1．（23-24高一下·浙江·月考）若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則m的值為（ ）
A．B．0C．1D．
2．（22-23高一下·甘肅白銀·期中）如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（ ）
A．B．2C．D．
3．（23-24高一下·河北滄州·月考）已知向量滿足，且，則（ ）
A．1B．2C．D．
4．（22-23高一下·福建廈門·期中）設(shè)l是直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
5．（23-24高一下·山東濱州·開學(xué)考試）已知和是兩個(gè)不共線的向量，若，，，且，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高一下·浙江·月考）在中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
7．（22-23高一下·江蘇淮安·月考）在正方體中，E是的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC所成角的余弦值是（ ）
A．0B．C．D．
8．（23-24高一下·廣東珠海·月考）在銳角中，若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．（23-24高一下·山東泰安·月考）已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．若，則
C．D．若，則
10．（22-23高一下·河南洛陽·月考）如圖，垂直于以為直徑的圓所在的平面，點(diǎn)是圓周上異于、的任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A．B．
C．平面D．平面平面
11．（23-24高一下·重慶巴南·月考）中，下列說法正確的是（ ）
A．若，則為銳角三角形．
B．若，則點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心．
C．若為重心，則
D．若點(diǎn)滿足，則
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（22-23高一下·黑龍江牡丹江·期中）已知圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為，母線長(zhǎng)為10，則圓臺(tái)的體積為 .
13．（23-24高一下·寧夏銀川·月考）鐘樓是銀川二中校園的一大特色建筑，每逢新年，悠揚(yáng)深遠(yuǎn)的鐘聲都會(huì)為大家祈福．小藍(lán)為了測(cè)量鐘樓的高度AB，采取了以下方法：在校園內(nèi)D點(diǎn)處測(cè)得塔頂A點(diǎn)處的仰角為45°，后退36.8米后，在F點(diǎn)處測(cè)得塔頂A點(diǎn)處的仰角為30°，已知小藍(lán)的眼睛距離地面高度為米，則鐘樓高度AB約為 米．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：）．
14．（23-24高一下·福建泉州·月考）如圖，在中，已知，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，且，直線與相交于點(diǎn)，則 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）（22-23高一下·福建龍巖·期中）已知復(fù)數(shù)，．
（1）當(dāng)m取何值時(shí)，z為純虛數(shù)？
（2）當(dāng)時(shí)，求的值．
16．（15分）（22-23高一下·陜西榆林·期中）已知向量.
（1）求；
（2）設(shè)的夾角為，求的值；
（3）若向量與互相垂直，求的值.
17．（15分）（22-23高一下·湖南·期中）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，D是AC邊上的點(diǎn)，.
（1）求的大??；
（2）若，，求BC的長(zhǎng).
18．（17分）（22-23高一下·浙江嘉興·期中）如圖，在正三棱柱中，分別是，，的中點(diǎn).
（1）求證：B，C，H，G四點(diǎn)共面；
（2）求證：平面；
（3）若底面邊長(zhǎng)為2，，求三棱錐的體積.
19．（17分）（23-24高一下·廣東韶關(guān)·月考）個(gè)有次序的實(shí)數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)維向量，其中稱為該向量的第個(gè)分量.特別地，對(duì)一個(gè)維向量，若，，稱為維信號(hào)向量.設(shè)，，則和的內(nèi)積定義為，且.
（1）直接寫出4個(gè)兩兩垂直的4維信號(hào)向量；
（2）證明：不存在14個(gè)兩兩垂直的14維信號(hào)向量；
（3）已知個(gè)兩兩垂直的2024維信號(hào)向量滿足它們的前個(gè)分量都是相同的，求證：.
參考答案
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．
1．（23-24高一下·浙江·月考）若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則m的值為（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】B
【解析】由可得，又m為整數(shù)，所以.故選：B.
2．（22-23高一下·甘肅白銀·期中）如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形，且，，則該平面圖形的高為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】在直角梯形中，，，
則，
直角梯形對(duì)應(yīng)的原平面圖形為如圖中直角梯形，
，
所以該平面圖形的高為.故選：C.
