑（過焦點(diǎn)且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長為
標(biāo)準(zhǔn)方程
y
x
O
F
l
y
x
O
F
l
F
y
x
O
l
圖形
y
x
O
F
l
對稱軸
軸
軸
頂點(diǎn)
原點(diǎn)
焦點(diǎn)坐標(biāo)
準(zhǔn)線方程
第35講 圓錐曲線基礎(chǔ)過關(guān)小題
【知識點(diǎn)總結(jié)】
一．橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距，記作，定義用集合語言表示為：
注明：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段；
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.
二．橢圓的方程、圖形與性質(zhì)
橢圓的方程、圖形與性質(zhì)
三、雙曲線的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對值等于常數(shù)（大于零且小于）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線（這兩個(gè)定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)）.用集合表示為
.
注（1）若定義式中去掉絕對值，則曲線僅為雙曲線中的一支.
（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以和為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線.
（3）時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.
在應(yīng)用定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解題時(shí)注意以下兩點(diǎn)：
= 1 \* GB3 ①條件“”是否成立； = 2 \* GB3 ②要先定型（焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上），再定量（確定，的值），注意的應(yīng)用.
四、雙曲線的方程、圖形及性質(zhì)
雙曲線的方程、圖形及性質(zhì).
五、拋物線的定義
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.
注 若在定義中有，則動點(diǎn)的軌跡為的垂線，垂足為點(diǎn).
六、拋物線的方程、圖形及性質(zhì)
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有4種形式：，其中一次項(xiàng)與對稱軸一致，一次項(xiàng)系數(shù)的符號決定開口方向（如表10-3所示）
表10-3
三、拋物線中常用的結(jié)論
1. 點(diǎn)與拋物線的關(guān)系
（1）在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)）.
（2）在拋物線上.
（3）在拋物線外.
2. 焦半徑
拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，.
3. 的幾何意義
為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即焦準(zhǔn)距，越大，拋物線開口越大.
4. 焦點(diǎn)弦
若為拋物線的焦點(diǎn)弦，，，則有以下結(jié)論：
（1）.
（2）.
（3）焦點(diǎn)弦長公式1：，，當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)弦取最小值，即所有焦點(diǎn)弦中通徑最短，其長度為.
焦點(diǎn)弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）.
（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）.
【典型例題】
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為，它的長軸長等于圓C：x2＋y2－2x－15＝0的半徑，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【詳解】
圓C：(x－1)2＋y2＝16，∴ 2a＝4，即a＝2．由，
而，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：，
故選：B
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線C：mx2＋ny2＝1，下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點(diǎn)在y軸上
B．若m＝n＞0，則C是圓，其半徑為
C．若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為y＝±x
D．若m＝0，n＞0，則C是兩條直線
【答案】B
【詳解】
對于A，當(dāng)m＞n＞0時(shí)，有，
方程化為，表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，故A正確；
對于B，由m＝n＞0，方程變形為，
該方程表示半徑為的圓，故B錯(cuò)誤；
對于C，由mn＜0知曲線表示雙曲線，其漸近線方程為，故C正確；
對于D，當(dāng)m＝0，n＞0時(shí)，方程變?yōu)閚y2＝1表示兩條直線，故D正確．
故選：B.
例3．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期末（文））等軸雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，與拋物線的準(zhǔn)線交于A、B兩點(diǎn)，，則的實(shí)軸長為（ ）
A．B．C．4D．8
【答案】B
【詳解】
解：設(shè)等軸雙曲線的方程為．，①
拋物線，，，．
拋物線的準(zhǔn)線方程為．
設(shè)等軸雙曲線與拋物線的準(zhǔn)線的兩個(gè)交點(diǎn)，，，
則，．
將，代入①，得，
等軸雙曲線的方程為，即
，的實(shí)軸長為．
故選：．
（多選題）例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C：，右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)，若，則有（ ）
A．漸近線方程為B．
C．D．漸近線方程為
【答案】AC
【詳解】
雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)為A（a，0），
以A為圓心，b為半徑做圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn)．
若∠MAN＝60°，可得A到漸近線bx+ay＝0的距離為：bcs30°，
可得：，即，故e．
且，故漸近線方程為漸近線方程為
故選：AC．
（多選題）例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）以下說法正確的是（ ）
A．橢圓的長軸長為4，短軸長為
B．離心率為的橢圓較離心率為的橢圓來得扁
C．橢圓的焦點(diǎn)在軸上且焦距為2
D．橢圓的離心率為
【答案】ABD
【詳解】
對于A：橢圓中，，
故長軸長為4，短軸長為，故A正確；
對于B：因?yàn)闄E圓的離心率越大，該橢圓越扁，
所以離心率為的橢圓較離心率為的橢圓來得扁，故B正確；
對于C：橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故C錯(cuò)誤；
對于D：橢圓中，，
故離心率為；
故選：ABD
（多選題）例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．的長軸長為C．的短軸長為D．的離心率為
【答案】AD
【詳解】
由已知可得，解得或(舍去)，
橢圓的方程為
∴， ，即，，
長軸長為，短軸長，離心率.
