注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2．測試范圍：人教版2019必修第二冊第六章、第七章
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．B．C．D．
2．在中，，，若點(diǎn)滿足，以作為基底，則等于（ ）
A．B．
C．D．
3．在中，，則（ ）
A．B．C．D．
4．已知，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
5．棣莫弗公式（其中i為虛數(shù)單位）是由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
6．如圖，在菱形中，，，分別為上的點(diǎn)，，．若線段上存在一點(diǎn)，使得，則等于（ ）
A．B．C．D．
7．已知點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定通過的（ ）
A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心
8．如圖，一塊三角形鐵片，已知，現(xiàn)在這塊鐵片中間發(fā)現(xiàn)一個(gè)小洞，記為點(diǎn)．過點(diǎn)作一條直線分別交于點(diǎn)，并沿直線裁掉，則剩下的四邊形面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0
9．已知為非零向量，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則B．若，則共線且方向相反
C．若，則D．，則
10．設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則（ ）
A．
B．若，則
C．若且，則
D．若，則的最大值為.
11．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.若，內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，，，以下結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
三．填空題 本題共3小題，每小題5分，共15分
12．若向量，滿足，，，則，的夾角為 ．
13．在中，角所對的邊分別為，已知，若為邊上的中線，且，則的面積等于 ．
14．已知五個(gè)點(diǎn)，滿足：，，則的最小值為 ．
四．解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟
15．（13分）已知復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位.
(1)求；
(2)若復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)m，n的值.
16（15分）．已知向量，，且.
(1)求的值；
(2)求的取值范圍；
(3)記函數(shù)，若的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.
17．（15分） 中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.
(1)求證：；
(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.
18．（17分）互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系.如果坐標(biāo)系中兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為斜坐標(biāo)系.如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸，，分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量.若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo).
(1)設(shè)，求；
(2)已知，，求；
(3)若，，與的夾角記為，求的余弦值.
19． （17分）“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題．該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問題：已知的內(nèi)角所對的邊分別為，
(1)若，
①求；
②若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求；
(2)若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的最小值．
參考答案：
1．C
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法以及除法運(yùn)算即可化簡求解.
【詳解】由可得，
故選：C
2．A
【分析】
結(jié)合圖形，將和分別用和，和表示，代入方程即可求解.
【詳解】
如圖，因，則，即，
解得：.
故選：A.
3．B
【分析】由已知利用余弦定理可求的值，根據(jù)正弦定理可求的值．
【詳解】∵，
∴由余弦定理可得：,
∴解得：，或（舍去），
∴由正弦定理可得：．
故選:B
4．C
【分析】
根據(jù)向量在向量上的投影公式進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛椋海?br>故選：C.
5．B
【分析】
由棣莫弗公式化簡結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可得出答案.
【詳解】，
在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.
故選：B.
6．A
【分析】
以為基底可表示出，由三點(diǎn)共線可構(gòu)造方程求得，將所求數(shù)量積化為，根據(jù)數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得結(jié)果.
【詳解】
，，，，
，
，
三點(diǎn)共線，，解得：，，
.
故選：A.
7．B
【分析】
根據(jù)是以為始點(diǎn)，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應(yīng)的向量，可知點(diǎn)P軌跡，據(jù)此可求解.
【詳解】
為方向上的單位向量，為方向上的單位向量，
則的方向?yàn)椤螧AC角平分線對應(yīng)的的方向．又λ∈（0，＋∞），
所以的方向與的方向相同．
而，所以點(diǎn)P在上移動(dòng)，
所以點(diǎn)P的軌跡一定通過的內(nèi)心．
故選：B

