1、(2022·江蘇如皋期初考試)直線的斜率和它在y軸上的截距分別為（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【解析】由題意，直線3x＋4y＋5＝0的斜率為－EQ \F(3,4)，令x＝0，解得y＝－EQ \F(5,4)，故答案選C.
2、（2022·廣東省深圳市第七高級中學(xué)10月月考）已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，則該雙曲線的離心率為（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】因為漸近線經(jīng)過點，所以，從而.
故選：C
3、（2021·河北石家莊市高三二模）拋物線經(jīng)過點，則到焦點的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在拋物線上，，解得：，
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，，.
故選：B.
4、（2022·廣東省深圳市寶安區(qū)第一次調(diào)研10月）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在其巨著《圓錐曲線論》中提出“在同一平面上給出三點，若其中一點到另外兩點的距離之比是一個大于零且不等于1的常數(shù)，則該點軌跡是一個圓”現(xiàn)在，某電信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信號塔來構(gòu)建一個三角形信號覆蓋區(qū)域，以實現(xiàn)5G商用，已知甲、乙兩地相距4公里，丙、甲兩地距離是丙、乙兩地距離的倍，則這個三角形信號覆蓋區(qū)域的最大面積（單位：平方公里）是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由題意不妨設(shè)甲、乙兩地坐標(biāo)為，丙地坐標(biāo)為，則，整理得，半徑，所以最大面積為.
故選：B
5、(2022·江蘇省第一次大聯(lián)考)已知雙曲線C的離心率為EQ \R(,3)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，P為C上一點，|PF1|＝3|PF2|，若△PF1F2的面積為EQ \R(,2)，則雙曲線C的實軸長為
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】B
【解析】由題意可知，點P在右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＝3|PF2|，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，因為EQ \F(c,a)＝EQ \R(,3)，所以|F1F2|＝2c＝2EQ \R(,3)a，則在△PF1F2中，由余弦定理可得，cs∠F1PF2＝EQ \F(9a\S(2)＋a\S(2)－12a\S(2),2·3a·a)＝－EQ \F(1,3)，所以sin∠F1PF2＝EQ \F(2\R(,2),3)，所以S△EQ \S\DO(PF\S\DO(1)F\S\DO(2))＝EQ \F(1,2)?a?3a?EQ \F(2\R(,2),3)＝EQ \R(,2)，解得a＝1，所以實軸長為2a＝2，故答案選B．
6、(2022·湖北華中師大附中等六校開學(xué)考試聯(lián)考)已知圓：上恰有兩個點到直線：的距離為，則直線的傾斜角的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)圓心到直線的距離為.
因為圓：上恰有兩個點到直線：的距離為，
故，所以，解得，
故傾斜角的范圍為 ，
故選：B.
7、(2022·南京9月學(xué)情【零?！?在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C：eq \f(x\s\up6(2),a\s\up6(2))－\f(y\s\up6(2),b\s\up6(2))＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2且垂直于x軸的直線與C交于P，Q兩點，F(xiàn)1Q與y軸的交點為R，F(xiàn)1Q⊥PR，則C的離心率為
A．eq \r(,2) B．eq \r(,3) C．2 D．eq \r(,5)
【答案】B