故選：AD.
（多選題）例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：y2－x2＝1的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)P是其一條漸近線上一點(diǎn)，且以線段F1F2為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P，則（ ）
A．雙曲線C的漸近線方程為y＝±x
B．以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1
C．點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為±1
D．△PF1F2的面積為
【答案】ACD
【詳解】
等軸雙曲線C：y2－x2＝1的漸近線方程為y＝±x，故A正確；
由雙曲線的方程可知F1F2＝，
所以以F1F2為直徑的圓,圓心為，半徑為，則圓的方程為x2＋y2＝2，故B錯(cuò)誤；
點(diǎn)P(x0，y0)在圓x2＋y2＝2上，
不妨設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)在直線y＝x上，
所以由解得|x0|＝1，
則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為±1，故C正確；
由上述分析可得△PF1F2的面積為，故D正確．
故選：ACD.
（多選題）例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線與橢圓有相同的焦距，且一條漸近線方程為，則雙曲線的方程可能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【詳解】
解：橢圓中，，
焦距，
雙曲線與橢圓有相同的焦距，一條漸近線方程為，
設(shè)雙曲線的方程為，即，
當(dāng)時(shí)，，解得，
雙曲線的方程為；
當(dāng)時(shí)，，解得，
雙曲線的方程為；
綜上，雙曲線的方程可能為或．
故選：AD.
例9．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期末（文））過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為5，則___________.
【答案】7
【詳解】
由拋物線方程可得，
則由拋物線定義可得.
故答案為：7.
例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上的點(diǎn)P滿足軸，，則該橢圓的離心率為___________．
【答案】
【詳解】
設(shè)，則.
由橢圓的定義可知：，所以.
所以
因?yàn)檩S，所以為直角三角形，
由勾股定理得：，
即，即，
所以離心率.
故答案為：
【技能提升訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知為橢圓上一點(diǎn)，若到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為1，則到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（ ）
A．3B．5C．8D．12
【答案】B
【分析】
利用橢圓的定義求解.
【詳解】
橢圓的長軸長為，
由橢圓的定義得：，
又因?yàn)榈揭粋€(gè)焦點(diǎn)的距離為1，即，
所以到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，
故選：B
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別是，，橢圓上任意一點(diǎn)到，的距離之和為4，過焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若線段的長為3，則橢圓的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓定義求出a，設(shè)出點(diǎn)F2坐標(biāo)，由給定弦長求出b即可得解.
【詳解】
依題意，由橢圓定義得，即，
令橢圓：的半焦距為c，則F2(c，0)，直線AB：x=c，
由得，于是得，則，
所以橢圓的方程為.
故選：C
3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，在橢圓上，頂點(diǎn)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在邊上，則的周長是（ ）
A．B．6C．4D．
【答案】D
【分析】
先由橢圓方程求出，再利用橢圓的定義進(jìn)行求解.
【詳解】
由橢圓，得：，
由題意可得的周長為:
.
故選：D.
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使得，則該橢圓離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
結(jié)合橢圓定義求出焦半徑，利用可得離心率的不等關(guān)系，求得其范圍．
【詳解】
所以，又，所以，
，
故選：D．
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上的點(diǎn)．若是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則等于
A．4B．5C．8D．10
【答案】D
【詳解】
試題分析：因?yàn)闄E圓的方程為，所以，由橢圓的的定義知 ，
故選D．
考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、橢圓的定義．
6．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若動點(diǎn)始終滿足關(guān)系式，則動點(diǎn)M的軌跡方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由等式表示的幾何意義，結(jié)合相應(yīng)圓錐曲線定義即可得解.
【詳解】
因動點(diǎn)滿足關(guān)系式，
則該等式表示點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和為8，而，
即動點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長的橢圓，于是短半軸長b有，
所以動點(diǎn)M的軌跡方程為.
故選：B
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)圓的圓心為，點(diǎn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)為圓周上任一點(diǎn)，線段的垂直平分線與的連線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
由垂直平分線的性質(zhì)可知，從而得到，可知軌跡滿足橢圓定義，可得，進(jìn)而求得，從而得到所求軌跡方程.
