一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
2．在中，，則的面積是（ ）
A．B．C．12D．
3．按斜二測(cè)畫法得到，如圖所示，其中，，那么的形狀是（ ）
A．等邊三角形B．直角三角形
C．腰和底邊不相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形
4．蒙古包（Mnglianyurts）是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活，蒙古包古代稱作穹廬?氈包或氈帳.已知蒙古包的造型可近似的看作一個(gè)圓柱和圓錐的組合體，已知圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面圓的面積為平方米，則該蒙古包（含底面）的表面積為（ ）
A．平方米B．平方米
C．平方米D．平方米
5．正方形的邊長(zhǎng)為2，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，則（ ）
A．4B．3C．D．
6．如圖，在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作直線分別交于點(diǎn)，，且，則的最小值為（ ）

A．1B．2C．4D．
7．已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都等于2，則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
8．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且的面積為，AB的中點(diǎn)為D，則CD的最小值為（ ）
A．B．2C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分
9．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．
B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限
C．
D．為純虛數(shù)
10．已知向量，則（ ）
A．若，則B．若，則
C．的最大值為5D．若，則
11．如圖，的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，，.若，且，是外一點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（ ）

A．是等邊三角形
B．若，則四點(diǎn)共圓
C．四邊形面積最大值為
D．四邊形面積最小值為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.
12．已知向量，均為單位向量，且，，則實(shí)數(shù) ．
13．如圖所示的雕塑組合：下面是棱長(zhǎng)為2米的正方體基座，基座上面中心位置安放著一個(gè)大球，陽光從面正前方照射下時(shí)，基座在面正前方地面的影長(zhǎng)是4.8米，此時(shí)大球影子最遠(yuǎn)點(diǎn)伸到距面8.8米處，則大球體積是 ．
14．在復(fù)平面中，已知點(diǎn)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，且滿足，則的最大值為 .
四、解答題：本題共5小題，共計(jì)77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．如圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖，試根據(jù)獎(jiǎng)杯的三視圖計(jì)算：
(1)求下部四棱臺(tái)的側(cè)面積；
(2)求獎(jiǎng)杯的體積．（尺寸如圖，單位：，取3）
16．定義：已知兩個(gè)非零向量與的夾角為.我們把數(shù)量叫做向量與的叉乘的模，記作，即.
(1)若向量，，求；
(2)若平行四邊形的面積為4，求；
(3)若，，求的最小值.
17．已知關(guān)于的二次方程．
(1)當(dāng)為何值時(shí)，這個(gè)方程有一個(gè)實(shí)根？
(2)是否存在，使得原方程有純虛數(shù)根？若存在，求出的值；若不存在，試說明理由．
18．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答問題．
已知a，b，c是的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且______．
(1)求；
(2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍．
19．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).
（1）設(shè)函數(shù)，試求的相伴特征向量；
（2）記向量的相伴函數(shù)為，求當(dāng)且，的值；
（3）已知，，為的相伴特征向量，，請(qǐng)問在的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得.若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
期中押題預(yù)測(cè)卷02
（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所?
故選：B
2．在中，，則的面積是（ ）
A．B．C．12D．
【答案】B
【詳解】
在△ABC中，∵ AB＝5，BC＝6，AC＝7，則由余弦定理可得49＝25＋36－2×5×6×cs B，求得cs B＝，∴ sin B＝＝，故△ABC的面積為·AB·BC·sin B＝×5×6×＝6.
3．按斜二測(cè)畫法得到，如圖所示，其中，，那么的形狀是（ ）
A．等邊三角形B．直角三角形
C．腰和底邊不相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形
【答案】A
【分析】根據(jù)直觀圖得原圖，計(jì)算可得答案.
【詳解】原如圖所示：

由斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知，，，，
所以，故為等邊三角形.
故選：A．
4．蒙古包（Mnglianyurts）是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活，蒙古包古代稱作穹廬?氈包或氈帳.已知蒙古包的造型可近似的看作一個(gè)圓柱和圓錐的組合體，已知圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面圓的面積為平方米，則該蒙古包（含底面）的表面積為（ ）
A．平方米B．平方米
C．平方米D．平方米
【答案】A
【分析】由題意可求出底面圓的半徑，即可求出圓錐的母線長(zhǎng)，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式以及圓柱的側(cè)面積公式結(jié)合圓的面積公式，即可求得答案.
【詳解】由題意知圓錐的高為2米，圓柱的高為3米，底面圓的面積為平方米，
設(shè)底面圓的半徑為r，則，
則圓錐的母線長(zhǎng)為（米），
故該蒙古包（含底面）的表面積為（平方米），
故選：A
5．正方形的邊長(zhǎng)為2，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是的中點(diǎn)，則（ ）
A．4B．3C．D．
【答案】D
【分析】借助平面向量的線性運(yùn)算與平面向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可得.
【詳解】
.
故選：D.
6．如圖，在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作直線分別交于點(diǎn)，，且，則的最小值為（ ）

