注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2．測(cè)試范圍：人教版2019必修第二冊(cè)第六章、第七章
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知平面向量與的夾角為，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a＝2，，，則b＝（ ）
A．4 B．3 C．2或4 D．2或3
4．如圖，正方形中，是的中點(diǎn)，若，則（ ）
A．B．C． D．
5．在中，分別根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
6．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且的面積，，則（ ）
A．B．C．D．
7．設(shè)，則等于（ ）
A．9B．10C．11D．12
8．向量的廣義坐標(biāo)是用于描述向量或系統(tǒng)狀態(tài)的一組數(shù)值，其選擇取決于問(wèn)題的特定背景和需求．在物理學(xué)、工程學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等領(lǐng)域，廣義坐標(biāo)被廣泛應(yīng)用．比如，物理學(xué)中的振動(dòng)系統(tǒng)可能采用角度作為廣義坐標(biāo)，而工程學(xué)中的結(jié)構(gòu)分析可能使用特定坐標(biāo)系來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題．通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo)，可以更自然地描述問(wèn)題，簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)表達(dá)，提高問(wèn)題的可解性，并使模型更符合實(shí)際場(chǎng)景．已知向量，是平面內(nèi)的一組基向量，O為內(nèi)的定點(diǎn)．對(duì)于內(nèi)任意一點(diǎn)P，若，則稱有序?qū)崝?shù)對(duì)為點(diǎn)P的廣義坐標(biāo)．若點(diǎn)A，B的廣義坐標(biāo)分別為，，關(guān)于下列命題正確的（ ）
A．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)不一定為
B．A，B兩點(diǎn)間的距離為
C．若向量平行于向量，則的值不一定為0
D．若線段的中點(diǎn)為C，則點(diǎn)C的廣義坐標(biāo)為
選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0
9．復(fù)數(shù)，其共軛復(fù)數(shù)為，則下列敘述正確的是（ ）
A．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第四象限B．是一個(gè)純虛數(shù)
C．D．
10．已知向量，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．的相反向量是 B．若，則
C．在上的投影向量為 D．若，則
11．如圖，在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，且是外一點(diǎn)，，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．是等邊三角形 B．若，則四點(diǎn)共圓
C．四邊形面積的最小值為 D．四邊形面積的最大值為
三．填空題 本題共3小題，每小題5分，共15分
12．已知向量，且，則向量與的夾角為 ．
13．在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3＋i，將向量繞點(diǎn)A按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，并將模擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，得向量，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 .
14．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，，且，則周長(zhǎng)的取值范圍為 ．
四．解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟
15．（13分）如圖，在中，已知，，，，分別為，上的兩點(diǎn)，，，相交于點(diǎn)．

(1)求的值；
(2)求證：．
16．（15分）在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，i是虛數(shù)單位.
(1)，計(jì)算與；
(2)設(shè)，求證：，并指出向量滿足什么條件時(shí)該不等式取等號(hào).
17．（15分）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，．
(1)若，求；
(2)若是銳角三角形，，求的取值范圍．
18．（17分）如圖：在中，已知與交于點(diǎn)．

(1)用向量表示向量；
(2)過(guò)點(diǎn)作直線，分別交線段于點(diǎn)，設(shè)，若，，當(dāng)取得最小值時(shí)，求模長(zhǎng)．
19．（17分）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為.在甲出發(fā)2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路AC長(zhǎng)為1260m，經(jīng)測(cè)量，，.