【詳解】
為垂直平分線上的一點(diǎn)
點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓 ，
的軌跡方程為
故選：
【點(diǎn)睛】
本題考查動點(diǎn)軌跡方程的求解問題，關(guān)鍵是能夠通過垂直平分線的性質(zhì)得到所求動點(diǎn)軌跡滿足橢圓定義.
8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．若的周長為8，則橢圓方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
利用橢圓的定義，可求解a，由橢圓的離心率求得c，即可得到b，得到結(jié)果.
【詳解】
如圖：
由橢圓的定義可知，的周長為4a，
∴4a=8,a=2,又離心率為，
∴c=1，
b2，
所以橢圓方程為,
故選A．
【點(diǎn)睛】
本題考查橢圓的定義及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且.則的面積為（ ）
A．6B．C．8D．
【答案】B
【分析】
利用橢圓的幾何性質(zhì)，得到，，進(jìn)而利用得出，進(jìn)而可求出
【詳解】
解：由橢圓的方程可得，
所以，得
且，，
在中，由余弦定理可得
，
而，所以，，
又因?yàn)椋?，所以?br>所以，
故選：B
10．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知?是橢圓：()的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，且.若的面積為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)的面積以及該三角形為直角三角形可得，，然后結(jié)合，簡單計(jì)算即可.
【詳解】
依題意有，所以
又，，所以，
又，可得，
即，則，
故選：B.
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若以為直徑的圓過點(diǎn)P，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)題意，在中，設(shè)，則，進(jìn)而根據(jù)橢圓定義得，進(jìn)而可得離心率.
【詳解】
在中，
設(shè)，則，
又由橢圓定義可知
則離心率，
故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題考查橢圓離心率的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件，結(jié)合橢圓的定義，在焦點(diǎn)三角形中根據(jù)邊角關(guān)系求解.
12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如果方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．，D．
【答案】D
【分析】
化曲線方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意可得，求解此不等式可得的取值范圍.
【詳解】
由方程，可得，
因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，可得，解得.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D.
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列四個(gè)橢圓中，形狀最扁的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)橢圓的離心率越大，橢圓的形狀越扁，結(jié)合選項(xiàng)中的橢圓的方程，求得的關(guān)系，即可求解.
【詳解】
由，根據(jù)選項(xiàng)中的橢圓的方程，可得的值滿足，
因?yàn)闄E圓的離心率越大，橢圓的形狀越扁，
所以這四個(gè)橢圓中，橢圓的離心率最大，故其形狀最扁．
故選：A.
14．（2022·重慶·模擬預(yù)測）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則（ ）
A．1B．2C．5D．9
【答案】A
【分析】
由焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓方程中參數(shù)關(guān)系有，即可求參數(shù)m.
【詳解】
由題設(shè)知：，可得.
故選：A.
15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若直線x－2y＋2＝0經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．＋y2＝1B．＋y2＝1
C．＋y2＝1或D．以上答案都不正確
【答案】C
【分析】
由直線方程得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，分焦點(diǎn)在x軸上、焦點(diǎn)在y軸上討論可得答案.
【詳解】
由直線方程x－2y＋2＝0 得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(0，1)，(－2，0)，
由題意知當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：C.
16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
設(shè)，可得，，將兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入橢圓方程，兩式相減可求出===，進(jìn)而可求出的值.
【詳解】
設(shè)，則，，
則，
兩式相減得：，
∴===，
又==，∴，
聯(lián)立，得.
∴橢圓方程為.
故選：D．
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)(－3，2)且與有相同焦點(diǎn)的橢圓方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
先得焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)方程為，將點(diǎn)代入解出的值，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)方程為，
將代入方程可得，解得，故方程為，
故選：A.
18．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知橢圓過點(diǎn)和點(diǎn)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．或
C．D．以上都不對
【答案】A
【分析】
設(shè)經(jīng)過兩點(diǎn)和點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，利用待定系數(shù)法能求出橢圓方程．
【詳解】
設(shè)經(jīng)過兩點(diǎn)和點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為
，
代入A、B得， ，解得 ，∴所求橢圓方程為．
故選：A．
19．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，橢圓的長軸長是焦距的倍，則該橢圓的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
由長軸長是焦距的得，再把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入，結(jié)合可解得得橢圓方程．
【詳解】
由題意，解得，所以橢圓方程為．
故選：D．
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：經(jīng)過點(diǎn)，且的離心率為，則的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
由題意將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合離心率公式即可得解.
