（考試時(shí)間：120分鐘；總分：150分）
一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將答案填涂到答題卡相應(yīng)區(qū)域．）
1．已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．C．D．
2．如圖，四邊形中，，則必有（ ）
A．B．C．D．
3．在中，，，，則角B的值為（ ）
A．B．C．D．
4．已知平面向量，，若與共線，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．1D．2
5．的直觀圖如圖所示，其中軸，軸，且，則的面積為（ ）

A．B．1C．8D．
6．如圖，石磨是用于把米、麥、豆等糧食加工成粉、漿的一種機(jī)械，通常由兩個(gè)圓石做成．磨是平面的兩層，兩層的接合處都有紋理，糧食從上方的孔進(jìn)入兩層中間，沿著紋理向外運(yùn)移，在滾動(dòng)過(guò)兩層面時(shí)被磨碎，形成粉末．如果一個(gè)石磨近似看作兩個(gè)完全相同的圓柱體拼合而成，每個(gè)圓柱體的底面圓的直徑是高的2倍，若石磨的側(cè)面積為，則圓柱底面圓的半徑為（ ）
A．4B．2C．8D．6
7．如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，一塊三角形鐵片，已知，現(xiàn)在這塊鐵片中間發(fā)現(xiàn)一個(gè)小洞，記為點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作一條直線分別交于點(diǎn)，并沿直線裁掉，則剩下的四邊形面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）
9．設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，原點(diǎn)為，為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則或
B．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限
C．若，則的模為
D．若，則點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為
10．下列關(guān)于向量的說(shuō)法中，正確的是（ ）
A．若向量互為相反向量，則
B．若，則
C．若兩個(gè)相等向量的起點(diǎn)相同，則它們的終點(diǎn)一定相同
D．若與是共線向量，則三點(diǎn)共線
11．如圖，在四面體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，截面是正方形，則下列結(jié)論正確的為（ ）

A．截面
B．異面直線與所成的角為
C．
D．平面
三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分．）
12．已知，若向量滿足，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為 .
13．在中，已知向量與滿足，且，則角 .
14．傳說(shuō)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn).在一個(gè)“圓柱容球”模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為 .
四、解答題：（本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
15．（13分）（1）記是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，求；
（2）若復(fù)數(shù)．
①若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；
②若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
16．（15分）已知，.
(1)若，求；
(2)若與的夾角為，求；
(3)若與垂直，求與的夾角．
17．（15分）如圖，點(diǎn)是中BC邊的中點(diǎn)，.
(1)若點(diǎn)是的重心，試用表示;
(2)若點(diǎn)是的重心，求.
18．（17分）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求A；
(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.
19．（17分）如圖，在三棱柱中，，，，．

(1)求證：；
(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．
2023~2024學(xué)年度第二學(xué)期期中考試預(yù)測(cè)1
高一數(shù)學(xué)試題
（考試時(shí)間：120分鐘；總分：150分）
一、選擇題：（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將答案填涂到答題卡相應(yīng)區(qū)域．）
1．已知復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【詳解】由題意，所以.
故選：C.
2．如圖，四邊形中，，則必有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】四邊形中，，則且，
所以四邊形是平行四邊形；
則有，故A錯(cuò)誤；
由四邊形是平行四邊形，可知是中點(diǎn)，則，B正確；
由圖可知，C錯(cuò)誤；
由四邊形是平行四邊形，可知是中點(diǎn)，，D錯(cuò)誤．
故選：B．
3．在中，，，，則角B的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】在中，，，，
由正定理得：，
由于，所以
故選：A
4．已知平面向量，，若與共線，則實(shí)數(shù)（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【詳解】由題意可得，
因?yàn)榕c共線，所以，解得，故D正確.
故選：D
5．的直觀圖如圖所示，其中軸，軸，且，則的面積為（ ）

