第21講 立體幾何小題一．選擇題（共22小題） 1．（2020秋?張家界期末）體積為8的正方體的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】解：因為正方體的體積為8，所以正方體的棱長為2，因為正方體的體對角線即為外接球的直徑，所以正方體外接球的直徑，所以半徑為，則該球的表面積為．故選：．2．（2020秋?南陽期末）在三棱錐中，平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】解：因為三棱錐中，平面，，不妨將三棱錐放入一個長方體中，則長方體的外接球即為三棱錐的外接球，因為長方體的體對角線即為其外接球的直徑，因為，，則長方體的長寬高分別為2，2，，所以三棱錐外接球的半徑，故三棱錐外接球的表面積．故選：．3．（2020秋?池州期末）已知三棱錐中，，平面，，故三棱錐外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】解：依題意，，，，將三棱錐置于長寬高分別為5，4，3的長方體中，可得三棱錐外接球的直徑為，故所求表面積，故選：．4．（2020秋?印臺區(qū)校級期末）已知三棱錐的各頂點都在同一球面上，且平面，，，，若該棱錐的體積為，則此球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】解：由，平面，得就是三棱錐外接球的直徑，如圖所示：易得，所以，，即，則，故三棱錐外接球的半徑為．所以三棱錐外接球的表面積，故選：．5．（2020秋?城中區(qū)校級期末）已知長方體的頂點，，，在球的表面上，頂點，，，，在過球心的一個平面上，若，，，則球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】解：把兩個這樣的長方體疊放在一起，構(gòu)成一個長寬高分別為8，6，8的長方體，則球就是該長方體的外接球，球的半徑為，球的表面積．故選：．6．（2020秋?渭濱區(qū)期末）已知三棱錐，，，，則三棱錐外接球的體積是　　A． B． C． D．【解析】解：將三棱錐放置于長方體中，如圖所示．則長方體的外接球就是三棱錐的外接球，設(shè)過長方體一個頂點的三條棱長分別為，，，，，，長方體的對角線長為，可得外接球的半徑為，因此，三棱錐外接球的體積是．故選：．7．（2020秋?吉安期末）已知三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，，則三棱錐的外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】解：設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，由題意可得：，．三棱錐的外接球的表面積為．故選：．8．（2020秋?撫順期末）在三棱錐中，，，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】解：如圖，設(shè)外接圓的圓心為，連接，，，連接．由題意可得，，且，．因為平面平面，且，所以平面，且．設(shè)為三棱錐外接球的球心，連接，，，過作，垂足為，則外接球的半徑滿足，所以，解得，從而，故三棱錐外接球的表面積為．故選：．9．（2020秋?天津期末）在正方體中，三棱錐的表面積為，則正方體外接球的體積為　　A． B． C． D．【解析】解：設(shè)正方體的棱長為，則，由于三棱錐的表面積為，則，解得，又，即，所以正方體的外接球的體積為．故選：．10．（2020秋?齊齊哈爾期末）已知四棱錐的頂點都在球的表面上，底面是矩形，側(cè)面底面，為等腰直角三角形，，，則球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】解：底面是矩形，側(cè)面底面，為等腰直角三角形，，故，，兩兩互相垂直，且，，四棱錐的頂點都在以，，為長寬高的長方體的外接球的表面上，故球的半徑為：，球的表面積為．故選：．11．（2021?二模擬）在正三棱錐中，側(cè)棱長為，底面邊長為，則三棱錐的外接球的體積為　　A． B． C． D．【解析】解：由題意可知，，則，所以，同理可得，，從而可以構(gòu)造以為其中四個頂點的正方體，棱長為，外接球的半徑為，外接球的直徑就是正方體的體對角線的長，所以，所以外接球的體積為：．故選：．12．（2020秋?南崗區(qū)校級期末）已知四面體的四個面都為直角三角形，平面，，若該四面體的四個頂點都在球的表面上，則球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】解：由題意，四面體有四個面都為直角三角形，四面體放到正方體中，平面，，可得長方體的對角線為．球的半徑．球的表面積．故選：．13．（2020秋?水富市校級期末）直三棱柱的所有頂點都在同一球面上，且，，，則該球的表面積為　　A． B． C． D．【解析】解：直三棱柱的所有頂點都在同一球面上，且，，，可將棱柱補(bǔ)成長方體，長方體的對角線，即為球的直徑，球的半徑為，球的表面積為，故選：．14．（2020秋?陽泉期末）蹴鞠（如圖所示），又名蹴球，蹴圓，筑球，踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴，蹋、踢皮球的活動，類似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，已知某鞠的表面上有四個點，，，，滿足，，，則該鞠的表面積為　　A． B． C． D．【解析】解：因為，，，所以可以把，，，四點放到長方體的四個頂點上，則該長方體的體對角線就是“鞠”的直徑．設(shè)該長方體的長、寬、高分別為，，，“鞠”的半徑為，則．因為，，，所以，所以．故選：．15．（2020?大連二模）下列四個正方體圖形中，，為正方體的兩個頂點，，，分別為其所在棱的中點，能得出平面的圖形的序號是　　A．