【期中復習】人教版2019必修第二冊2023-2024學年高一下冊物理第七章萬有引力與宇宙航行知識清單-學案下載-教習網(wǎng)

二、考點通關(guān)
考點1行星的運動
2．行星運動的近似處理
實際上，行星的軌道與圓十分接近，在中學階段的研究中我們可按圓軌道處理。這樣就可以說：
(1)行星繞太陽運動的軌道十分接近圓，太陽處在圓心。
(2)對某一行星來說，它繞太陽做圓周運動的角速度(或線速度)大小不變，即行星做勻速圓周運動。
(3)所有行星軌道半徑r的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方的比值都相等，即eq \f(r3,T2)＝k。
注：處理行星繞太陽(恒星)的運動問題時，根據(jù)題意判斷行星軌道是需要按橢圓軌道處理，還是按圓軌道處理，當題中說法是軌道半徑時，則可按圓軌道處理。
【典例1】（22-23高一下·安徽滁州·期中）如圖所示，衛(wèi)星A繞地球做勻速圓周運動，軌道半徑為r。衛(wèi)星B的軌跡為橢圓，其遠地點在衛(wèi)星A的軌道上，近地點距地面的高度與地球半徑相比，可忽略不計。已知地球半徑為R，不考慮其他天體對衛(wèi)星A、B的影響，則A、B的周期之比約為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】由開普勒第三定律可得
解得
故選D。
【變式訓練1】（22-23高一下·河南鄭州·期中）如圖所示，海王星繞太陽沿橢圓軌道運動，P為近日點，Q為遠日點，M、N為軌道短軸的兩個端點，運行的周期為，若只考慮海王星和太陽之間的相互作用，則海王星在從P經(jīng)過M、Q到N的運動過程中（）
A．海王星運行軌道半長軸的三次方與其運行周期的平方之比等于月球運行軌道半長軸的三次方與其運行周期的平方之比
B．衛(wèi)星在Q點的角速度大于P點的角速度
C．從P到M所用時間小于
D．從P到Q階段，速率逐漸變小
【答案】CD
【詳解】A．海王星繞太陽運動，月球繞地球運動，中心天體質(zhì)量不同，海王星和月球運行軌道半長軸的三次方與其運行周期的平方之比不相等，故A錯誤；
B．P為近日點，Q為遠日點，衛(wèi)星在Q點的線速度小于P點的線速度，根據(jù)，衛(wèi)星在Q點的角速度小于P點的角速度，故B錯誤；
C．P為近日點，近日點線速度大，遠日點線速度小，所以從P到M所用時間小于，故C正確；
D．從P到Q階段，從近日點運動至遠日點，速率逐漸變小，故D正確。
故選CD。
考點2萬有引力定律
1．萬有引力定律
F＝Geq \f(m1m2,r2)，式中G為引力常量，在數(shù)值上等于兩個質(zhì)量都是1 kg的質(zhì)點相距1 m時的相互吸引力。引力常量由英國物理學家卡文迪什在實驗室中比較準確地測出。
測定G值的意義：①引力常量的普適性成了萬有引力定律正確性的有力證據(jù)；②使萬有引力定律有了真正的實用價值。
2．萬有引力的特點
3．應用公式F＝Geq \f(m1m2,r2)的注意事項
(1)求兩個質(zhì)點間的萬有引力，或者當兩物體間距離遠大于物體本身大小時，物體可看成質(zhì)點，此時公式中的r表示兩質(zhì)點間的距離。
(2)求兩個質(zhì)量分布均勻的球體間的萬有引力時，公式中的r為兩個球心間的距離。
(3)求一個質(zhì)量分布均勻的球體與球外一個質(zhì)點間的萬有引力時，r指質(zhì)點到球心的距離。
(4)對于兩個不能看成質(zhì)點的物體間的萬有引力，不能直接用萬有引力公式求解，切不可依據(jù)F＝Geq \f(m1m2,r2)得出r→0時F→∞的結(jié)論，違背公式的物理含義。
【典例2】（多選）（21-22高三上·江西九江·期中）對于質(zhì)量為m1和質(zhì)量為m2的兩個物體間的萬有引力的表達式，下列說法正確的是（）
A．若m1 > m2，則m1對m2的引力大于m2對m1的引力
B．兩個物體間的引力總是大小相等，方向相反，是一對相互作用力
C．公式中的G是引力常量，它是由實驗得出的，而不是人為規(guī)定的