(1)求索道AB的長(zhǎng)；
(2)問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？
(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3min，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？
參考答案：
1．B
【分析】
根據(jù)向量的數(shù)量積公式及模長(zhǎng)公式直接求解.
【詳解】
由，得，
又，
所以，
所以，
所以，
故選：B.
2．C
【分析】
根據(jù)題意，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.
【詳解】由復(fù)數(shù)，可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.
故選：C.
3．C
【分析】
根據(jù)余弦定理，即可求解.
【詳解】
由余弦定理，得，
即，解得或.
故選：C.
4．AB
【分析】
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)形式可求，，故可得正確的選項(xiàng).
【詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，
則，則.
故，，，故，
解得，故，，，
故選： AB.
5．B
【分析】
由余弦定理可判定選項(xiàng)A，利用正弦定理和大邊對(duì)大角可判斷選項(xiàng)B，C，D.
【詳解】對(duì)于A，已知三角形三邊，且任意兩邊之和大于第三邊，
任意兩邊之差小于第三邊，從而可由余弦定理求內(nèi)角，只有一解，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，根據(jù)正弦定理得，，
又，，B有兩解，故B符合題意；
對(duì)于C，由正弦定理：得：，
C只有一解，故C不符合題意.
對(duì)于D，根據(jù)正弦定理得，，
又，，D只有一解，故D不符合題意.
故選：B
6．D
【分析】
根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理，以及三角形的面積公式，即可求解．
【詳解】
解：的面積，
，
，
則，
，
，
，
，，，
，
．
故選：D．
7．C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解可得，結(jié)合可求前者的值.
【詳解】根據(jù)題意，w是方程的單位根，因此有．
設(shè)，其中，
所以
．
故選：C.
8．D
【分析】
根據(jù)廣義坐標(biāo)的定義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、平面向量共線性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，，設(shè)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則，
因?yàn)?，不共線，所以，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)向量，是相互垂直的單位向量時(shí)，，兩點(diǎn)間的距離為，否則距離不為，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)與中至少一個(gè)是時(shí)，結(jié)論成立；
當(dāng)與都不為時(shí)，設(shè)（），有，即，所以，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，
所以線段中點(diǎn)的廣義坐標(biāo)為，D正確
故選：D
9．BCD
【分析】
根據(jù)題意，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】
由題意，復(fù)數(shù)，
對(duì)于A項(xiàng)：，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第一象限，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)：為純虛數(shù)，所以B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)：，所以C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)：，所以D項(xiàng)正確.
故選：BCD．
10．AC
【分析】
根據(jù)相反向量定義以及投影向量的公式計(jì)算可以判斷AC，計(jì)算，由向量垂直以及向量共線的運(yùn)算法則計(jì)算可求出的值，從而判斷BD.
【詳解】對(duì)于A，由相反向量的定義，即可得到的相反向量是，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋裕?br>又，且，所以，解得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，所以，?br>所以在上的投影向量為，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，又，且?br>所以，解得，故D錯(cuò)誤．
故選：AC.
11．ABD
【分析】對(duì)于A，根據(jù)正弦定理、兩角和的正弦公式有，即，結(jié)合，即即可判斷；對(duì)于B，在中，由余弦定理求得，結(jié)合，可得兩個(gè)角互補(bǔ)，由此即可判斷；對(duì)于CD，由三角形面積公式、輔助角公式得四邊形面積的表達(dá)式，結(jié)合角的范圍即可判斷.
【詳解】，
根據(jù)正弦定理得，即，
，顯然，則，根據(jù)題意，有，
又，可得為等邊三角形，故A正確；
，在中，，
當(dāng)時(shí)，，即共圓，B正確.
又
四邊形面積
，
，則，
所以四邊形的面積沒(méi)有最小值，C錯(cuò)誤.
當(dāng)，即時(shí)，四邊形面積取最大值，故D正確.
故選：ABD.
12．
【分析】
利用向量夾角公式可求向量與的夾角.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>故，故，故，
而，故，
故答案為：.
13．/
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的表示，結(jié)合復(fù)數(shù)加減法的幾何意義即可求解.
【詳解】
對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，并將模擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，
即可得對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為
設(shè)點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則，故.
故答案為：
14．
【分析】根據(jù)余弦定理結(jié)合基本不等式求出，再結(jié)合三角形中兩邊之和大于第三邊得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>由余弦定理得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．
∴，∴，
又因?yàn)?，所以?br>即周長(zhǎng)取值范圍為.
故答案為：.
15．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】
（1）用、表示，再根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算可得；
（2）用、表示、，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，即可得證.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以；
（2）
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，即，所以．
16．(1)，；
(2)證明見(jiàn)解析，
【分析】
（1）利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可得，再由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，即可計(jì)算出；
（2）利用復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)律分別求出的平方，利用作差法可得，此時(shí)需滿足.
【詳解】（1）根據(jù)可得，
；
且，所以.
（2）因?yàn)椋?br>所以，
可得；
因?yàn)椋?br>所以，
因此，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)向量滿足.
17．(1)；
(2)
【分析】
（1）由余弦定理求得，則，再次利用余弦定理即可得解；
（2）利用正弦定理可得，再利用三角恒等變換結(jié)合角的范圍即可得解.
【詳解】（1）
在中，由余弦定理得，
即，而，解得，
則，
在中，，
由余弦定理得．
（2）
在銳角中，，且，則，
由正弦定理得，
顯然，即有，因此，即，
所以的取值范圍是
18．(1)
(2)5
【分析】
（1）設(shè)，將向量分別用和表示，根據(jù)三點(diǎn)共線可求的值；；
（2）將向量用表示，由三點(diǎn)共線，可得，由基本不等式可解.
【詳解】（1）
設(shè)，將代入，
得,因?yàn)槿c(diǎn)共線，且三點(diǎn)共線，
所以，得
即．
（2）
，
則，因?yàn)槿c(diǎn)共線，
則，即
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)．
此時(shí)
.
19．(1)1040m
(2)
(3)
【分析】
（1）先求得，然后由正弦定理求得.
（2）假設(shè)乙出發(fā)后，甲、乙兩游客距離為d，利用余弦定理列方程，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值.
（3）根據(jù)“兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3min”列不等式，由此求得乙步行的速度的范圍.
【詳解】（1）由題意，，顯然，，
在中，，
由正弦定理，可得，解得.
所以，索道AB的長(zhǎng)為1040m.
（2）假設(shè)乙出發(fā)后，甲、乙兩游客距離為d，
此時(shí)甲行走了，乙距離A處，
由余弦定理得
，
因?yàn)?，即?br>則當(dāng)時(shí)，甲、乙兩游客之間距離最短.
（3）
由正弦定理，得，
乙從B出發(fā)時(shí)，甲已走了，還需要走710m才能到達(dá)C，
設(shè)乙步行的速度為，
由題意得，
所以為了使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3min，
乙步行的速度應(yīng)控制在（單位：）范圍之內(nèi).

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