期中押題預測卷一、單選題1．（2022·全國·高一專題練習）已知向量，且，則一定共線的三點是（       ）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【答案】A【解析】【分析】通過計算，結(jié)合三點共線的知識確定正確選項.【詳解】依題意，，所以共線，即三點共線，A正確.，則不共線、不共線，BD錯誤.，則不共線，C錯誤.故選：A2．（2022·山西大附中高一階段練習）已知向量，夾角為，且，，則（       ）A．3 B． C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】將方程兩邊平方，然后結(jié)合數(shù)量積的定義可算出答案.【詳解】因為向量，夾角為，且，，所以，解得，故選：D3．（2022·重慶市開州中學高一階段練習）在中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知，，，則（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由正弦定理結(jié)合得出.【詳解】由正弦定理可得，，因為，所以，所以.故選：A4．（2022·上海交大附中高一階段練習）在中，內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c．根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（       ）A．、、 B．、、C．、、 D．、、【答案】A【解析】【分析】前三個選項中已知兩邊和一對角，分別比較和之間、與之間的大小關系，從而得到三角形解的個數(shù)，D選項中已知兩角和一邊得三角形有唯一解【詳解】A選項：，又，所以三角形有兩個解，則A正確；B選項：，又，所以三角形有一個解，則B錯誤；C選項：，所以三角形有一個解，則C錯誤；D選項：可得，所以三角形有一個解，則D錯誤；故選：A.5．（2022·重慶市開州中學高一階段練習）已知等腰直角的直角邊邊長為1，那么的平面直觀圖的面積為（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由斜二測的畫法結(jié)合三角形面積公式得出的平面直觀圖的面積.【詳解】設，則，，則.故選：D6．（2022·陜西·西安工業(yè)大學附中高一階段練習）已知設分別是內(nèi)角的對邊，且，，則向量在向量上的投影為(       )A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)求出cosA；根據(jù)結(jié)合余弦定理可求c，則向量在向量上的投影為.【詳解】由，得，則，即；∵，∴根據(jù)余弦定理得，，解得，故向量在向量上的投影為.故選：B.7．（2022·四川·成都外國語學校高一階段練習）在直角三角形ABC中，，M，N是斜邊AB上的兩個動點，且，則取值范圍為（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】令，利用向量的線性運算及數(shù)量積運算將表示成t的函數(shù)，再求函數(shù)值域作答.【詳解】如圖，中，，則，，令，則，于是得當時，，當或時，，所以取值范圍為.故選：B8．（2022·全國·高一課時練習）如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動點，則的最小值為（       ）A． B． C． D．3【答案】B【解析】【分析】連接，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設點的新位置為，連接，判斷出當三點共線時，則即為的最小值.分別求出,,利用余弦定理即可求解.【詳解】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，                                     設點的新位置為，連接，則有.當三點共線時，則即為的最小值.在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.同理可求：因為，所以為等邊三角形，所以，所以在三角形中，,,由余弦定理得：.故選B.【點睛】（1）立體幾何中的翻折（展開）問題截圖的關鍵是：翻折（展開）過程中的不變量；（2）立體幾何中距離的最值一般處理方式：①幾何法：通過位置關系，找到取最值的位置（條件），直接求最值；②代數(shù)法：建立適當?shù)淖鴺讼?，利用代?shù)法求最值.二、多選題9．（2022·浙江·嘉興市第五高級中學高一階段練習）已知向量，，，向量是與方向相同的單位向量，其中m，n均為正數(shù)，且，下列說法正確的是（       ）A．a與b的夾角為鈍角 B．向量a在b方向上的投影向量為C．2m+n=4 D．mn的最大值為2【答案】CD【解析】【分析】由數(shù)量積的符號可判斷A；根據(jù)投影定義直接計算可判斷B；根據(jù)向量平行的坐標表示可判斷C；由基本不等式結(jié)合可判斷D.【詳解】對于A，向量(2，1)，(1，﹣1)，則，則的夾角為銳角，錯誤；對于B，向量(2，1)，(1，﹣1)，則向量在方向上的投影為，錯誤；對于C，向量(2，1)，(1，﹣1)，則 (1，2)，若()∥，則(﹣n)=2(m﹣2)，變形可得2m+n=4，正確；對于D，由C的結(jié)論，2m+n=4，而m，n均為正數(shù)，則有，當m=1，n=2時，mn有最大值2，正確；故選：CD.10．