D．當兩個物體間的距離r趨于零時，萬有引力趨于無窮大
【答案】BC
【詳解】AB．相互作用的兩個物體，兩者的萬有引力大小與質(zhì)量的乘積與正比，并不是質(zhì)量大的引力大，也不是質(zhì)量小的引力小；m1和m2所受的萬有引力大小總是相等的，方向相反，是一對作用力與反作用力。故A錯誤，B正確；
C．公式中的G是引力常量，它是由卡文迪許通過實驗得出的，而不是人為規(guī)定的，故C正確；
D．當兩物體間的距離趨向于零時，萬有引力定律公式不再適用。故D錯誤。
故選BC。
【變式訓練2】（多選）（22-23高一下·黑龍江佳木斯·期中）某行星的衛(wèi)星A、B繞以其為焦點的橢圓軌道運行，作用于A、B的引力隨時間的變化如圖所示，其中，行星到衛(wèi)星A、B軌道上點的距離分別記為rA、rB。假設A、B只受到行星的引力，下列敘述正確的是（）
A．B與A的繞行周期之比為
B．rB的最大值與rB的最小值之比為3：1
C．rA的最大值與rA的最小值之比為3：2
D．rB的最小值小于rA的最大值
【答案】ABD
【詳解】A．由圖可知，A、B的周期為
所以B與A的繞行周期之比為
故A正確；
B．由圖可知，當rB最小時衛(wèi)星B受到的萬有引力最大，有
當rB最大時衛(wèi)星B受到的引力最小，有
所以rB的最大值與rB的最小值之比為
故B正確；
C．同理，當rA最小時衛(wèi)星A受到的萬有引力最大，，有
當rA最大時衛(wèi)星A受到的引力最小，，有
所以rA的最大值與rA的最小值之比為
故C錯誤；
D．根據(jù)開普勒第三定律，有
解得
所以rB的最小值小于rA的最大值，故D正確。
故選ABD
考點3萬有引力與重力的關(guān)系
1．萬有引力和重力的關(guān)系
如圖，地球?qū)ξ矬w的萬有引力F＝Geq \f(m地m,R2)可分解為F1、F2兩個分力，其中F1為物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運動的向心力Fn，F(xiàn)2就是物體的重力mg。所以重力是萬有引力的一個分力，重力的大小mg≤Geq \f(m地m,R2)，重力的方向可能偏離地心。
2．重力與緯度的關(guān)系
地面上物體的重力隨緯度的升高而變大。
在南北兩極和赤道上重力和引力的方向是一致的。在地球兩極處重力就是引力，在赤道上，重力和引力不等，但在一條直線上。
(1)赤道上：重力和向心力在一條直線上，F(xiàn)＝Fn＋mg，即Geq \f(m地m,R2)＝mω2r＋mg，所以mg＝Geq \f(m地m,R2)－mω2r。地球上任何一點自轉(zhuǎn)的角速度都相等，同一物體赤道上的轉(zhuǎn)動半徑最大，需要的向心力最大，故物體在赤道上的重力是最小的。
(2)兩極處：因為向心力為零，所以mg＝F＝Geq \f(m地m,R2)，故物體在兩極處的重力是最大的。
3．重力與高度的關(guān)系
由于地球的自轉(zhuǎn)角速度很小，故地球自轉(zhuǎn)帶來的影響很小，一般情況下認為在地面附近：mg＝Geq \f(m地m,R2)。若距離地面的高度為h，則mg′＝Geq \f(m地m,?R＋h?2)(R為地球半徑，g′為離地面h高度處的重力加速度)，可得g′＝eq \f(Gm地,?R＋h?2)＝eq \f(R2,?R＋h?2)g，所以距地面越高，物體的重力加速度越小，則物體所受的重力也越小。
【典例3】（22-23高一下·山東泰安·期中）一宇航員在某未知星球的表面上做平拋運動實驗：在離地面高處讓小球以某一初速度水平拋出，他測出小球落地點與拋出點的水平距離和落地時間，又已知該星球的半徑為，引力常量為，若不考慮星球自轉(zhuǎn)的影響，求：（最后結(jié)果必須用題中已知物理量表示）
（1）小球拋出的初速度大??；
（2）該星球表面的重力加速度；
（3）該星球的質(zhì)量。
【答案】（1）；（2）；（3）
【詳解】（1）設小球拋出的初速度大小為，則有
解得
（2）設該星球表面的重力加速度為，則有
解得
（3）在星球表面上，由萬有引力等于物體的重力，得
解得該星球的質(zhì)量為