【解析】法一：由題意可設(shè)點P在第一象限，則P(c，EQ \F(b\S(2),a))，Q(c，－EQ \F(b\S(2),a))，又F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，則可得F1Q的直線方程為：y＝－EQ \F(b\S(2),2ac)(x＋c)，令x＝0，可得R(0，－EQ \F(b\S(2),2a))，所以EQ \\ac(\S\UP7(→),PR)＝(－c，－EQ \F(3b\S(2),2a))，EQ \\ac(\S\UP7(→),F\S\DO(1)Q)＝(2c，－EQ \F(b\S(2),a))，因為F1Q⊥PR，所以EQ \\ac(\S\UP7(→),PR)·EQ \\ac(\S\UP7(→),F\S\DO(1)Q)＝(－c，－EQ \F(3b\S(2),2a))·(2c，－EQ \F(b\S(2),a))＝0，化簡得－2c2＋EQ \F(3b\S(4),2a\S(2))＝0，即2ac＝EQ \R(,3)b2＝EQ \R(,3)(c2－a2)，解得e＝EQ \F(c,a)＝eq \r(,3)或－EQ \F(1,\R(,3))(舍去)，故答案選B．
法二：連結(jié)RF2，由題意可得，F(xiàn)1F2垂直平分PQ，又F1Q⊥PR，所以RF2＝EQ \F(1,2)PQ，而在△F1F2Q中，OR＝EQ \F(1,2)F2Q，所以點R為F1Q的中點，則PR垂直平分F1R，則△PF1Q為等邊三角形，所以在Rt△PF1F2中，PF2＝2c?tan30°，即EQ \F(b\S(2),a)＝EQ \F(2\R(,3),3)c，則2ac＝EQ \R(,3)b2＝EQ \R(,3)(c2－a2)，解得e＝EQ \F(c,a)＝eq \r(,3)或－EQ \F(1,\R(,3))(舍去)，故答案選B．
法三：連結(jié)RF2，由題意可得，F(xiàn)1F2垂直平分PQ，又F1Q⊥PR，所以RF2＝EQ \F(1,2)PQ，而在△F1F2Q中，OR＝EQ \F(1,2)F2Q，所以點R為F1Q的中點，則PR垂直平分F1R，則△PF1Q為等邊三角形，所以在Rt△PF1F2中，PF1＝EQ \F(2c,cs30°)＝EQ \F(4c,\R(,3))，PF2＝EQ \F(2c,sin30°)＝EQ \F(2c,\R(,3))，由雙曲線的定義可得，PF1－PF2＝2a，即EQ \F(2c,\R(,3))＝2a，解得e＝EQ \F(c,a)＝eq \r(,3)，故答案選B．
8、(2022·武漢部分學(xué)校9月起點質(zhì)量檢測)設(shè)雙曲線eq E：x\s\up6(2)－\f(y\s\up6(2),3)＝1的左右焦點為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，點M是雙曲線E在第一象限內(nèi)的一點，直線MF1交雙曲線E的左支于點N，若NA∥MF2，則|MF2|＝
A．eq \f(7,4) B．eq \f(5,2) C．eq \f(8,3) D．eq \f(11,4)
【答案】B
【解析】由題意，取MF1的中點為點P，則PO∥NA∥MF2，且PO＝EQ \F(1,2)MF2，NA＝EQ \F(1,2)PO，所以NA＝EQ \F(1,4)MF2，則F1N＝EQ \F(1,4)F1M，可設(shè)M(m，n)( m＞0，n＞0)，則N(EQ \F(m－6,4)，EQ \F(n,4))，且點M，N在雙曲線上，所以有EQ \B\lc\{(\a\al(m\S(2)－\F(n\S(2),3)＝1,\b\bc\((\l(\F(m－6,4)))\s\up12(2)－\F(\b\bc\((\l(\F(n,4)))\s\up12(2),3)＝1))，解得EQ \B\lc\{(\a\al(m＝\F(7,4),n＝\F(3\R(,11),4)))，所以M(EQ \F(7,4)，EQ \F(3\R(,11),4))，又F2(2，0)，則|MF2|＝EQ \R(,\b\bc\((\l(\F(7,4)－2))\s\up12(2)＋\b\bc\((\l(\F(3\R(,11),4)－0))\s\up12(2))＝eq \f(5,2)，故答案選B．
多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分，少選的3分，多選不得分）
9、（南陽中學(xué)2022-2023學(xué)年秋學(xué)期第一次學(xué)情檢測） 已知平面上一點，若直線上存在點P使，則稱該直線為“切割型直線”．下列直線是“切割型直線”的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】對于A，設(shè)點M到直線的距離為d，對于A，，故直線上不存在到點M的距離等于4的點，故A不符合題意；
對于B，，所以在直線上可以找到不同的兩點到點M的距離等于4，故B符合題意；
對于C，，故直線上存在一點到點M的距離等于4，故C符合題意；
對于D，，故直線上不存在點P到點M的距離等于4，故D不符合題意．
故選：BC
10、（2021·海南高三其他模擬）已知圓和圓的交點為，，則（ ）
A．圓和圓有兩條公切線
B．直線的方程為
C．圓上存在兩點和使得
D．圓上的點到直線的最大距離為
【答案】ABD
【解析】對于A，因為兩個圓相交，所以有兩條公切線，故正確；
對于B，將兩圓方程作差可得，即得公共弦的方程為，故B正確；
對于C，直線經(jīng)過圓的圓心，所以線段是圓的直徑，故圓中不存在比長的弦，故C錯誤；
對于D，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓心到直線的距離為，所以圓上的點到直線的最大距離為，D正確.
故選：ABD.