（2022·重慶市第七中學校高一階段練習）設的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，，且，若點是外一點，，.下列說法中，正確的命題是（       ）A．的內(nèi)角 B．的內(nèi)角C．的面積為 D．四邊形面積的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正弦定理可求出，再根據(jù)，即可求出，進而判斷AB是否正確；即可判斷C是否正確；根據(jù)四邊形的面積，即可求出四邊形面積的最大值，即可判斷D是否正確.【詳解】∵，∴，∴，∴．故A正確．又∵．∴，故B正確．由于，由于角無法確定，故C不一定正確.在等邊中，設，，在中，由余弦定理可得：，由于，，代入上式可得：；∴四邊形的面積，∴當角時，四邊形面積的最大值，最大值為，故D正確．故選：ABD．11．（2022·河北·大名縣第一中學高一階段練習）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，若滿足要求的△ABC有且只有1個，則b的取值可以是（       ）A．1 B． C．2 D．3【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)余弦定理，根據(jù)三角形的性質(zhì)進行求解判斷即可.【詳解】由，及，得.若滿足要求的△ABC有且只有1個，則或，即或，解得或.故選：ABC12．（2022·全國·高一）如圖，在四面體中，點分別是棱的中點，截面是正方形，則下列結(jié)論正確的是（       ）A． B．截面PQMNC． D．異面直線與所成的角為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)線線、線面平行判定和性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】解：因為截面是正方形 ，所以，又平面，平面所以平面又平面,平面平面所以因為截面，截面，所以截面，故B正確同理可證因為，所以，故A正確又所以異面直線與所成的角為，故D正確和 不一定相等，故C錯誤故選：ABD三、填空題13．（2022·上海交大附中高一階段練習）己知向量，若，則___________．【答案】2【解析】【分析】首先求出的坐標，再根據(jù)，得到，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算得到方程，解得即可；【詳解】解：因為，所以，因為，所以，解得；故答案為：14．（2022·重慶市開州中學高一階段練習）若的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，三角形ABC的面積為S，若，則______.【答案】【解析】【分析】由三角形的面積公式和余弦定理可得，根據(jù)三角函數(shù)的有界性和均值不等式結(jié)合等式成立的條件可得答案.【詳解】由，即，∴，所以.又，，∴當且僅當，時等式成立，此時，故答案為：15．（2022·陜西·虢鎮(zhèn)中學高一期末）《九章算術》中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.已知陽馬，底面，，，，則此陽馬的外接球的表面積為______.【答案】【解析】將該幾何體放入長方體中，即可求得外接球的半徑，再由球的表面積公式即可得解.【詳解】將該幾何體放入長方體中，如圖，易知該長方體的長、寬、高分別為、、，所以該幾何體的外接球半徑，所以該球的表面積.故答案為：.16．（2022·全國·高一單元測試）點E、F、G分別是正方體的棱、、的中點，如圖所示，則下列命題中的真命題是________．(寫出所有真命題的編號)．①以正方體的頂點為頂點的三棱錐的四個面中最多只有三個面是直角三角形；②過點、、的截面是正方形；③點P在直線上運動時，總有；④點Q在直線上運動時，三棱錐的體積是定值；【答案】③④【解析】【分析】以三棱錐為例判斷①，根據(jù)四邊形的形狀判斷②，根據(jù)棱錐的體積公式判斷③；根據(jù)平面判斷④.【詳解】解：以三棱錐為例，則此三棱錐的4個面均為直角三角形，故①錯誤；，且，過點、、的截面為矩形，故②錯誤；，，平面，當在直線上運動時，平面，，故③正確；當在直線上運動時，△的面積為定值，到平面的距離為定值，的體積是定值，故④正確．故答案為：③④．四、解答題17．（2022·山西大附中高一階段練習）已知向量，，，．(1)求；(2)是否存在實數(shù)，，使得；(3)若，求實數(shù)的值．(4)若與的夾角是鈍角，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)存在實數(shù)，(3)(4)且【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合向量的坐標運算法則，計算即可得答案.（2）求得的坐標，結(jié)合題意，列出等式，即可求得答案.（3）分別求得和的坐標，根據(jù)向量平行法則，列出方程，即可求得答案.（4）根據(jù)向量求夾角公式，可得，又，計算即可得答案.