8．A
【分析】
利用三角形面積公式和圖形面積關(guān)系，再結(jié)合基本不等式求出取等號(hào)的條件，最后求出面積的最值即可.
【詳解】設(shè)，，，，
則，
即，平方得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，
故，又，
當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，剩下的四邊形面積的最大為．
故選：A.
9．ABD
【分析】
利用平行的傳遞性判斷A；利用向量共線的幾何意義判斷B；舉反例排除C，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則判斷D.
【詳解】
對于A，因?yàn)闉榉橇阆蛄?，所以由平行的傳遞性可得，故A正確；
對于B，若，則共線且方向相反，故B正確；
對于C，當(dāng)時(shí)，有，但不一定成立，故C錯(cuò)誤；
對于D，由，得，即，
化簡可得，所以，故D正確.
故選：ABD.
10．ACD
【分析】
根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)數(shù)的模，向量的位置關(guān)系，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對于A中，由，可得，所以A正確；
對于B中，由，因?yàn)?，可得，所以B錯(cuò)誤；
對于C中，由，因?yàn)?，可得，?br>又因?yàn)?，可得?br>聯(lián)立方程組，可得，解得，所以C正確；
對于D中，由，可得，
因?yàn)椋傻?，即?br>表示以為圓心，半徑為的圓，
可得，則原點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最大距離為，即的最大值為，所以D正確.
故選：ACD.
11．ABD
【分析】
根據(jù)由正弦定理化邊為角，經(jīng)分析化簡即得；作出圖形，設(shè)出邊長，利用表示出其他邊，由三角形角平分線定理和列出方程，求出各邊長，即可判斷B,C,D.
【詳解】對于A項(xiàng)，因，由正弦定理，，即，則有，
因，，故，即得，故A正確；
對于B項(xiàng)，如圖，由上分析，在中，設(shè)，則，因平分,則有,
即① ,在中,，代入① 式，解得，即，故B項(xiàng)正確；
對于C項(xiàng)，由上分析知故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對于D項(xiàng)，由易得，故D項(xiàng)正確.
故答案為：ABD.
12．
【分析】
利用向量垂直關(guān)系，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算法則求得，從而得解.
【詳解】因?yàn)椋?，，設(shè)，的夾角為，，
所以，
所以，則.
故答案為：
13．/
【分析】將條件式，利用正弦定理角化邊，再根據(jù)余弦定理求得，以為鄰邊做平行四邊形，在中，利用余弦定理求得，所以，得解；方法二，設(shè)，在中由余弦定理得，又，由余弦定理可得，解得，后面同解法一.
【詳解】由，得，
，
注意，得，得，
記，由，知，
如圖，以為鄰邊做平行四邊形，
在中：，即，
得，所以，
故答案為：．
法（2）：設(shè)，在中：①
因?yàn)?，則，
由余弦定理可得，得②
聯(lián)立①②知：，即，解得，后面同上．
故答案為：
14．
【分析】根據(jù)題意設(shè)出合理的向量模，再將其置于坐標(biāo)系中，利用坐標(biāo)表示出，再用基本不等式求解出最值即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，，
由題意設(shè)，則，，
設(shè)，如圖，因?yàn)榍蟮淖钚≈担?br>則，，，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為．
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：首先是對向量模的合理假設(shè)，然后為了進(jìn)一步降低計(jì)算的復(fù)雜性，我們選擇利用坐標(biāo)法將涉及的各個(gè)點(diǎn)用坐標(biāo)表示，最后得到，再利用基本不等式即可求出最值.
15．(1)；
(2)；
【分析】
（1）利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則可得，即可求得；
（2）將z代入方程利用復(fù)數(shù)相等的概念即可求得.
【詳解】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)，
所以
（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)z是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，
所以，
可得，即，
所以,解得.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用數(shù)量積結(jié)合兩角和的余弦公式求的值；
（2）平方再開方，結(jié)合角的范圍求的取值范圍；
（3）把前面的結(jié)果代入，換元后得二次函數(shù)，利用對稱軸和所得區(qū)間的關(guān)系討論得解.
【詳解】（1）向量，，
.
（2），
，
，，，
所以的取值范圍為.
（3）由（1）（2）可知，函數(shù)，
令，則，
，其圖像拋物線開口向上，對稱軸方程為，
當(dāng)，即時(shí)，最小值為，解得（舍去）；
當(dāng)，即時(shí)，最小值為，解得或（舍去）；
當(dāng)，即時(shí)，最小值為.
綜上可知，.
17．(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）用正弦定理邊化角，再利用和差化積公式與誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，得，從而用等量關(guān)系即可得證；
（2）由（1）知，銳角三角形中，利用角關(guān)系求得角的范圍，再把式子用角的三角函數(shù)來表示并利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡，進(jìn)而用三角函數(shù)的取值范圍即可求解.
【詳解】（1）證明：由條件，根據(jù)正弦定理可得，
，即，
，
又中，
進(jìn)行化簡得，
所以，即或，即（舍去），
所以.
（2）若為銳角三角形，根據(jù)（1），
則，得，
式子，，
由得，又易知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，
所以，
因此.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）由題意計(jì)算，再代入向量模的公式，即可求解；
（2）由向量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為基底表示，再代入數(shù)量積公式，即可求解；
（3）首先求，和，再代入向量的夾角公式，即可求解.
【詳解】（1）
由題意可知，，，
所以，
；
（2），，
則，，
所以，
；
（3），，
根據(jù)（2）的結(jié)果可知，；
；
，
則.
19．(1)①；②
(2).
【分析】（1）①利用正弦定理角化邊，然后利用余弦定理來求解；②利用等面積法列方程，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案；
（2）由（1）結(jié)論可得，設(shè)，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再結(jié)合基本不等式即可求得答案.
【詳解】（1）①由正弦定理得，即，
所以，又，
所以；
②由①，所以三角形的三個(gè)角都小于，
則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知：，
設(shè)，由得：
，整理得，
則
；
（2）因?yàn)椋?br>所以，
所以，即，
所以或，
當(dāng)時(shí)，，為直角三角形，
當(dāng)，
則，
得，在三角形中不可能成立，
所以為的直角三角形，
因?yàn)辄c(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，則，
設(shè)，
則由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，解得時(shí)，等號(hào)成立，
又，即有，解得或（舍去），
故實(shí)數(shù)的最小值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題首先要理解費(fèi)馬點(diǎn)的含義，從而結(jié)合（1）的結(jié)論可解答第二問，解答第二問的關(guān)鍵在于設(shè)，推出，結(jié)合費(fèi)馬點(diǎn)含義，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解.