11、（南陽中學(xué)2022-2023學(xué)年秋學(xué)期第一次學(xué)情檢測） 已知直線：和直線：，則（ ）
A. 若，則或B. 若在軸和軸上的截距相等，則
C. 若，則或2D. 若，則與間的距離為
【答案】CD
【解析】若，由，解得或，
經(jīng)檢驗當(dāng)時，，重合，當(dāng)時，，
所以，故A錯誤；
若在軸和軸上截距相等，則過原點或其斜率為，則或，則或，故B錯誤；
若，則，解得或2，故C正確；
當(dāng)時，，則：，：，
即：，則與間的距離為，故D正確．
故選：CD．
12、（海安中學(xué)高二年級第一次學(xué)情檢測2022-2023學(xué)年高二年級階段性考試） 已知橢圓的左右焦點分別為是圓上且不在軸上的一點，的面積為，設(shè)的離心率為，，則（ ）
A B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】如圖，
連接，，設(shè)交橢圓于，則，
，故正確；
設(shè)，，，
，，
，故錯誤；
設(shè)，，則，
又△的面積為，，即，
，又，，故正確；
由，，
兩式作商可得：，故正確．
故選：ACD
填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分，一題兩空，第一空2分）
13、 已知兩條平行直線：x+2y+3=0，：3x+by+c=0間的距離為，則b+c=_____.
【答案】0或30
【解析】∵兩條平行直線：x+2y+3=0，：3x+by+c=0，
則，解得；
所以直線：x+2y+3=0，即，：3x+6y+c=0；
則兩平行線間的距離為，
解得或．
故答案為：0或．
14、(2022·江蘇省第一次大聯(lián)考)直線y＝x－1過拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點F，且與C交于A，B兩點，則|AB|＝ ．
【答案】8
【解析】由題意可知，焦點F為(1，0)，即eq \f(p,2)＝1，解得p＝2，則拋物線C：y2＝4x，與直線y＝x－1聯(lián)立可得，x2－6x＋1＝0，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8．
15、(2022·江蘇如皋期初考試)已知點是直線：上的動點，過點作圓：的切線，切點分別為，，則切點弦所在直線恒過定點___________.
【答案】(1，－1)
【解析】由題意可設(shè)Q的坐標(biāo)為(m，n)，則m－n－4＝0，即m＝n＋4，過點Q作圓O：eq x\s\up6(2)＋y\s\up6(2)＝4的切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在直線方程為mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，則直線AB的方程變形可得nx＋ny＋4x－4＝0，則有eq \B\lc\{(\a\al(x＋y＝0,4x－4＝0))，解得eq \B\lc\{(\a\al(x＝1,y＝－1))，則直線AB恒過定點(1，－1).
16、(2022·湖北華中師大附中等六校開學(xué)考試聯(lián)考)雙曲線的左、右焦點分別為、，過且斜率為的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點、（在右側(cè)），若，則的離心率為______.
【答案】
【解析】由得，
又由題意可得，為雙曲線左支上的點，為雙曲線右支上的點，
根據(jù)雙曲線的定義可得，，，
所以，因此，
因為直線的斜率為，所以，
又，
所以，
即，所以，解得或（舍，雙曲線的離心率大于1）.故答案為：.
四、解答題（共6小題，滿分70分，第17題10分，其它12分）
17、（2022河北邢臺期中·）求與直線，
（1）平行，且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為1直線的方程；
（2）垂直，且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為1的直線的方程.
【解析】
（1）直線展開，
設(shè)的方程為=0，則在軸軸的截距分別為，由，
得=12，所以的方程為即
（2）直線的斜率為兩直線垂直，直線的斜率為-，
設(shè)直線的方程為，則在軸軸的截距分別為，
則，得 故直線方程為 ，
故答案為
18、(2022·湖南省長郡中學(xué)開學(xué)考試)已知圓圓心為原點，且與直線相切，直線l過點．
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l被圓所截得的弦長為，求直線l的方程．
【解析】（1）設(shè)圓的半徑為，則，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)圓心到直線到的距離為，則，解得；當(dāng)直線l斜率不存在時，易得，此時圓心到的距離，符合題意；
當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)，即，則，解得，即，
故直線l的方程為或.
19、（2021·全國高二課時練習(xí)）如圖，若是雙曲線的兩個焦點.
（1）若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，求點M到另一個焦點的距離；
（2）若P是雙曲線左支上的點，且，試求的面積.
【解析】：（1）是雙曲線的兩個焦點，則，
點M到它的一個焦點的距離等于16，設(shè)點到另一個焦點的距離為，
則由雙曲線定義可知，，解得或，
即點到另一個焦點的距離為或；
（2）P是雙曲線左支上的點，則，
則，而，
所以，
即，
所以為直角三角形，，
所以.