A．B．1C．8D．
【答案】B
【詳解】由直觀圖還原平面圖形，中，，，，
所以．
故選：B．
6．如圖，石磨是用于把米、麥、豆等糧食加工成粉、漿的一種機(jī)械，通常由兩個(gè)圓石做成．磨是平面的兩層，兩層的接合處都有紋理，糧食從上方的孔進(jìn)入兩層中間，沿著紋理向外運(yùn)移，在滾動(dòng)過(guò)兩層面時(shí)被磨碎，形成粉末．如果一個(gè)石磨近似看作兩個(gè)完全相同的圓柱體拼合而成，每個(gè)圓柱體的底面圓的直徑是高的2倍，若石磨的側(cè)面積為，則圓柱底面圓的半徑為（ ）
A．4B．2C．8D．6
【答案】A
【詳解】設(shè)圓柱底面圓的半徑為，則圓柱的高為，
則石磨的側(cè)面積為，解得.
故選：A.
7．如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【詳解】將四面體補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬?高分別為、、，
四面體的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，
而長(zhǎng)方體的外接球的直徑等于長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)外接球的半徑為，
故，所以外接球表面積為.
故選：B.
8．如圖，一塊三角形鐵片，已知，現(xiàn)在這塊鐵片中間發(fā)現(xiàn)一個(gè)小洞，記為點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作一條直線分別交于點(diǎn)，并沿直線裁掉，則剩下的四邊形面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】設(shè)，，，，
則，
即，平方得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，
故，又，
當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，剩下的四邊形面積的最大為．
故選：A.
二、選擇題：（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）
9．設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，原點(diǎn)為，為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，則或
B．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限
C．若，則的模為
D．若，則點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為
【答案】BD
【詳解】對(duì)A,由，可得，且，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B,若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第三象限，故B正確；
對(duì)C,若，則的模為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D,設(shè),若，則，
則點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為，故D正確．
故選：BD．
10．下列關(guān)于向量的說(shuō)法中，正確的是（ ）
A．若向量互為相反向量，則
B．若，則
C．若兩個(gè)相等向量的起點(diǎn)相同，則它們的終點(diǎn)一定相同
D．若與是共線向量，則三點(diǎn)共線
【答案】ACD
【詳解】由向量互為相反向量，得的長(zhǎng)度相等，即，則A正確；
當(dāng)時(shí)，向量可以不平行，則B錯(cuò)誤；
由，得表示向量的有向線段的長(zhǎng)度和方向都相同.由兩個(gè)相等向量的起點(diǎn)相同，得這兩個(gè)向量的終點(diǎn)一定相同，則C正確；
由，且有公共點(diǎn)，得三點(diǎn)共線，則D正確.
故選：ACD
11．如圖，在四面體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，截面是正方形，則下列結(jié)論正確的為（ ）

A．截面
B．異面直線與所成的角為
C．
D．平面
【答案】AC
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，，
平面，平面，截面，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B: 點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，，
為異面直線與所成的角，
截面是正方形，，
即異面直線與所成的角為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C:截面是正方形，，
又點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，
，，，故C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D:若要使平面，則需要，，
但由題意知不一定成立，故D錯(cuò)誤．
故選：AC.
三、填空題：（本題共3小題，每小題5分，共15分．）
12．已知，若向量滿足，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為 .
【答案】
【詳解】由題意知，故，
所以，而，則，
故，
則在方向上的投影向量為，
即在方向上的投影向量的坐標(biāo)為，
故答案為：
13．在中，已知向量與滿足，且，則角 .
【答案】/
【詳解】設(shè)角的平分線交于，因?yàn)?，故，即?br>又表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，
設(shè)，（如圖所示），，因?yàn)椋?br>故四邊形為正方形，所以為角的平分線，故在上.
因?yàn)?，故，?
綜上，為等腰直角三角形且，所以.
故答案為：

14．傳說(shuō)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn).在一個(gè)“圓柱容球”模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為 .
【答案】
【詳解】設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，
則球的體積為，所以，
所以圓柱表面積為.
故答案為：.
四、解答題：（本題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
15．（13分）（1）記是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，求；
（2）若復(fù)數(shù)．
①若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；
②若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）或；（2）① ；② ．
【詳解】解：（1）設(shè)且，則，
因?yàn)椋裕?br>即，解得或，所以或．
（2）由復(fù)數(shù)，
①因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得；
②因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象陽(yáng)，可得，
解得，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．
16．（15分）已知，.
(1)若，求；
(2)若與的夾角為，求；
(3)若與垂直，求與的夾角．
【答案】(1)；(2)；(3).
【詳解】（1）∵，∴與的夾角為或， ∴=;
（2）；
（3），∴
∴，
，∴
17．（15分）如圖，點(diǎn)是中BC邊的中點(diǎn)，.
(1)若點(diǎn)是的重心，試用表示;
(2)若點(diǎn)是的重心，求.
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)是中BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是的重心，
所以.
（2）因?yàn)辄c(diǎn)是的重心且是BC邊的中點(diǎn)，所以，
又，所以，
所以.
18．（17分）在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求A；
(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）在中，由已知結(jié)合正弦定理角化邊可得，
整理可得，所以.
又，所以.
（2）由（1）知，
所以，，
記的周長(zhǎng)為，則，
由，，得，
所以.
又，所以，則，故
19．（17分）如圖，在三棱柱中，，，，．

(1)求證：；
(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)2
【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，
，．

，，，
，
又，，
，
連接，則．
，平面，平面，
平面．
平面．
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作的平行線，與過(guò)點(diǎn)的的平行線交于點(diǎn)，

，，
四邊形為正方形且邊長(zhǎng)為2． ，．
連接，，，
平面，平面，平面，
又，，,
平面,則平面，
平面，平面，
，，又，
平面，平面，平面．
平面，，
，，． 故點(diǎn)到平面的距離為2.

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