3．（23-24高一下·河北滄州·月考）已知向量滿足，且，則（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以?br>故.故選：B
4．（22-23高一下·福建廈門·期中）設(shè)l是直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
【答案】B
【解析】對(duì)于A，若相交，令，
當(dāng)，且時(shí)，滿足，，顯然不平行，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，則存在直線，使得，而，則，因此，B正確；
對(duì)于C，若，令，當(dāng)且時(shí)，滿足，而與不平行，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，令，當(dāng)，時(shí)，有，
此時(shí)或，與不垂直，D錯(cuò)誤．故選：B
5．（23-24高一下·山東濱州·開學(xué)考試）已知和是兩個(gè)不共線的向量，若，，，且，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，且，，三點(diǎn)共線，
所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，
則，解得.故選：B
6．（23-24高一下·浙江·月考）在中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】B
【解析】對(duì)于A，已知三角形三邊，且任意兩邊之和大于第三邊，
任意兩邊之差小于第三邊，從而可由余弦定理求內(nèi)角，只有一解，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，根據(jù)正弦定理得，，
又，，B有兩解，故B符合題意；
對(duì)于C，由正弦定理：得：，
C只有一解，故C不符合題意.
對(duì)于D，根據(jù)正弦定理得，，
又，，D只有一解，故D不符合題意.故選：B
7．（22-23高一下·江蘇淮安·月考）在正方體中，E是的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC所成角的余弦值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【解析】取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)?/，且，則為平行四邊形，可得//，
又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則//，所以//，
故異面直線DE與AC所成角為（或的補(bǔ)角），
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，
在中，由余弦定理，
所以異面直線DE與AC所成角的余弦值是.故選：D.
8．（23-24高一下·廣東珠海·月考）在銳角中，若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由得，
在中，由余弦定理，得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，則；
當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，則，，
所以，即，所以，
因?yàn)殇J角中，，則，故，而，
則，所以；
綜上，.故選：B．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．（23-24高一下·山東泰安·月考）已知復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的有（ ）
A．B．若，則
C．D．若，則
【答案】ACD
【解析】設(shè)，
對(duì)于A，，，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br>則，則或，
所以中至少有一個(gè)0，即或，故選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于C，由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)可知，
，=，
所以，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D，當(dāng)，則，
可得，解得，即，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.
10．（22-23高一下·河南洛陽·月考）如圖，垂直于以為直徑的圓所在的平面，點(diǎn)是圓周上異于、的任一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A．B．
C．平面D．平面平面
【答案】BD
【解析】因?yàn)槠矫?，平面，所以，?br>因?yàn)辄c(diǎn)是以為直徑的圓上且異于、的任一點(diǎn)，，則，
因?yàn)椋?、平面，所以，平面?br>因?yàn)槠矫?，所以，平面平面，B對(duì)D對(duì)；
因?yàn)槠矫妫矫?，則，則為銳角，
即與不垂直，故與平面不垂直，C錯(cuò)；
若，又因?yàn)?，，、平面?br>所以，平面，與C選項(xiàng)矛盾，A錯(cuò).故選：BD.
11．（23-24高一下·重慶巴南·月考）中，下列說法正確的是（ ）
A．若，則為銳角三角形．
B．若，則點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心．
C．若為重心，則
D．若點(diǎn)滿足，則
【答案】BCD
【解析】選項(xiàng)A：若，則，因此角為銳角，
但不一定為銳角三角形，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：因?yàn)榉謩e表示方向上的單位向量，
所以的方向與的角平分線一致．
若，則的方向與的角平分線一致，
所以點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心，故B正確；
選項(xiàng)C：若為的重心，設(shè)邊的中點(diǎn)為，
則，故C正確；

選項(xiàng)D：設(shè)的中點(diǎn)為，若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)為外心，
于是有．又，
則
，故D正確．
故選：BCD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．（22-23高一下·黑龍江牡丹江·期中）已知圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為，母線長(zhǎng)為10，則圓臺(tái)的體積為 .
【答案】
【解析】設(shè)上底面半徑為，則下底面半徑為，高為，
因?yàn)槟妇€長(zhǎng)為10，所以，解得，
所以下底面半徑為，高，
則體積.