20、(2022·湖南省雅禮中學(xué)開學(xué)考試)(12分)已知橢圓C：EQ \F(y\S(2),a\S(2))＋EQ \F(x\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的焦距與橢圓eq \f(x\s\up6(2),3)＋y\s\up6(2)＝1的焦距相等，且C經(jīng)過拋物線eq y＝(x－1)\s\up6(2)＋\r(,2)的頂點．
(1)求C的方程；
(2)若直線y＝kx＋m與C相交于A，B兩點，且A，B關(guān)于直線l：x＋ty＋1＝0對稱，O為C的對稱中心，且△AOB的面積為eq \f(\r(,10),3)，求k的值．
【解析】
(1)由題意：eq \B\lc\{(\a\al(\f(2,a\s\up6(2))＋\f(1,b\s\up6(2))＝1,a\s\up6(2)－b\s\up6(2)＝2))解得：eq a\s\up6(2)＝4，b\s\up6(2)＝2，所以C的方程為eq \f(y\s\up6(2),4)＋\f(x\s\up6(2),2)＝1；
(2)因為直線y＝kx＋m與C相交于A，B兩點，且A，B關(guān)于直線l：x＋ty＋1＝0對稱，
所以k＝t，
聯(lián)立eq \B\lc\{(\a\al(y＝kx＋m,\f(y\s\up6(2),4)＋\f(x\s\up6(2),2)＝1))，可得eq (k\s\up6(2)＋2)x\s\up6(2)＋2kmx＋m\s\up6(2)－4＝0，
設(shè)eq A(x\s\d(1)，y\s\d(1))，B(x\s\d(2)，y\s\d(2))，AB的中點為eq P(x\s\d(0)，y\s\d(0))，
則?＝8(2k2＋4－m2)＞0，x0＝－EQ \F(km,k\S(2)＋2)，y0＝kx0＋m＝EQ \F(2m,k\S(2)＋2)，
因為eq P(x\s\d(0)，y\s\d(0))在直線l：x＋ky＋1＝0上，所以eq －\f(km,k\s\up6(2)＋2)＋\f(2km,k\s\up6(2)＋2)＋1＝0，
即eq m＝－(k＋\f(2,k))，所以?＝8(k2－EQ \F(4,k\S(2)))＞0，即k2＞2，
所以eq |AB|＝\r(,k\s\up6(2)＋1)\f(\r(,Δ),k\s\up6(2)＋2)＝\f(2\r(,2(k\s\up6(2)＋1)(k\s\up6(2)－2)),(k\s\up6(2)＋1))，
則O到直線AB的距離eq d＝\f(|m|,\r(,k\s\up6(2)＋1))＝EQ \F(k\S(2)＋2,\R(,k\S(2)\b\bc\((\l(k\S(2)＋1))))，
所以eq S\s\d(△AOB)＝\f(1,2)|AB|d＝\f(\r(,2(k\s\up6(2)－4)),k\s\up6(2))＝\f(\r(,10),3)，解得：eq k\s\up6(2)＝3，k＝±\r(,3)．
21、(2022·江蘇如皋期初考試) 已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是，端點A在圓上運(yùn)動．
（1）求線段AB的中點P的軌跡的方程；
（2）設(shè)圓與曲線的兩交點為M，N，求線段MN的長；
（3）若點C在曲線上運(yùn)動，點Q在x軸上運(yùn)動，求的最小值．
【解析】
（1）設(shè)，，點A在圓，所以有：，
P是A，B的中點，，即，得P得軌跡方程為：；
（2）聯(lián)立方程和，得MN所在公共弦所在的直線方程，
設(shè)到直線MN得距離為d，則,
所以，；
（3）作出關(guān)于軸得對稱點，
如圖所示；
連接與x軸交于Q點，點Q即為所求，
此時，所以的最小值為.
22、已知兩圓，動圓在圓內(nèi)部且和圓內(nèi)切，和圓外切.
（1）求動圓圓心的軌跡方程；
（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡方程恒有兩個交點，且滿足若存在，求出該圓的方程，若不存在，說明理由.
【解析】
（1）設(shè)圓的半徑的，則，
所以的軌跡是以的焦點的橢圓，
則，，所以，，，
故動圓圓心軌跡方程為.
（2）假設(shè)存在圓心在原點圓，
使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，
設(shè)，，當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)該圓的切線的方程為，
由方程，可得，
則，
所以，由，，
則，
，，則，即，
即，即，所以且，
故，解得或，
因為直線為圓心在原點的圓的一條切線，所以圓的半徑為，
則，故，所以所求圓的方程為，
此時圓的切線都滿足或，
當(dāng)切線的斜率不存在時，切線方程為，
所以切線與橢圓，的兩個交點為，，
滿足.
綜上所述，存在圓心在原點的圓滿足條件

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