A．1B．2C．4D．
【答案】A
【分析】計(jì)算得，再利用三點(diǎn)共線結(jié)論得系數(shù)和為1，即，再利用基本不等式求出最值即可.
【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且，
所以.
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
即，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
故選：A.
7．已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都等于2，則該四棱錐的內(nèi)切球的表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
求出棱錐的高，進(jìn)而得到棱錐體積，設(shè)出內(nèi)切球半徑，根據(jù)體積得到方程，求出半徑，進(jìn)而得到表面積.
【詳解】
設(shè)內(nèi)切球的半徑為的中點(diǎn)為，則⊥平面，
因?yàn)樗睦忮F的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以，
因?yàn)?，由勾股定理得?br>故棱錐的體積為，棱錐的表面積為，
設(shè)內(nèi)切球的半徑為，

則由等體積法可得，解得，
所以．
故選：A
8．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且的面積為，AB的中點(diǎn)為D，則CD的最小值為（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理和三角恒等變換求出，再利用三角形面積公式，結(jié)合余弦定理和基本不等式計(jì)算即可求解.
【詳解】在中，由及正弦定理，得，
即，，
整理得，而，
于是或，又，因此即，則，
又，則，D為AB的中點(diǎn)，
由余弦定理，得，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，而，解得，
所以AD的最小值為.
故選：A
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分
9．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．
B．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限
C．
D．為純虛數(shù)
【答案】ABC
【分析】先利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出，求出其模后可判斷A的正誤，求出其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)后可判斷B的正誤，結(jié)合四則運(yùn)算求出、可判斷CD的正誤.
【詳解】，
故，故，故A正確，
而在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，它在第四象限，故B正確.
，故C正確.
，它不為純虛數(shù)，故D錯(cuò)誤，
故選：ABC.
10．已知向量，則（ ）
A．若，則B．若，則
C．的最大值為5D．若，則
【答案】AD
【分析】
根據(jù)向量共線的坐標(biāo)公式即可判斷A；根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式即可判斷B；根據(jù)向量的模的坐標(biāo)公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C；根據(jù)，求出的關(guān)系，進(jìn)而可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，若，則，所以，故A正確；
對(duì)于B，若，則，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，
，其中，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，則，
即，所以，
所以
，故D正確.
故選：AD.
11．如圖，的內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，，.若，且，是外一點(diǎn)，，，則下列說法正確的是（ ）

