知識點一 瞬時速度
瞬時速度的定義
(1)物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度．
(2)一般地，設(shè)物體的運(yùn)動規(guī)律是s＝s(t)，則物體在t0到t0＋Δt這段時間內(nèi)的平均速度為eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(s?t0＋Δt?－s?t0?,Δt).如果Δt無限趨近于0時，eq \f(Δs,Δt)無限趨近于某個常數(shù)v，我們就說當(dāng)Δt無限趨近于0時，eq \f(Δs,Δt)的極限是v，這時v就是物體在時刻t＝t0時的瞬時速度，即瞬時速度v＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(Δs,Δt)＝eq \(lim,\s\d4(Δt→0)) eq \f(s?t0＋Δt?－s?t0?,Δt).
知識點二 函數(shù)的平均變化率
對于函數(shù)y＝f(x)，設(shè)自變量x從x0變化到x0＋Δx，相應(yīng)地，函數(shù)值y就從f(x0)變化到f(x0＋Δx)．這時，x的變化量為Δx，y的變化量為Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我們把比值eq \f(Δy,Δx)，即eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)叫做函數(shù)y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率．
知識點三 函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)
如果當(dāng)Δx→0時，平均變化率eq \f(Δy,Δx)無限趨近于一個確定的值，即eq \f(Δy,Δx)有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時變化率)，記作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).
知識點四 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
1．割線斜率與切線斜率
設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，直線AB是過點A(x0，f(x0))與點B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一條割線，此割線的斜率是eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).
當(dāng)點B沿曲線趨近于點A時，割線AB繞點A轉(zhuǎn)動，它的極限位置為直線AD，直線AD叫做此曲線在點A處的切線．于是，當(dāng)Δx→0時，割線AB的斜率無限趨近于過點A的切線AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).
2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y＝f(x)在點x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率．也就是說，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率是f′(x0)．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
知識點五 導(dǎo)函數(shù)的定義
從求函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)的過程可以看出，當(dāng)x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數(shù)．這樣，當(dāng)x變化時，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))．y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)記作f′(x)或y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x＋Δx?－f?x?,Δx).
特別提醒：
知識點六 幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
知識點七 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
知識點八 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
已知f(x)，g(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且g(x)≠0.
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特別地，[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f?x?,g?x?)))′＝eq \f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,[g?x?]2).
知識點九 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
1．復(fù)合函數(shù)的概念
一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))．
2．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
一般地，對于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對 u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積．
一．變化的快慢與變化率（共5小題）
1．（2023春?浦東新區(qū)校級月考）現(xiàn)有一球形氣球，在吹氣球時，氣球的體積（單位：與直徑（單位：的關(guān)系式為，當(dāng)時，氣球體積的瞬時變化率為
A．B．C．D．
2．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）若函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)為，則等于
A．B．C．D．
3．（2023春?浦東新區(qū)校級月考）函數(shù)在到之間的平均變化率為 ．
4．（2023春?閔行區(qū)校級期中）某賽車啟動時的位移（米和時間（秒的關(guān)系滿足，則時賽車的瞬時速度是 （米秒）．
5．（2023春?徐匯區(qū)校級期末）已知，則 的值是 ．
二．導(dǎo)數(shù)及其幾何意義（共2小題）
6．（2023春?楊浦區(qū)校級期中）已知，則 ．
7．（2023春?浦東新區(qū)校級期中）已知曲線在點，處的瞬時變化率為，則點的坐標(biāo)為 ．
三．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（共8小題）
8．（2023春?奉賢區(qū)期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足（1），則（1）
A．1B．C．D．0
9．（2023秋?禮泉縣期中）已知函數(shù)，則（1）
A．1B．2C．3D．4
10．（2023春?楊浦區(qū)校級期中）設(shè)，若1是函數(shù)的一個駐點，則 ．
11．（2023春?閔行區(qū)校級期中）已知函數(shù)，則的導(dǎo)數(shù) ．
12．（2023春?楊浦區(qū)校級期中）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的定義域為 ．
13．（2023春?浦東新區(qū)校級月考）已知，，則 ．
14．（2023春?嘉定區(qū)校級期中）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
（1）；
（2）．
15．（2023春?普陀區(qū)校級期末）法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析幾何函數(shù)論》中給出一個定理，如果函數(shù)滿足條件：
①在閉區(qū)間，上是連續(xù)不斷的；
②在區(qū)間上都有導(dǎo)數(shù)；
則在區(qū)間上至少存在一個實數(shù)，使得（b）（a），其中稱為“拉格朗日”中值，函數(shù)在區(qū)間，上的“拉格朗日中值” ．