相關(guān)試卷

高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中模擬卷（二）（人教A版2019必修第二冊）：

這是一份高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中模擬卷（二）（人教A版2019必修第二冊），共19頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中測試02（人教A版2019必修第二冊）：

這是一份2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中測試02（人教A版2019必修第二冊），共21頁。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中測試01（人教A版2019必修第二冊）：

這是一份2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中測試01（人教A版2019必修第二冊），共20頁。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（提高篇）（人教A版2019必修第二冊）

2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（提高篇）（人教A版2019必修第二冊）
2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬卷（新題型）（人教A版2019必修第二冊）

2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬卷（新題型）（人教A版2019必修第二冊）
4高一數(shù)學(xué)必修第二冊期末模擬試卷（新高考版提高卷2）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末高效復(fù)習(xí)（人教A版必修第二冊）

4高一數(shù)學(xué)必修第二冊期末模擬試卷（新高考版提高卷2）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末高效復(fù)習(xí)（人教A版必修第二冊）
（人教A版2019必修第二冊)高一數(shù)學(xué)分層訓(xùn)練AB卷 高一下冊數(shù)學(xué)期中模擬卷（必修二前三章）（原卷版+解析）

（人教A版2019必修第二冊)高一數(shù)學(xué)分層訓(xùn)練AB卷 高一下冊數(shù)學(xué)期中模擬卷（必修二前三章）（原卷版+解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號(hào)注冊
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號(hào)注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部