注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．測試范圍：人教版2019必修第二冊第六章、第七章
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．在中，，，，則角B的值為（ ）
A．B．C．D．
2．下面給出的關(guān)系式中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知復(fù)數(shù)，則“”是“的實部小于0”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
4．已知為所在平面上一點，若，，，則（ ）
A．B．C．D．
5．在中，分別是角的對邊，若，則的值為（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
6．已知a，b均為實數(shù)，復(fù)數(shù)：，其中i為虛數(shù)單位，若，則a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．鼎湖峰，矗立于浙江省縉云縣仙都風(fēng)景名勝區(qū)，狀如春筍拔地而起，其峰頂鑲嵌著一汪小湖，傳說黃帝煉丹鼎墜積水成湖．白居易曾以詩賦之：“黃帝旌旗去不回，片云孤石獨崔嵬．有時風(fēng)激鼎湖浪，散作晴天雨點來”．某校開展數(shù)學(xué)建模活動，有建模課題組的學(xué)生選擇測量鼎湖峰的高度，為此，他們設(shè)計了測量方案．如圖，在山腳A測得山頂P得仰角為，沿傾斜角為的斜坡向上走了90米到達B點（A，B，P，Q在同一個平面內(nèi)），在B處測得山頂P得仰角為，則鼎湖峰的山高PQ為（ ）米
A．B．
C．D．
8．已知向量滿足：為單位向量，且和相互垂直，又對任意不等式恒成立，若，則的最小值為（ ）
A．1B．C．D．
選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0
9．已知，，是方程的三個互不相等的復(fù)數(shù)根，則（ ）
A．可能為純虛數(shù)
B．，，的虛部之積為
C．
D．，，的實部之和為2
10．已知單位向量，的夾角為，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A．
B．在方向上的投影向量為
C．若，則
D．若，則
11．已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，下面四個結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則為等腰三角形
B．在銳角中，不等式恒成立
C．若，，且有兩解，則b的取值范圍是
D．若，的平分線交于點D，，則的最小值為9
三．填空題 本題共3小題，每小題5分，共15分
12．已知向量，，若，則正數(shù)的值為 .
13．設(shè)集合，，則 ．
14．四邊形ABCD中，，，，設(shè)△ABD與△BCD的面積分別為，，則的最大值為 .
四．解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟
15．（13分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求a，c的值；
(2)求的值．
16．（15分）設(shè)虛數(shù)z滿足.
(1)計算的值；
(2)是否存在實數(shù)a，使？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.
17．（15分）如圖，在中，D是BC中點，E在邊AB上，且，AD與CE交于點O．
(1)用，表示；
(2)過點O作直線交線段AB于點G，交線段AC于點H，且，，求t的值；
(3)若，求的值．
18．（17分）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊為a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面積為；
①已知E為BC的中點，求底邊BC上中線AE長的最小值；
②求內(nèi)角A的角平分線AD長的最大值．
19．（17分）個有次序的實數(shù)所組成的有序數(shù)組稱為一個維向量，其中稱為該向量的第個分量.特別地，對一個維向量，若，，稱為維信號向量.設(shè)，，則和的內(nèi)積定義為，且.
(1)直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量；
(2)證明：不存在14個兩兩垂直的14維信號向量；
(3)已知個兩兩垂直的2024維信號向量滿足它們的前個分量都是相同的，求證：.
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.
【詳解】在中，，，，
由正定理得：，
由于，所以
故選：A
2．AD
【分析】
由向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)及運算律即可得出答案.
【詳解】對：由可得，而，故A說法正確；
對B：取，則成立，但不一定成立，故B說法錯誤；
對C：表示與共線的向量，而表示與共線的向量，所以不一定成立，故C說法錯誤；
對D：因為，故，故D說法正確.
故選：AD.
3．B
【分析】考查的實部小于0的充要條件，結(jié)合集合關(guān)系進行判斷.
【詳解】因為
若其實部小于0，則，即，
顯然是的必要不充分條件，
則“”是“的實部小于0”的必要不充分條件，
故選：B.
4．B
【分析】
利用三角形五心的向量表示可判斷得為等邊三角形，從而利用數(shù)量積的定義運算即可得解.
【詳解】
因為，所以為的外心，
又因為，所以為的重心，
所以為等邊三角形，又，
則.
故選：B.
5．C
【分析】
利用正弦定理和余弦定理結(jié)合三角變換公式可求三角函數(shù)式的值.
【詳解】由正弦定理可得，由余弦定理可得，
故
，
故選：C.
6．A
【分析】
由復(fù)數(shù)為實數(shù)及不等關(guān)系列不等式，解一元二次不等式即可.
【詳解】
由題，所以為實數(shù)，即，
則有，解得，即a的取值范圍為.
故選：A
7．B
【分析】在中，利用正弦定理求，進而在中求山的高度.
【詳解】在中，則,
因為，
且，
則，
在中，則.
故選：B.
8．D
【分析】
根據(jù)已知由向量垂直可得的模，再由不等式恒成立，結(jié)合圖象可得，從而可得，接下來方法一，直接對進行平方化簡，由二次函數(shù)最值可解；方法二，由三點共線基本定理，結(jié)合三角形面積公式和余弦定理可解.
【詳解】
和相互垂直，
則，則，
結(jié)合圖象，，
則 ，
因為恒成立，則，
即，則，
法（一）：
對稱軸時：
，即
法（二）：，因為，
所以向量的終點共線（起點重合），
則的面積，
，所以.
故選:．

【點睛】
關(guān)鍵點點睛：數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)，，則 ，因為恒成立，則.
9．ABD
【分析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)的模等知識容易求解.