四．導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則（共2小題）
16．（2023秋?10月份月考）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且滿足關(guān)系式（1），則（2）的值等于
A．B．C．D．7
17．（2023春?浦東新區(qū)校級月考）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且（1）．
（1）求實數(shù)、的值；
（2）若函數(shù)恰有三個零點，求實數(shù)的取值范圍．
五．導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則（共3小題）
18．（2023春?臨沂期中）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間，上的圖象大致為
A．B．
C．D．
19．（2023春?峨眉山市校級期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足（1），則（1）
A．B．C．1D．
20．（2023春?青浦區(qū)期中）設(shè)函數(shù)，則（1） ．
六．簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（共4小題）
21．（2023春?橫山區(qū)校級期中）已知函數(shù)，則等于
A．B．2C．D．1
22．（2023春?韓城市期末）已知函數(shù)，則（1）
A．8B．6C．3D．1
23．（2023秋?漳平市月考）是函數(shù)且在，是減函數(shù)的
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
24．（2023春?合陽縣校級月考）若函數(shù)，則的值為 ．
一．填空題（共12小題）
1．（2023春?閔行區(qū)校級期中）已知函數(shù)，則 ．
2．（2023春?青浦區(qū)期中）無論我們對函數(shù)求多少次導(dǎo)數(shù)，結(jié)果仍然是它本身；這就像我們在生活中無論遇到多少艱難險阻，都要不忘初心，堅持自我，按照自己制定的目標(biāo)，奮勇前行！
已知函數(shù)，則它的導(dǎo)函數(shù) ．
3．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）若函數(shù)在區(qū)間，上的平均變化率為5，則 ．
4．（2022春?普陀區(qū)校級期末）函數(shù)的圖像在點處的切線的傾斜角為 ．
5．（2023秋?楊浦區(qū)校級期中）拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，內(nèi)容為：如果函數(shù)在閉區(qū)間，上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得（b）（a）（c）成立，其中叫做在，上的“拉格朗日中值點”．根據(jù)這個定理，可得函數(shù)在，上的“拉格朗日中值點”為 ．
6．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）若是函數(shù)的駐點，則實數(shù)的值為 ．
7．（2023春?閔行區(qū)校級期中）設(shè)表示在處的導(dǎo)數(shù)值，已知（1），則（1） ．
8．（2023?上海開學(xué)）一個小球作簡諧振動，其運(yùn)動方程為，其中（單位：厘米）是小球相對于平衡點的位移，（單位：秒）為運(yùn)動時間，則小球在時的瞬時速度為 ．
9．（2023春?普陀區(qū)校級期中）函數(shù)，其中，函數(shù)在區(qū)間，△上的平均變化率為，在△，上的平均變化率為，則與的大小關(guān)系是 ．
10．（2023春?嘉定區(qū)校級期中）已知函數(shù)在處的切線斜率為，且，則 ．
11．（2023?黃浦區(qū)校級開學(xué)）已知函數(shù)，則（1） ．
12．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）如圖，水缸為圓錐形，圓錐底面直徑為2.5米，高為5米，水被以立方米小時的速度注入水缸中，當(dāng)水缸中的水深為2米時，此時水面上升的瞬時速度（變化率）為 （單位：米小時）．
二．選擇題（共4小題）
13．（2023春?靜安區(qū)期末）已知物體的位移（單位：與時間（單位：滿足函數(shù)關(guān)系，則物體在時的瞬時速度為
A．B．C．D．
14．（2023春?長寧區(qū)校級期末）下列求導(dǎo)計算正確的是
A．B．
C．D．
15．（2022春?金山區(qū)校級期末）已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，若，則（2）
A．B．C．1D．
16．（2023春?黃浦區(qū)校級月考）已知函數(shù)導(dǎo)函數(shù)為，且（3），則（1）
A．21B．20C．16D．11
三．解答題（共5小題）
17．（2023春?科左中旗校級期中）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．
（1）；
（2）．
18．（2023秋?普陀區(qū)校級期中）記，分別為函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“點”．
（1）證明：函數(shù)與不存在“點”；
（2）若函數(shù)與存在“點”，求實數(shù)的值；
（3）已知，．若存在實數(shù)，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點”，求實數(shù)的取值范圍．
19．（2023?長寧區(qū)校級開學(xué)）設(shè)是由滿足下列條件的函數(shù)構(gòu)成的集合：“①方程有實數(shù)根；②函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足”．
（Ⅰ）判斷函數(shù)是否是集合中的元素，并說明理由；
（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性質(zhì)：若的定義域為，則對于任意，，都存在，，使得等式成立”，試用這一性質(zhì)證明：方程只有一個實數(shù)根；
（Ⅲ）設(shè)是方程的實數(shù)根，求證：對于定義域中任意的、，當(dāng)，且時，．
20．（2023春?浦東新區(qū)校級月考）已知函數(shù)．
（1）設(shè)，是函數(shù)的圖象上相異的兩點，證明：直線的斜率大于0；
（2）求實數(shù)的取值范圍，使不等式在上恒成立．
21．（2023春?普陀區(qū)校級期末）已知函數(shù)，
（1）若時，取得極值，求實數(shù)的值；
（2）當(dāng)時，求在，上的最小值；
（3）若對任意，直線都不是曲線的切線，求實數(shù)的取值范圍．
區(qū)別
聯(lián)系
f′(x0)
f′(x0)是具體的值，是數(shù)值
在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，因此求函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)，一般先求導(dǎo)函數(shù)，再計算導(dǎo)函數(shù)在這一點的函數(shù)值
f′(x)
f′(x)是函數(shù)f(x)在某區(qū)間I上每一點都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個新函數(shù)，是函數(shù)
原函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
f(x)＝c
f′(x)＝0
f(x)＝x
f′(x)＝1
f(x)＝x2
f′(x)＝2x
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
f(x)＝eq \f(1,x)
f′(x)＝－eq \f(1,x2)
f(x)＝eq \r(x)
f′(x)＝eq \f(1,2\r(x))
原函數(shù)
導(dǎo)函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù))
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cs x
f(x)＝cs x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)
f′(x)＝eq \f(1,xln a)
f(x)＝ln x
f′(x)＝eq \f(1,x)

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