A．是等邊三角形
B．若，則四點(diǎn)共圓
C．四邊形面積最大值為
D．四邊形面積最小值為
【答案】AC
【分析】根據(jù)正弦定理及三角恒等變換化簡(jiǎn)條件式可判定A，由余弦定理可判定B，設(shè)，由正弦定理結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判定C、D.
【詳解】由正弦定理，
得，
，
，B是等腰的底角，，
是等邊三角形，A正確；
對(duì)于B，若四點(diǎn)共圓，則四邊形對(duì)角互補(bǔ)，
由A正確知，
但由于時(shí)，
，
∴B不正確.
對(duì)于C、D，設(shè)，則，
，
，
，
，
，
，
，∴C正確，D不正確；
故選：AC.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.
12．已知向量，均為單位向量，且，，則實(shí)數(shù) ．
【答案】
【分析】
根據(jù)垂直關(guān)系的向量表示以及數(shù)量積的運(yùn)算律，將平方后，即可求得答案.
【詳解】由題意知，，故，且，
即，故，
故答案為：
13．如圖所示的雕塑組合：下面是棱長(zhǎng)為2米的正方體基座，基座上面中心位置安放著一個(gè)大球，陽光從面正前方照射下時(shí)，基座在面正前方地面的影長(zhǎng)是4.8米，此時(shí)大球影子最遠(yuǎn)點(diǎn)伸到距面8.8米處，則大球體積是 ．
【答案】
【分析】
畫出投影示意圖，構(gòu)造相似三角形進(jìn)行求解出求得半徑，即可求出答案．
【詳解】過球的中心O作鉛垂面，如圖，設(shè)球的半徑為r，
由，
得，，
，解得，
所以大球的體積．
故答案為：．
14．在復(fù)平面中，已知點(diǎn)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，且滿足，則的最大值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，由，分析得關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以確定，再利用平面向量的三角形法則與數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，將所求問題轉(zhuǎn)化為平面向量數(shù)量積的最值問題.
【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為
且則可確定點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上
又，所以為圓的直徑，即關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
所以
因?yàn)?br>所以
又，，
則
所以
即的最大值為，所以的最大值為.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共計(jì)77分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．如圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖，試根據(jù)獎(jiǎng)杯的三視圖計(jì)算：
(1)求下部四棱臺(tái)的側(cè)面積；
(2)求獎(jiǎng)杯的體積．（尺寸如圖，單位：，取3）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意直接運(yùn)算求解即可；
（2）根據(jù)相關(guān)體積公式分析運(yùn)算.
【詳解】（1）獎(jiǎng)杯底座的側(cè)面梯形的高分別等于和．
故．
（2）
.
16．定義：已知兩個(gè)非零向量與的夾角為.我們把數(shù)量叫做向量與的叉乘的模，記作，即.
(1)若向量，，求；
(2)若平行四邊形的面積為4，求；
(3)若，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用向量數(shù)量積的運(yùn)算求得，從而利用新定義即可得解；
（2）利用平行四邊形的面積公式，結(jié)合新定義即可得解；
（3）利用新定義與向量數(shù)量積的定義求得的夾角，從而得到，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則與基本不等式即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>則，
所以，
因?yàn)槭窍蛄康膴A角，所以，
因此，故.
（2）因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的面積為4，
所以，所以.
（3）因?yàn)椋?br>所以，所以，
因?yàn)椋?，所以?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.
17．已知關(guān)于的二次方程．
(1)當(dāng)為何值時(shí)，這個(gè)方程有一個(gè)實(shí)根？
(2)是否存在，使得原方程有純虛數(shù)根？若存在，求出的值；若不存在，試說明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由見解析
【分析】
（1）設(shè)方程的一個(gè)實(shí)根為，帶入方程，化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)形式，再由復(fù)數(shù)相等的意義即可求得；
（2）設(shè)方程有純虛數(shù)根（，且），代入原方程，再?gòu)?fù)數(shù)相等意義得出，此方程無解，即可判定不存在.
【詳解】（1）
設(shè)是方程的一個(gè)實(shí)根，則
即
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的意義知
解得：．
所以，當(dāng)時(shí)，原方程有一實(shí)根．
（2）
假定方程有純虛數(shù)根（，且），代入原方程得
即
由復(fù)數(shù)相等意義知
但方程即無實(shí)數(shù)解，即實(shí)數(shù)不存在．
所以，對(duì)任何實(shí)數(shù)，原方程不可能有純虛數(shù)根．
18．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答問題．
已知a，b，c是的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且______．
(1)求；
(2)若，求的周長(zhǎng)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）選①，根據(jù)題意，利用正弦定理得到，利用余弦定理求得，即可求解；
選②，根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
選③，根據(jù)題意和正弦定理得得到，求得，即可求解；
（2）由題意，得到，求得周長(zhǎng)，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.
【詳解】（1）解：選①，由，
可得，
因?yàn)榧罢叶ɡ恚傻茫?br>所以，整理得，
則，因?yàn)椋裕?br>選②，由，可得，即，
因?yàn)椋傻?，所以，即?br>選③，由，由正弦定理得，
即，
即，
整理得，
因?yàn)椋?，可得，即?br>因?yàn)?，所以?br>（2）解：由，，可得，
所以周長(zhǎng)，
又由，可得，
又因?yàn)?，可得，所以?br>所以，所以的周長(zhǎng)的取值范圍為.
19．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).
（1）設(shè)函數(shù)，試求的相伴特征向量；
（2）記向量的相伴函數(shù)為，求當(dāng)且，的值；
（3）已知，，為的相伴特征向量，，請(qǐng)問在的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得.若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，點(diǎn).
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)得，根據(jù)題意可可得特征向量；（2）根據(jù)題意可得相伴函數(shù)，再根據(jù)條件可得，由最終得到結(jié)果；（3）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)則求出的解析式，設(shè)，根據(jù)條件列出方程式求出滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)即可.
【詳解】解：（1）
的相伴特征向量.
（2）向量的相伴函數(shù)為，
，.
，，.
.
（3）由為的相伴特征向量知：
.
所以.
設(shè)，，
，，
又，.
，
，，
.
又，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和同時(shí)等于，這時(shí)式成立.
在圖像上存在點(diǎn)，使得.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練使用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、三角恒等變換是本題的關(guān)鍵.本題還考查了三角函數(shù)圖象變換后的解析式以及向量垂直的數(shù)量積關(guān)系，屬于中檔題.

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期末押題卷1-高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義（人教A版2019必修第二冊(cè)）

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期中押題預(yù)測(cè)卷（考試范圍：第六-八章）-高一數(shù)學(xué)新教材同步配套教學(xué)講義（人教A版2019必修第二冊(cè)）

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