①③ B．②③ C．①④ D．②④【解析】解：對圖①，構(gòu)造所在的平面，即對角面，可以證明這個對角面與平面，由線面平行的定義可得平面．對圖④，通過證明得到平面；對于②、③無論用定義還是判定定理都無法證明線面平行；故選：．16．（2020春?涼山州期末）如圖所示的四個正方體中，，是正方體的兩個頂點，，，分別為其所在棱的中點，能得出平面的圖形的序號為　　A．①② B．②③ C．③④ D．①②③【解析】解：對①，連接交于點，則，易知平面，即①正確，故排除；對③，由正方體的性質(zhì)可知，平面平面，又在平面內(nèi)，故平面，即③正確，故排除．故選：．17．（2019秋?雁峰區(qū)校級月考）設(shè)，是兩條不同的直線，，是三個不同的平面，給出下列四個命題：（1）若，，那么；（2）若，，，那么；（3）若，，那么；（4）若，，則，其中正確命題的序號是　　A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（2）（4）【解析】解：對于（1）如果，，根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)可知，所以（1）正確；對于（2）如果，，，根據(jù)線面垂直與線面平行性質(zhì)可知與可以垂直，也可以平行，還可以相交，所以（2）錯誤；對于（3）如果，，根據(jù)直線與平面平行的判定可知，所以（3）正確；對于（4）設(shè)平面，，是位于正方體經(jīng)過同一個頂點的三個面，則有且，但是，推不出，故（4）不正確．故選：．18．（2016?渝中區(qū)校級模擬）已知，為兩條直線，，為兩個平面，下列四個命題①，；②，；③，；④，，其中不正確的有　　A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解析】解：對于①、②結(jié)論中還可能，所以①、②不正確．對于③、④結(jié)論中還可能，所以③、④不正確．故選：．19．（2012秋?聊城期末）如圖在正方體中，與平面平行的直線是　　A． B． C． D．【解析】解：，四邊形是平行四邊形平面，平面，平面故選：．20．（2011秋?紅花崗區(qū)校級期末）平面平面，直線，，則　　A． B． C．與異面 D．與相交【解析】解：平面平面，直線，，過直線作平面，，，，，，平面平面，，故選：．21．（2009秋?錦州期末）設(shè)、表示平面，表示不在內(nèi)也不在內(nèi)的直線，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則．其中正確的命題是　　A．①③ B．①② C．②③ D．①②③【解析】解：①，由，可以知道過的平面與相交，設(shè)交線為，則，又，所以，，故，正確；②，由，，則與可以平行、相交垂直，故錯誤；③，，，則與平行或在內(nèi)，而條件是表示不在內(nèi)也不在內(nèi)的直線，故只有，正確．故選：．22．（2019秋?平頂山期末）已知直線平面，直線平面，則下列結(jié)論一定不正確的是　　A．，相交 B．，異面 C． D．【解析】解：由平面的垂線的定義可知，在平面內(nèi)肯定不存在與直線平行的直線．故選：．二．填空題（共6小題）23．（2020秋?葫蘆島期末）正三棱錐側(cè)棱長為，底面棱長為，則三棱錐內(nèi)切球表面積是　　．【解析】解：如圖所示：設(shè)頂點在底面內(nèi)的射影為，連接，，在正三角形中，，則在直角三角形中，，三角形的面積為，取的中點，連接，則，則在直角三角形中，，所以三角形的面積為，設(shè)正三棱錐的內(nèi)切球半徑為，則由等體積法可得：，即，解得，所以內(nèi)切球的表面積為，故答案為：．24．（2020秋?宿州期末）已知直三棱柱，，，，則此直三棱柱外接球的表面積為　　．【解析】解：如圖，在直三棱錐中，，，，即，直三棱柱的底面為等腰直角三角形，把直三棱柱補(bǔ)成正四棱柱，則正四棱柱的體對角線是其外接球的直徑，設(shè)，分別為，的中點，則的中點為球心，球的半徑為，此直三棱柱外接球的表面積為．故答案為：．25．（2020秋?淮南期末）長方體的長、寬、高分別為，，1，且其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為　　．【解析】解：根據(jù)題意，長方體的8個頂點都在同一球面上，則長方體的體對角線就是球的直徑，因為長方體的長、寬、高分別為，，1，所以長方體的體對角線的長為，故球的半徑，所以球的表面積．故答案為：．26．（2020秋?呂梁期末）四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐底面為正方形，且，面，，則該球的體積與四棱錐體積之比為　　．【解析】解：設(shè)此球半徑為，因底面是邊長為2的正方形，且面，若四棱錐的體積為：，可以把四棱錐補(bǔ)成一個以為底、為側(cè)棱的長方體，則這個長方體的外接球就是四棱錐的外接球，球心就是的中點，，，則該球的體積為．該球的體積與四棱錐體積之比為：．故答案為：．27．（2020秋?閻良區(qū)期末）表面積為的球，其內(nèi)接正方體的表面積為　96　．【解析】解：設(shè)球的半徑為，則有，解得，設(shè)正方體的棱長為，則有，解得，所以正方體的表面積為．故答案為：96．28．（2020秋?江寧區(qū)期末）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，且、、兩兩垂直，，，，則該三棱錐的體積為　10　，球的表面積為　　．【解析】解：由，，兩兩垂直，是長方體的一個角，三棱錐的體積為：，三棱錐擴(kuò)展為長方體，長方體外接球直徑為其體對角線長，可得球直徑為：，，故答案為：10；．  

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