【詳解】因為，其三個不同的復(fù)數(shù)根為：，，
當(dāng)時，此時為純虛數(shù)，故A正確；
因為三個根的虛部分別為1，，，三個虛部乘積為，故B正確；
根據(jù)模長定義，，故C不正確；
因為三個根的實部分別為0，1，1，三個實部之和為2，故D正確.
故選：ABD.
10．AB
【分析】
由題意可得，根據(jù)可判斷A；根據(jù)在方向上的投影向量為可判斷B；根據(jù)可判斷C；根據(jù)數(shù)量積的運算律可判斷D.
【詳解】
因為，都是單位向量，所以，
所以，即，故A正確；
在方向上的投影向量為，故B正確；
若，則，即，即，
因為，所以，故C錯誤；
若，則，
所以，即，故D錯誤.
故選：AB
11．BCD
【分析】A項，用余弦定理統(tǒng)一成邊形式化簡判斷；B項， 由為銳角三角形，與正弦函數(shù)的單調(diào)性可得；C項，結(jié)合圖形，根據(jù)邊角的關(guān)系與解的數(shù)量判斷；D項，根據(jù)三角形面積可得到，將變?yōu)?，展開后利用基本不等式，即可求得答案.
【詳解】選項A，因為，即，
所以有
整理可得，所以或，
故為等腰三角形或直角三角形，故A錯誤；
選項B，若為銳角三角形，所以，所以，
由正弦函數(shù)在單調(diào)遞增，則，故B正確.
選項C，如圖，若有兩解，則，
所以，則b的取值范圍是，故C正確．
選項D，的平分線交于點D，，
由，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，
得，
即，得，
得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，故D正確.
故選：BCD.
12．1
【分析】
根據(jù)向量垂直的坐標形式可得的方程，故可得正數(shù)的值.
【詳解】
由題意得，，，
，解得（舍去）或.
故答案為：.
13．
【分析】
解出集合，按照集合的交運算進行運算即可.
【詳解】∵，
∴．
∵，∴，
∴，∴．
∴．
故答案為：.
14．/
【分析】根據(jù)正弦定理得，再結(jié)合余弦定理及基本不等式得，得，設(shè)，由，可求得，從而可求解.
【詳解】
因為，由正弦定理得，
所以，即，因為，所以，，，
所以，，
由余弦定理得，所以，當(dāng)時取等號，
所以，
設(shè)，則，在中由余弦定理得
，
所以，
當(dāng)時，取得最大值，
所以的最大值為.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，
常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；
②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；
③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.
15．(1)
(2)
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理即可求解，
（2）由余弦定理結(jié)合同角關(guān)系即可求解.
【詳解】（1）由已知及正弦定理得，
又，．
（2）由余弦定理可得．
．
16．(1)
(2)存在，
【分析】
（1）首先設(shè)復(fù)數(shù)的標準形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的運算公式，化解求解；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算公式，化簡，即可判斷.
【詳解】（1）設(shè)且，則，
因為，
所以，
所以，
所以，所以，
所以；
（2）存在滿足題意.
設(shè)且，假設(shè)存在實數(shù)a使，
則有，
所以，因為，所以，
得
所以存在實數(shù)，滿足.
17．(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）由E，O，C三點共線，得，又，從兩個角度用，表示，從而得的值得解；
（2）因為H，O，G三點共線，所以，轉(zhuǎn)化為用，表示，可得的值；
（3）用，表示，從而進行數(shù)量積運算.
【詳解】（1）因為A，O，D三點共線，所以，，且E，O，C三點共線，
所以存在實數(shù)，使，其中D是BC中點，且，
所以
即
解得，，
所以．
（2）因為H，O，G三點共線，所以存在實數(shù)，使，
其中，，所以，
根據(jù)平面向量基本定理可得：即，
所以．
（3）
，
整理可得：，所以．
18．(1)
(2)長的最小值為，的最大值
【分析】
（1）由正弦定理和余弦定理得到，進而求出；
（2）由面積公式求出，進而根據(jù)向量的模長公式結(jié)合不等式即可求解的最值，根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合等面積法，利用基本不等式可求解的最值.
【詳解】（1）
由正弦定理，得，即，
故，
因為，所以，
所以；
（2）
①由（1）知，
因為的面積為，所以，解得，
由于，所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號取得到，所以；
②因為為角的角平分線，所以，
由于，
所以，
由于,所以，
由于，
又，所以
由于，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號取得到，
故，故，
19．(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)題意，結(jié)合兩兩垂直的定義，即可求解；
（2）根據(jù)題意，不妨設(shè)，得到有7個分量為，設(shè)的前7個分量中有個，得到7個分量中有個，進而求得的值，即可求解；
（3）任取，得到，設(shè)的第個分量之和為，結(jié)合，列出不等式，即可求解.
【詳解】（1）根據(jù)題意，結(jié)合維向量的定義，
則兩兩垂直的4維信號向量可以為：.
（2）假設(shè)存在14個兩兩垂直的14維信號向量，
因為將這14個向量的某個分量同時變號或?qū)⒛硟蓚€位置的分量同時互換位置，任意兩個向量的內(nèi)積不變，
所以不妨設(shè)，
因為，所以有7個分量為，
設(shè)的前7個分量中有個，則后7個分量中有個，
所以，可得，矛盾，
所以不存在14個兩兩垂直的14維信號向量.
（3）任取，計算內(nèi)積，將所有這些內(nèi)積求和得到，
則，設(shè)的第個分量之和為，
則從每個分量的角度考慮，每個分量為的貢獻為，
所以，
令所以，所以.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題以新定義為背景考查向量的運算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給線性相關(guān)的定義進行運算判斷.

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