【變式訓練3】（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·期中）2022年11月30日，我國六名航天員在空間站首次“太空會師”，向世界展示了中國航天工程的卓越能力。中國空間站已基本成型，質(zhì)量約91噸，它在離地面高度約400km的軌道上繞地球做近似的勻速圓周運動，已知地球半徑約為6400km，地球表面重力加速度為，則地球?qū)臻g站的萬有引力約為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】在地球表面，萬有引力近似等于重力，有
地球?qū)臻g站的萬有引力為
代入數(shù)據(jù)解得
故選C。
【答案】B
【解析】由萬有引力定律得物體在“兩極”處有Geq \f(Mm,R2)＝1.1mg，在赤道處有Geq \f(Mm,R2)－mg＝mω2R，聯(lián)立以上兩式解得，該行星自轉(zhuǎn)的角速度為ω＝eq \r(\f(GM,11R3))，B正確，A、C、D錯誤。
考點4天體質(zhì)量和密度的計算
1．天體質(zhì)量的計算
(1)重力加速度法
若已知天體(如地球)的半徑R及其表面的重力加速度g，根據(jù)在天體表面上物體的重力近似等于天體對物體的萬有引力，得mg＝Geq \f(Mm,R2)，解得天體的質(zhì)量為M＝eq \f(gR2,G)，g、R是天體自身的參量，所以該方法俗稱“自力更生法”。
(2)環(huán)繞法
借助環(huán)繞中心天體做圓周運動的行星(或衛(wèi)星)計算中心天體的質(zhì)量，俗稱“借助外援法”。常見的情況如下：
2．天體密度的計算
方法一：若天體的半徑為R，由“重力加速度法”可知天體的質(zhì)量為M＝eq \f(gR2,G)，那么由ρ＝eq \f(M,V)及V＝eq \f(4,3)πR3求得天體的密度ρ＝eq \f(3g,4πRG)。
方法二：若中心天體的半徑為R，由“環(huán)繞法”可知中心天體的質(zhì)量M＝eq \f(4π2r3,GT2)(r、T為環(huán)繞天體的軌道半徑和公轉(zhuǎn)周期)，那么由ρ＝eq \f(M,V)及V＝eq \f(4,3)πR3求得中心天體的密度ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)。當行星(或衛(wèi)星)環(huán)繞中心天體表面運動時，其軌道半徑r等于天體半徑R，則ρ＝eq \f(3π,GT2)。ρ＝eq \f(3π,GT2)給出了一種簡單地求中心天體密度的方法，但是要注意這里的T是環(huán)繞中心天體表面運動時對應的周期，而不是在其他軌道上運動時的周期，也不是隨中心天體自轉(zhuǎn)的周期。
注意區(qū)分R、r、h的意義，一般情況下，R指中心天體的半徑，r指行星(或衛(wèi)星)的軌道半徑，h指衛(wèi)星距離行星表面的高度，r＝R＋h。
【典例4】（22-23高一下·河南·期中）2020年11月24日成功發(fā)射的“嫦娥五號”是中國首個實施無人月面取樣返回的月球探測器。已知月球半徑為R，地心與月球中心之間的距離為r，月球繞地球做圓周運動的公轉(zhuǎn)周期為，“嫦娥五號”探測器繞近月軌道做圓周運動的周期為，引力常量為G，由以上條件可知（）
A．月球質(zhì)量為B．地球質(zhì)量為
C．月球的密度為D．地球的密度為
【答案】C
【詳解】AC．“嫦娥五號”探測器繞近月軌道做圓周運動，萬有引力提供向心力有
解得月球質(zhì)量為
又有
則月球的密度為
故A錯誤，C正確；
BD．月球繞地球做圓周運動，萬有引力提供向心力有
解得地球質(zhì)量為
又有
解得地球的密度為
地球半徑未知，地球密度不可求，故BD錯誤。
故選C。