【詳解】
依題意可得，解得，
故的方程是.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了通過橢圓經(jīng)過的點(diǎn)及離心率確定橢圓方程，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
21．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距為，且經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先由題意得到，求出，再由橢圓的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)橢圓方程為： ，將代入方程，即可求出結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)榻咕酁?，所以，即?br>又橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)橢圓方程為： ，
又橢圓過點(diǎn)，所以，解得，
因此所求橢圓的方程為：.
故選D
【點(diǎn)睛】
本題主要考查由橢圓的焦距與橢圓所過的點(diǎn)求橢圓方程，熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，用待定系數(shù)法求解即可，屬于?？碱}型.
22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一個(gè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，在軸上，是橢圓上一點(diǎn)，且、、成等差數(shù)列，則橢圓方程為
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由于，，成等差數(shù)列，及是橢圓上的一點(diǎn)，可得，即可得到，又是橢圓上一點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可．
【詳解】
解：，，成等差數(shù)列，是橢圓上的一點(diǎn)，
，
．
設(shè)橢圓方程為，則
解得，，．
故橢圓的方程為．
故選：．
【點(diǎn)睛】
本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，考查待定系數(shù)法的運(yùn)用，正確設(shè)出橢圓的方程是關(guān)鍵．
23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）與橢圓共焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)雙曲線的方程，根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上，代入解方程最終求出雙曲線的方程．
【詳解】
橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是．
設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)，
所以，又，
解得，
所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
故選：B.
24．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））橢圓與關(guān)系為（ ）
A．有相等的長軸長B．有相等的離心率
C．有相同的焦點(diǎn)D．有相等的焦距
【答案】D
【分析】
分別求出兩個(gè)橢圓的長軸、短軸和焦距，進(jìn)行比較可得答案
【詳解】
由題意，對于橢圓，焦點(diǎn)在x軸上，a＝5，b＝3，所以c＝＝4，則離心率e＝＝，
對于橢圓，因?yàn)?5－k＞9－k＞0，所以焦點(diǎn)在y軸上，a＝≠5，b＝≠3，所以c＝＝4，則離心率e＝＝≠，
故選項(xiàng)D正確，其他選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：D.
25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓 的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)， 為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為 ( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
作出圖形，設(shè)，可得，，可將和均用表示，即可計(jì)算出該橢圓的離心率.
【詳解】
設(shè)該橢圓的焦距為，如下圖所示：
設(shè)，軸，，
，，
由橢圓定義可得，
因此，該橢圓的離心率為.
故選：B.
26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓的上頂點(diǎn)，直線AF2交橢圓于另一點(diǎn)B，若∠F1AB＝90°，則此橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由∠F1AB＝90°，得△F1AF2為等腰直角三角形，從而得，易得離心率．
【詳解】
若∠F1AB＝90°，則△F1AF2為等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c．
所以，．
故選：C．
27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P，使∠F1PF2=90°，則橢圓的離心率e的取值范圍為 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
如圖，橢圓上存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，化為，即可得出橢圓的離心率的范圍.
【詳解】
若橢圓上存在點(diǎn)P，使得PF1⊥PF2，
則以原點(diǎn)為圓心，F(xiàn)1F2為直徑的圓與橢圓必有交點(diǎn)，如圖，
可得，即c2≥b2，
所以2c2≥a2，即e2≥，
又e0，則，解得，則該雙曲線的實(shí)軸長為.
故選：B.
48．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線是雙曲線等的一條漸近線，且雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)到漸近線的距離為，則該雙曲線的虛軸長為（ ）
A．4B．8C．D．
【答案】A
【分析】
由雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)到漸近線的距離求得，再由漸近線方程的斜率求得答案.
【詳解】
雙曲線的頂點(diǎn)不妨設(shè)為，到漸近線的距離為，
得，又漸近線方程為，得，解得，∴.
故選：A.
49．（2022·上海·高三專題練習(xí)）設(shè)雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則該雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】A
【分析】
由條件求出雙曲線的方程，然后可得答案.
【詳解】
因?yàn)殡p曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為
所以，所以，所以雙曲線的方程為
所以其漸近線方程為和
故選：A
50．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由求出即可
【詳解】
因?yàn)?，所?br>所以其漸近線方程為
故選：A
【點(diǎn)睛】
在橢圓中有，在雙曲線中有.
51．（2022·全國·高三專題練習(xí)）漸近線方程為的雙曲線的離心率是
A．B．1
C．D．2
【答案】C
【分析】
本題根據(jù)雙曲線的漸近線方程可求得，進(jìn)一步可得離心率.容易題，注重了雙曲線基礎(chǔ)知識、基本計(jì)算能力的考查.