(1)向量，，．，，，，．(2)，，，，，，，解得，，存在實數(shù)，，使得；(3)，，，， 解得實數(shù)．(4)與的夾角是鈍角，且，，且，解得且18．（2022·河北邢臺·高一階段練習）的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且.(1)求的大??；(2)若，且的面積為，試判斷的形狀.【答案】(1)(2)等腰直角三角形【解析】【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，再結(jié)合勾股定理可得出的形狀.(1)解：由及正弦定理得，得，因為，則，所以，則.(2)解：因為，所以.由余弦定理得，得，因為，且，所以為等腰直角三角形.19．（2022·浙江·玉環(huán)市玉城中學高一階段練習）如圖，在四棱錐中，是等邊三角形，平面，且，為中點.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【解析】【分析】（1）利用三角形的中位線定理平行四邊形的判定，再結(jié)合及線面平行的判定定理即可證明；（2）利用等腰三角形的三線合一得出，及線面垂直得，進而證明面，再利用面面垂直的判定定理即可證明；（3）根據(jù)等體積法，求出點G到平面CDF的距離為，再利用線面角的定義即可求解.(1)取中點，連，.如圖所示∵為中點，∴又，∴.∴四邊形為平行四邊形.∴.又面，面，∴平面.(2)∵為平行四邊形，∴、、、共面.∵為正三角形，為中點，∴.又面，.∴面，∴.且.∴面.又面，∴面面.(3)取BC中點G，連DG，FG.則，且.∴直線AB與面PCD所成角即為DG與面PDC所成角.又，，，.∴面面，且面PAB，∴面.設G到平面CDF的距離為，由等積法∴，∴.設與面所成角為.則.所以直線與平面所成角的正弦值為.20．（2022·廣東·深圳市南山外國語學校（集團）高級中學高一階段練習）如圖，，分別是矩形的邊和的中點，與交于點N. (1)設，，試用，表示；(2)若，，H是線段上的一動點，求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）引入，重新整理得出和這組基底的關系；（2）以A為原點，AB，AD分別為x， y軸，建立平面坐標系，借助的方程，化為關于的表達式，從而利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值.(1)取AC的中點O，連OE，OF則，因為，所以.(2)以A為原點，AB，AD分別為x， y軸，建立直角坐標系，則，，，，直線的方程為：，設，則，，所以，當時等號成立.21．（2022·湖南師大附中高一階段練習）銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量，,且∥.(1)求A；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由向量平行得到等式，由正弦定理得到，結(jié)合銳角三角形，得到A；（2）在第一問的基礎上利用正弦定理，用角的正弦表示邊，得到，利用銳角三角形求得B的范圍，從而求出的取值范圍.(1)因為，所以有，由正弦定理可得：，又因為，所以，所以，又，解得：；(2)由正弦定理可知：，則，又為銳角三角形，故且，解得：，又，由于，則，由正弦函數(shù)圖象可知.22．（2022·山東·高一階段練習）如圖，在斜三棱柱中，，為的中點，為的中點，平面平面，異面直線與互相垂直.（1）求證：平面平面；（2）若與平面的距離為，，三棱錐的體積為，試寫出關于的函數(shù)關系式；（3）在（2）的條件下，當與平面的距離為多少時，三棱錐的體積取得最大值？并求出最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）通過線面平行證明面面平行；（2）找到三棱錐合適的底和高，并求出底和高關于的表達式，從而求出體積的表達式；（3）求出表達式之后，利用函數(shù)思想即可求解體積的最大值，以及此時的值.【詳解】（1）斜三棱柱中，四邊形是平行四邊形，且為的中點，為的中點，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面；連接，如圖所示：所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，且平面，平面，所以平面，因為,平面，所以平面平面（2）因為，為的中點，所以，因為平面平面，所以平面平面，且平面平面，，平面，所以平面，平面，所以與平面的距離，因為平面，所以，中， ，所以，，所以因為平面，則平面，平面，所以，且，，平面，所以平面，且平面，所以，記交點為，則三角形為直角三角形，因為，且，，，所以，，，所以，所以，即（3）由（2）得：，，令，所以當，時，，此時，所以當與平面的距離時，三棱錐的體積取得最大值，最大值為6.【點睛】本題目第一小問是面面平行的證明，應用定理即可，比較基礎；第二問題目難度較大，需要找到各線段之間的位置關系以及長度關系，求三棱錐的體積，確定合適的底面和高，并求出底面積和高關于的表達式，涉及到線面垂直的證明，相似比例等內(nèi)容；第三問根據(jù)二次函數(shù)求最值的方法即可解決. 
 

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