13．（23-24高一下·寧夏銀川·月考）鐘樓是銀川二中校園的一大特色建筑，每逢新年，悠揚(yáng)深遠(yuǎn)的鐘聲都會(huì)為大家祈福．小藍(lán)為了測(cè)量鐘樓的高度AB，采取了以下方法：在校園內(nèi)D點(diǎn)處測(cè)得塔頂A點(diǎn)處的仰角為45°，后退36.8米后，在F點(diǎn)處測(cè)得塔頂A點(diǎn)處的仰角為30°，已知小藍(lán)的眼睛距離地面高度為米，則鐘樓高度AB約為 米．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：）．
【答案】
【解析】由已知得，
因?yàn)樗?，即，解得?br>所以鐘樓高度AB約為米.
14．（23-24高一下·福建泉州·月考）如圖，在中，已知，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，且，直線與相交于點(diǎn)，則 ．
【答案】
【解析】因?yàn)?三點(diǎn)共線，且，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
所以存在實(shí)數(shù)x滿足，
又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
所以，而，
且，
所以
.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）（22-23高一下·福建龍巖·期中）已知復(fù)數(shù)，．
（1）當(dāng)m取何值時(shí)，z為純虛數(shù)？
（2）當(dāng)時(shí)，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）若為純虛數(shù)，則，解得.
（2）當(dāng)時(shí)，，所以，
所以.
16．（15分）（22-23高一下·陜西榆林·期中）已知向量.
（1）求；
（2）設(shè)的夾角為，求的值；
（3）若向量與互相垂直，求的值.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br>（2）的夾角為，則；
（3）因?yàn)?，所以，?br>由向量與互相垂直得，，
所以，化簡(jiǎn)得，解得.
17．（15分）（22-23高一下·湖南·期中）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，D是AC邊上的點(diǎn)，.
（1）求的大?。?br>（2）若，，求BC的長(zhǎng).
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由正弦定理以及已知可得，，
整理可得，.
由余弦定理可得，.
又，所以.
（2）在中，由余弦定理可得，.
在中，由余弦定理可得，.
又，所以，
即，整理可得.
因?yàn)椋?br>在中，由余弦定理可得，，
即，
整理可得，.
聯(lián)立可得.所以，.
18．（17分）（22-23高一下·浙江嘉興·期中）如圖，在正三棱柱中，分別是，，的中點(diǎn).
（1）求證：B，C，H，G四點(diǎn)共面；
（2）求證：平面；
（3）若底面邊長(zhǎng)為2，，求三棱錐的體積.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）
【解析】（1）∵G，H分別是，的中點(diǎn)，
∴GH是的中位線，∴，
又在三棱柱中， ，
∴，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．
（2）∵在三棱柱中，，，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，∴，
∵平面，平面，∴平面
（3）由題意，知 ．
19．（17分）（23-24高一下·廣東韶關(guān)·月考）個(gè)有次序的實(shí)數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)維向量，其中稱為該向量的第個(gè)分量.特別地，對(duì)一個(gè)維向量，若，，稱為維信號(hào)向量.設(shè)，，則和的內(nèi)積定義為，且.
（1）直接寫出4個(gè)兩兩垂直的4維信號(hào)向量；
（2）證明：不存在14個(gè)兩兩垂直的14維信號(hào)向量；
（3）已知個(gè)兩兩垂直的2024維信號(hào)向量滿足它們的前個(gè)分量都是相同的，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析
【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合維向量的定義，
則兩兩垂直的4維信號(hào)向量可以為：.
（2）假設(shè)存在14個(gè)兩兩垂直的14維信號(hào)向量，
因?yàn)閷⑦@14個(gè)向量的某個(gè)分量同時(shí)變號(hào)或?qū)⒛硟蓚€(gè)位置的分量同時(shí)互換位置，
任意兩個(gè)向量的內(nèi)積不變，
所以不妨設(shè)，
因?yàn)?，所以?個(gè)分量為，
設(shè)的前7個(gè)分量中有個(gè)，則后7個(gè)分量中有個(gè)，
所以，可得，矛盾，
所以不存在14個(gè)兩兩垂直的14維信號(hào)向量.
（3）任取，計(jì)算內(nèi)積，將所有這些內(nèi)積求和得到，
則，設(shè)的第個(gè)分量之和為，
則從每個(gè)分量的角度考慮，每個(gè)分量為的貢獻(xiàn)為，
所以，
令所以，所以.

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