【詳解】
根據(jù)漸近線方程為x±y＝0的雙曲線，可得，所以c
則該雙曲線的離心率為 e，
故選C．
【點(diǎn)睛】
理解概念，準(zhǔn)確計(jì)算，是解答此類問題的基本要求.部分考生易出現(xiàn)理解性錯(cuò)誤.
52．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若雙曲線C：的一條漸近線與直線平行，則m的值為（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】B
【分析】
首先判斷，即可表示出雙曲線的漸近線方程，再根據(jù)兩直線平行斜率相等得到方程，即可求出；
【詳解】
解：雙曲線C：，所以，則雙曲線的漸近線為，又雙曲線的一條漸近線與直線平行，所以，所以，
故選：B
53．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的離心率，則該雙曲線的一條漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)題意，可知該雙曲線焦點(diǎn)在軸上，則它的漸近線方程為，再根據(jù)雙曲線離心率，求出的值，從而可求出該雙曲線的一條漸近線方程.
【詳解】
解：根據(jù)題意，雙曲線的離心率，
可知該雙曲線焦點(diǎn)在軸上，則它的漸近線方程為，
而，則，所以，
故其中一條漸近線方程為，
故選：D.
54．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））設(shè)，為雙曲線：的兩個(gè)焦點(diǎn)，若雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好將線段三等分，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好將線段三等分得到求解.
【詳解】
因?yàn)殡p曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好將線段三等分點(diǎn)，
所以，則，
所以，
所以，
所以雙曲線的漸近線的方程為，
故選：A．
55．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））雙曲線C：=1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則△PFO的面積為
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】
本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取公式法，利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和方程思想解題．
【詳解】
由．
，
又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在上，
，故選A．
【點(diǎn)睛】
忽視圓錐曲線方程和兩點(diǎn)間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢，采取列方程組的方式解出三角形的高，便可求三角形面積．
56．（2022·河北張家口·高三期末）已知是拋物線上一點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，，則（ ）
A．2B．3C．6D．9
【答案】C
【分析】
結(jié)合拋物線的定義以及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程列方程，化簡求得的值.
【詳解】
由定義，又，
所以，解得.
故選：C
57．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三期末（文））在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，則的長為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】
根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，可求出參數(shù)m的值，方法一，可根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出的值；方法二，可由拋物線的定義，根據(jù)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等，得出結(jié)論.
【詳解】
拋物線的焦半徑求解
法一：由題意可知，點(diǎn)在拋物線上，
則，解得，即，且，
所以.
故選：D．
法二：由題意可知，拋物線的漸近線為，
點(diǎn)在拋物線上，則，解得，即，
則由拋物線的定義可得，.
故選：D．
58．（2022·全國·高三專題練習(xí)）拋物線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是2，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
設(shè)，由拋物線的定義，列出方程求得，代入拋物線的方程，即可求解.
【詳解】
設(shè)，由拋物線的定義，可得，解得，
代入拋物線的方程，可得，解得，
所以點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)為．
故選：D.
59．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，到直線的距離是到的準(zhǔn)線距離的2倍，且，則（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】A
【分析】
利用拋物線的定義求解.
【詳解】
設(shè)，
由題意得，
解得，
故選：A
60．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知A（3，2），點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上移動，為使取得最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A．（0，0）B．（2，2）C．D．
【答案】B
【分析】
設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為，根據(jù)拋物線的定義可知，即可根據(jù)點(diǎn)到直線的距離最短求出．
【詳解】
如圖所示：
設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為，準(zhǔn)線方程為，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
故選：B．
61．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線C：y2＝2px（p>0）上一點(diǎn)M（6，y）到焦點(diǎn)F的距離為8，則p＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】
解方程即得解.
【詳解】
因?yàn)榈浇裹c(diǎn)F的距離為8，
所以，得.
故選：D
62．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為是C上一點(diǎn)，，則（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】
利用拋物線的定義、焦半徑公式列方程即可得出．
【詳解】
由拋物線可得，
準(zhǔn)線方程，
，是上一點(diǎn)，，．
，
解得．
故選：B．
63．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若拋物線（）上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
用焦半徑公式解方程算出即可獲解.
【詳解】
∵拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，
∴，即，則，
∴，則.
故選：D.
64．（2022·全國·高三專題練習(xí)）頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)為直線3x－4y－12＝0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．x2＝－12y或y2＝16xB．x2＝12y或y2＝－16x
C．x2＝9y或y2＝12xD．x2＝－9y或y2＝－12x
【答案】A
【分析】
由直線求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出拋物線方程.