【變式訓練4】（22-23高三上·云南保山·期中）2018年2月，我國口徑射電望遠鏡（天眼）發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318+0253”，其自轉(zhuǎn)周期為T，假設星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為G。以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】毫秒脈沖星恰好穩(wěn)定自轉(zhuǎn)時由萬有引力提供其表面物體做圓周運動的向心力，根據(jù)
解得
脈沖星體積為
所以密度最小值為
故選C。
考點5天體運動中各物理量與軌道半徑的關(guān)系
1．天體運動的分析與計算
(1)基本思路：行星繞太陽的運動和衛(wèi)星繞地球的運動一般情況可看作勻速圓周運動，所需向心力由太陽或地球這樣的中心天體對它的萬有引力提供，即F引＝F向。
(2)常用關(guān)系：①Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r。②忽略自轉(zhuǎn)時，Geq \f(Mm,R2)＝mg(物體在天體表面時受到的萬有引力等于物體重力)，整理可得：GM＝gR2，該公式通常被稱為“黃金代換式”，即當GM不知道時，可以用gR2來代換GM。
2．天體運動中的各物理量與軌道半徑的關(guān)系
設質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運動。
(1)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))，r越大，v越小。
(2)由Geq \f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，r越大，ω越小。
(3)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，r越大，T越大。
(4)由Geq \f(Mm,r2)＝ma得a＝eq \f(GM,r2)，r越大，a越小。
以上結(jié)論可總結(jié)為：“一定四定(即：r定了，v、ω、T、a都定了)，越遠越慢(即：r越大，v、ω、a越小，T越大)”。
【典例5】（22-23高一下·黑龍江佳木斯·期中）人造衛(wèi)星以地心為圓心，做勻速圓周運動，下列說法正確的是（）
A．半徑越大，環(huán)繞速度越小，周期越大
B．半徑越大，環(huán)繞速度越大，周期越小
C．衛(wèi)星的向心加速度與它的質(zhì)量有關(guān)
D．衛(wèi)星的向心加速度與質(zhì)量、半徑均無關(guān)
【答案】A
【詳解】AB．根據(jù)
周期
半徑越大，環(huán)繞速度越小，周期越大，故A正確，B錯誤；
CD．根據(jù)
衛(wèi)星的向心加速度與它的質(zhì)量無關(guān)，與半徑有關(guān)，故CD錯誤。
故選A。
【變式訓練5】（23-24高一下·內(nèi)蒙古通遼·期中）據(jù)報道，天文學家近日發(fā)現(xiàn)了一顆距地球40光年的“超級地球”，名為“55 Cancrie”。該行星繞母星（中心天體）運行的周期約為地球繞太陽運行周期的，母星的體積約為太陽的60倍。假設母星與太陽密度相同，“55 Cancrie”與地球均做勻速圓周運動，則“55 Cancrie”與地球的（）。
A．軌道半徑之比約為B．軌道半徑之比約為
C．向心加速度之比約為D．向心加速度之比約為
【答案】B
【詳解】因為母星的體積為太陽的60倍。假設母星與太陽密度相同，所以母星的質(zhì)量時太陽的60倍，根據(jù)萬有引力提供向心力有
解得
，
行星繞母星（中心天體）運行的周期約為地球繞太陽運行周期的，則
，
故選B。
考點6雙星及多星問題
1．雙星系統(tǒng)的特點
(1)兩顆星體各自所需的向心力由彼此間的萬有引力相互提供(如圖)，即Geq \f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2。
(2)兩顆星體的運動周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
(3)兩顆星體的軌道半徑與它們之間距離的關(guān)系為：r1＋r2＝L。