【詳解】
對于直線方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以拋物線的焦點(diǎn)為(0，－3)或(4，0)．
當(dāng)焦點(diǎn)為(0，－3)時(shí)，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則＝3，所以p＝6，
此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－12y；
當(dāng)焦點(diǎn)為(4，0)時(shí)，設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則＝4，所以p＝8，
此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝16x．
故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－12y或y2＝16x．
故選：A
65．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知拋物線，過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
先求得的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求得，進(jìn)而求得弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，得到答案.
【詳解】
由題意，拋物線，可得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)，，直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，所以弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
則弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.
故選：C.
66．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），若直線的傾斜角為，則的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
求出直線方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，解得A，B坐標(biāo)，即可由拋物線定義求得，得出所求.
【詳解】
由題可得，設(shè)，（），
直線的傾斜角為，直線斜率為，
則直線l的方程為，
聯(lián)立可得，解得，
由拋物線的定義可得，
則.
故選：B.
67．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知F是拋物線C1：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，曲線C2是以F為圓心，為半徑的圓，直線4x－3y－2p＝0與曲線C1，C2從上到下依次相交于點(diǎn)A，B，C，D，則 ＝（ ）
A．16B．4
C．D．
【答案】A
【分析】
根據(jù)拋物線的定義以及圓的知識將轉(zhuǎn)化為，再聯(lián)立直線與拋物線，解得，即可得到答案.
【詳解】
如圖：
因?yàn)橹本€4x－3y－2p＝0過C1的焦點(diǎn)F(C2的圓心)，
故|BF|＝|CF|＝，所以＝，
由拋物線的定義得|AF|－＝ ，|DF|－ ＝，
由，整理得8x2－17px＋2p2＝0，即(8x－p)(x－2p)＝0，
可得，，
故.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓的性質(zhì)，考查了拋物線的定義，考查了直線與拋物線的交點(diǎn)，屬于中檔題.
68．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知雙曲線被斜率為1的直線截得的弦的中點(diǎn)為（4，2），則該雙曲線的離心率為（ ）
A．B．
C．D．2
【答案】B
【分析】
設(shè)弦的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，代入雙曲線方程并作差整理得：，再結(jié)合直線的斜率為1和弦的中點(diǎn)，可得，從而可求出離心率
【詳解】
設(shè)弦的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則
，，
兩式作差整理得：．
∵斜率為1，弦的中點(diǎn)為（4，2），
∴，，，
∴，即，
∴. 故.
故選：B
69．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l被雙曲線C：﹣y2=1所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，則直線l的方程（ ）
A．x+4y﹣9=0B．x﹣4y+7=0
C．x﹣8y+15=0D．x+8y﹣17=0
【答案】C
【分析】
運(yùn)用代入法、點(diǎn)差法求出直線l的斜率，最后利用直線的點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可.
【詳解】
解：設(shè)P，Q的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，
∵線段PQ的中點(diǎn)為(1，2)，∴x1+x2=2，y1+y2=4，
∵，
∴﹣(y1﹣y2)(y1+y2)=0，
整理得，即直線l的斜率為，
故直線l的方程為y﹣2=(x﹣1)，
即x﹣8y+15=0，
故選：C.
二、多選題
70．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，P為橢圓C上異于長軸端點(diǎn)的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的周長為10
B．面積的最大值為
C．當(dāng)時(shí)，的面積為
D．存在點(diǎn)P使得
【答案】AB
【分析】
由橢圓的方程可得，由的周長為可判斷A，當(dāng)點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大，可判斷B，利用余弦定理可橢圓的定義求出，可判斷C，設(shè)，則，由可得，解出方程可判斷D.
【詳解】
由橢圓的方程可得
的周長為，故A正確
當(dāng)點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大，最大值為，故B正確
當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得
所以，所以，可得
所以的面積為，故C錯(cuò)誤
設(shè)，則
由可得，從而可得解得，不成立，故D錯(cuò)誤
故選：AB
71．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線C的方程為（且），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)，曲線C是焦距為4的雙曲線
B．當(dāng)時(shí)，曲線C是離心率為的橢圓
C．曲線C可能是一個(gè)圓
D．當(dāng)時(shí)，曲線C是漸近線方程為的雙曲線
【答案】AD
【分析】
根據(jù)給定方程，逐一利用各個(gè)選項(xiàng)中的條件，再列式計(jì)算并判斷作答.
【詳解】
對于A，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，表示雙曲線，且，即焦距為4，A正確；
對于B，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，表示橢圓，離心率，B錯(cuò)誤；
對于C，令，得，，該方程無解，則曲線C不可能是一個(gè)圓，C錯(cuò)誤；
對于D，當(dāng)時(shí)，曲線C的方程為，表示雙曲線，漸近線方程為，即，D正確.
故選：AD
72．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．當(dāng)，曲線為橢圓
B．當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線，其漸近線方程為
C．“或”是“曲線為雙曲線”的充要條件
D．不存在實(shí)數(shù)使得曲線為離心率為的雙曲線
【答案】BCD
【分析】
根據(jù)橢圓雙曲線方程的特點(diǎn)分別判斷每個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】
對A，若，則曲線方程表示圓，故A錯(cuò)誤；
對B，當(dāng)時(shí)，曲線方程為，表示雙曲線，其漸近線方程為，故B正確；
對C，要使曲線為雙曲線，需滿足，解得或，故“或”是“曲線為雙曲線”的充要條件，故C正確；
對D，若離心率為，則，則可得，則或，兩個(gè)方程均無解，故D正確.
故選：BCD.
73．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn))在拋物線上，若，則（ ）
A．B．
C．D．的坐標(biāo)為
【答案】AC
【分析】
根據(jù)拋物線的定義和幾何性質(zhì)求解即可.
【詳解】
由題可知,由，，
所以，.
故選：AC．
74．（2022·全國·高三專題練習(xí)）[多選題]已知拋物線的焦點(diǎn)為，，是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．點(diǎn)的坐標(biāo)為
B．若直線過點(diǎn)，則
C．若，則的最小值為
D．若，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為
【答案】BCD
【分析】
根據(jù)拋物線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式求出焦點(diǎn)可判斷A；由拋物線的性質(zhì)可判斷B、C；利用拋物線的焦半徑公式可判斷D.
【詳解】
易知點(diǎn)的坐標(biāo)為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
根據(jù)拋物線的性質(zhì)知，過焦點(diǎn)時(shí)，，選項(xiàng)B正確；
若，則過點(diǎn)，則的最小值即拋物線通徑的長，
為，即，選項(xiàng)C正確，
拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
過點(diǎn)，，分別作準(zhǔn)線的垂線，，垂足分別為，，，
所以，．
所以，
所以線段，
所以線段的中點(diǎn)到軸的距離為，選項(xiàng)D正確．
故選：BCD
75．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)為，延長與拋物線相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．
C．的面積為D．
【答案】AD
【分析】
根據(jù)條件求出，再聯(lián)立直線與拋物線求出，進(jìn)而求出結(jié)論．
【詳解】
解：點(diǎn)在拋物線上，
，
，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，對，
因?yàn)椋?br>故，
故直線為：，
聯(lián)立或，
，，
，，
，錯(cuò)，
，對，
的面積為．故錯(cuò)，
故選：．
三、填空題
76．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，的周長是，則的頂點(diǎn)的軌跡方程為___.
【答案】
【分析】
由于點(diǎn)P滿足，知點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，且的橢圓（由于P與M、N不共線，故），再利用待定系數(shù)法求解.
【詳解】
由于點(diǎn)P滿足，
知點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，且的橢圓（由于P與M、N不共線，故），
∴，
又，∴，
故的頂點(diǎn)P的軌跡方程為，
故答案為：.
77．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為________．
【答案】9
【分析】
根據(jù)橢圓的定義可得，結(jié)合基本不等式即可求得的最大值.
【詳解】
∵在橢圓上
∴
∴根據(jù)基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.
故答案為：9.
78．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，若橢圓上的點(diǎn)滿足，則________
【答案】
【分析】
根據(jù)橢圓定義，得到，再由題中條件，即可得出結(jié)果.
【詳解】
由題意，在橢圓中，，
又，所以，因此.
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題主要考查橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，熟記橢圓的定義即可，屬于基礎(chǔ)題型.
79．（2022·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且的內(nèi)切圓半徑為1，當(dāng)P在第一象限內(nèi)時(shí)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為________．
【答案】
【分析】
由橢圓的定義可知，根據(jù)橢圓方程求得焦距，利用內(nèi)切圓的性質(zhì)把三角形分成三個(gè)三角形分別求出面積，再利用面積相等建立等式求得P點(diǎn)縱坐標(biāo)．
【詳解】
解：根據(jù)橢圓的定義可知，
令內(nèi)切圓圓心為O
則
又∵．
所以，．
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查了橢圓的定義以及焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓問題，屬于中檔題.
80．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)(，－)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______．
【答案】
【分析】
由題設(shè)條件設(shè)出橢圓方程，再列出關(guān)于a2與b2的方程組即可作答.