2．多星系統(tǒng)
在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系統(tǒng)，在多星系統(tǒng)中：
(1)各個星體做圓周運動的周期、角速度相同。
(2)某一星體做圓周運動的向心力是由其他星體對它的萬有引力的合力提供的。
【典例6】（22-23高一下·福建龍巖·期末）中國天眼FAST已發(fā)現(xiàn)約500顆脈沖星，成為世界上發(fā)現(xiàn)脈沖星效率最高的設備，如在球狀星團M92第一次探測到“紅背蜘蛛”脈沖雙星。如圖，距離為L的A、B雙星繞它們連線上的某點O在二者萬有引力作用下做勻速圓周運動，運動周期為T，萬有引力常量為G，則雙星總質(zhì)量為（）

A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】雙星A、B之間的萬有引力提供向心力，有
其中
聯(lián)立解得
故選C。
【變式訓練6】（22-23高一下·吉林延邊·期中）“雙星系統(tǒng)”由兩顆相距較近的恒星組成，每個恒星的線度遠小于兩個星體之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠離其他天體。如圖所示，兩顆星球組成的雙星，在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上的O點做周期相同的勻速圓周運動?，F(xiàn)測得兩顆星之間的距離為L，質(zhì)量之比為m1：m2＝3：2。則可知（）
A．m1、m2做圓周運動的線速度之比為3：2
B．m1、m2做圓周運動的角速度之比為2：3
C．m1做圓周運動的半徑為L
D．其他條件不變, 只兩顆星之間的距離增大時兩顆星的周期變小
【答案】C
【詳解】ABC．根據(jù)萬有引力提供向心力
解得
因為雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，即向心力大小相等，具有相同的角速度，根據(jù)
可得線速度之比為2：3，又
得
故AB錯誤，C正確；
D．根據(jù)
化簡可得
兩式相加，得
解得
所以其他條件不變, 只兩顆星之間的距離增大時，周期增大，故D錯誤。
故選C。
考點7宇宙速度
1．對三種宇宙速度的理解
(1)第一宇宙速度：是物體在地球附近繞地球做勻速圓周運動的速度，也是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度，其大小為7.9 km/s。
(2)第二宇宙速度：在地面附近發(fā)射飛行器，使之能夠克服地球的引力，永遠離開地球的最小發(fā)射速度，其大小為11.2 km/s。
(3)第三宇宙速度：在地面附近發(fā)射飛行器，使其掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系外的最小發(fā)射速度，其大小為16.7 km/s。
2．第一宇宙速度的推導
已知地球的質(zhì)量為m地＝5.98×1024 kg，近地衛(wèi)星的軌道半徑近似等于地球半徑R＝6.4×106 m，重力加速度g＝9.8 m/s2。
思路一：萬有引力提供向心力，由Geq \f(mm地,R2)＝meq \f(v2,R)得v＝ eq \r(\f(Gm地,R))＝7.9 km/s。
思路二：由mg＝meq \f(v2,R)得v＝eq \r(gR)＝7.9 km/s。
說明：由第一宇宙速度的兩種表達式可知，第一宇宙速度的大小由地球決定。其他天體的第一宇宙速度可以用v＝ eq \r(\f(GM,R))或v＝eq \r(g天體R)表示，式中G為引力常量，M為天體的質(zhì)量，g天體為天體表面的重力加速度，R為天體的半徑。
3．發(fā)射速度與環(huán)繞速度
(1)當v發(fā)＝7.9km/s時，衛(wèi)星在地球表面附近繞地球做勻速圓周運動。
(2)當7.9 km/s

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