【詳解】
所求橢圓與橢圓的焦點(diǎn)相同，則其焦點(diǎn)在y軸上，半焦距c有c2=25-9=16，
設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，
又點(diǎn)(，－)在所求橢圓上，即，
聯(lián)立兩個(gè)方程得，即，解得b2=4，則a2=20，
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：
81．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．
【答案】
【分析】
根據(jù)焦距和與軸交點(diǎn)得到，由求得，進(jìn)而得到標(biāo)準(zhǔn)方程.
【詳解】
橢圓焦距為
又焦點(diǎn)在軸上，經(jīng)過點(diǎn)
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
故答案為
【點(diǎn)睛】
本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，屬于基礎(chǔ)題.
82．（2022·全國·高三專題練習(xí)）與橢圓有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為________．
【答案】或
【分析】
分焦點(diǎn)在軸上兩種情況，結(jié)合基本量間的關(guān)系計(jì)算求解即可
【詳解】
方法一 ∵，若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)所求橢圓方程為，則，從而，
又，∴m2＝8，n2＝6.
∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的方程為，
則，且，解得
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
故答案為： 或
83．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)，則橢圓方程為_____．
【答案】
【分析】
設(shè)橢圓方程為（,,且）,將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，求出即可.
【詳解】
設(shè)橢圓方程為（,,且）.
橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，則,解得,
所以所求橢圓方程為.
故答案為：
84．（2022·全國·高三專題練習(xí)）與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)M（2,-2）的雙曲線方程為________.
【答案】
【詳解】
設(shè)雙曲線方程為
所以雙曲線方程為
85．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線：的準(zhǔn)線為，若M為上的一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為，則的最小值為___________.
【答案】
【分析】
先求得拋物線的方程，設(shè)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，求得的最小值，由此求得的最小值.
【詳解】
由題意知，，
∴拋物線：.
設(shè)，由題意知，
則，
當(dāng)時(shí)，取得最小值8，
∴的最小值為.
故答案為：.
86．（2022·全國·高三專題練習(xí)）О為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C ∶y2= 4x的焦點(diǎn)，P為C上的一點(diǎn)，若，則三角形POF的面積為 _________.
【答案】
【分析】
由拋物線的焦半徑公式（或定義）求得點(diǎn)坐標(biāo)，然后可計(jì)算三角形面積.
【詳解】
由題意，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由，
設(shè)，則,,所以，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則的面積為．
故答案為：.
87．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線過拋物線的焦點(diǎn)，與交于倆點(diǎn)，則________．
【答案】10
【分析】
先求出，再利用公式可求.
【詳解】
因?yàn)橹本€過拋物線的焦點(diǎn)，故即，
故拋物線，
設(shè)，
由可得，
故，
故答案為：10.
焦點(diǎn)的位置
焦點(diǎn)在軸上
焦點(diǎn)在軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)方程
統(tǒng)一方程
參數(shù)方程
第一定義
到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)2，即（）
范圍
且
且
頂點(diǎn)
、
、
、
、
軸長
長軸長 短軸長
長軸長 短軸長
對稱性
關(guān)于軸、軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱
焦點(diǎn)
、
、
焦距
離心率

點(diǎn)和橢圓
的關(guān)系
通徑
過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通徑：通徑長=（最短的過焦點(diǎn)的弦）
弦長公式
設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為，,,
則弦長
（其中是消后關(guān)于的一元二次方程的的系數(shù)，是判別式）
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
y
x
B1
B2
F2
A2
A1
F1
B1
F1
x
y
A1
F2
B2
A2
焦點(diǎn)坐標(biāo)
，
，
對稱性
關(guān)于，軸成軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱
頂點(diǎn)坐標(biāo)
，
，
范圍
實(shí)軸、
虛軸
實(shí)軸長為，虛軸長為
離心率
漸近線方程
令，
焦點(diǎn)到漸近線的距離為
令，
焦點(diǎn)到漸近線的距離為
點(diǎn)和雙曲線
的位置關(guān)系
共漸近線的雙曲線方程
弦長公式
設(shè)直線與雙曲線兩交點(diǎn)為，，.
則弦長，
，其中“”是消“”后關(guān)于“”的一元二次方程的“”系數(shù).
通徑
通徑（過焦點(diǎn)且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其長為
標(biāo)準(zhǔn)方程
y
x
O
F
l
y
x
O
F
l
F
y
x
O
l
圖形
y
x
O
F
l
對稱軸
軸
軸
頂點(diǎn)
原點(diǎn)
焦點(diǎn)坐標(biāo)
準(zhǔn)線方程

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