知識導(dǎo)圖
考點分類講解
考點一 焦點弦問題
1．已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，直線 l過左焦點F1與橢圓(焦點在 x 軸上)交于A，B兩點，設(shè) ∠AF1F2＝α，e為橢圓的離心率，p為橢圓的焦點到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離，則p＝eq \f(a2,c)－c＝eq \f(b2,c).
(1)橢圓焦半徑公式：|AF1|＝eq \f(ep,1－e·cs α)，|BF1|＝eq \f(ep,1＋e·cs α)，eq \f(1,|AF1|)＋eq \f(1,|BF1|)＝eq \f(2,ep).
(2)橢圓焦點弦弦長公式：|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝eq \f(2ep,1－e2·cs2α).
(3)焦點三角形的面積公式：P為橢圓上異于長軸端點的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點且∠F1PF2＝θ，則＝b2·tan eq \f(θ,2).
2．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，直線 l過左焦點F1與雙曲線(焦點在 x 軸上)交于A，B兩點，設(shè) ∠AF1F2＝α，e為雙曲線離心率，p為雙曲線的焦點到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離，則p＝c－eq \f(a2,c)＝eq \f(b2,c).
圖1 圖2
(1)若直線與雙曲線交于一支(如圖1)，則|AF1|＝eq \f(ep,1＋e·cs α)，|BF1|＝eq \f(ep,1－e·cs α)，eq \f(1,|AF1|)＋eq \f(1,|BF1|)＝eq \f(2,ep).
若直線與雙曲線交于兩支(如圖2)，則|AF1|＝eq \f(ep,e·cs α＋1)，|BF1|＝eq \f(ep,e·cs α－1)，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,|AF1|)－\f(1,|BF1|)))＝eq \f(2,ep).
(2)雙曲線焦點弦弦長公式：若直線與雙曲線交于一支，則|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝eq \f(2ep,1－e2·cs2α).
若直線與雙曲線交于兩支，則|AB|＝||AF1|－|BF1||＝eq \f(2ep,e2·cs2α－1).
(3)焦點三角形的面積公式：P為雙曲線上異于實軸端點的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點且∠F1PF2＝θ，則＝eq \f(b2,tan \f(θ,2)).
3.已知直線 l過焦點F與拋物線(焦點在 x 軸上)交于A，B兩點，設(shè) ∠AFx＝α，e為拋物線離心率，p為拋物線的焦點到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離．
(1)拋物線焦半徑公式：|AF|＝eq \f(ep,1－e·cs α)＝eq \f(p,1－cs α)，|BF|＝eq \f(ep,1＋e·cs α)＝eq \f(p,1＋cs α)，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,ep)＝eq \f(2,p).
(2)拋物線焦點弦弦長公式：|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(2ep,1－e2·cs2α)＝eq \f(2p,sin2α).
4．焦點弦定理
已知焦點在 x軸上的橢圓或雙曲線或拋物線，經(jīng)過其焦點F的直線交曲線于 A，B兩點，直線AB的傾斜角為α，eq \(AF,\s\up6(→))＝λeq \(FB,\s\up6(→))，則曲線的離心率滿足等式|ecs α|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(λ－1,λ＋1))).
易錯提醒 (1)要注意公式中α的含義．
(2)公式中的加減符號易混淆．
(3)直線與雙曲線交于一支和兩支的公式不一樣．
【例1】（23-24高三上·北京海淀·階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點為，，兩點在上，，，則直線斜率的最小值和最大值分別是（ ）
A．，B．，2C．，D．，2
【變式1】（22-23高三上·四川廣安·階段練習(xí)）雙曲線的一條漸近線方程為，、分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線左支上的點到的距離最小值為，則雙曲線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【變式2】（2024·江蘇·一模）已知拋物線E：的焦點為F，過F的直線交E于點，，E在B處的切線為，過A作與平行的直線，交E于另一點，記與y軸的交點為D，則（ ）
A．B．
C．D．面積的最小值為16
【變式3】已知雙曲線x2－y2＝2，點F1，F(xiàn)2為其左、右焦點，點P為雙曲線上一點，若∠F1PF2＝60°，則△F1PF2的面積為( )
A．2 B．2eq \r(2) C.eq \r(3) D．2eq \r(3)
考點二 等角的性質(zhì)
1．已知橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，過長軸上任意一點 N(t,0)的弦的端點A，B與對應(yīng)的點Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,t)，0))的連線所成的角被焦點所在的直線平分，即∠OGA＝∠OGB(如圖1)．
圖1 圖2 圖3
2．已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過實軸所在直線上任意一點N(t,0)的弦的端點 A，B與對應(yīng)點Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,t)，0))的連線所成的角被焦點所在的直線平分，即∠NGA＝∠NGB(如圖2)．
3．已知拋物線 y2＝2px(p>0)，過拋物線對稱軸上任意一點N(a,0)的一條弦的端點 A，B與對應(yīng)點G(－a,0)的連線所成角被對稱軸平分，即∠OGA＝∠OGB(如圖3)．
規(guī)律方法 根據(jù)等角性質(zhì)，存在某定點滿足條件，快速算出此點的坐標(biāo)，這給算出準(zhǔn)確答案提供了依據(jù)．
【例2】（23-24高三上·天津南開·階段練習(xí)）已知橢圓C：，若橢圓的焦距為4且經(jīng)過點，過點的直線交橢圓于P，Q兩點．
(1)求橢圓方程；
(2)求面積的最大值，并求此時直線的方程；
(3)若直線與x軸不垂直，在x軸上是否存在點使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，說明理由．
【變式1】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知雙曲線E：的右焦點為，一條漸近線方程為．
(1)求雙曲線E的方程；
(2)是否存在過點的直線l與雙曲線E的左右兩支分別交于A，B兩點，且使得，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
【變式2】（23-24高二下·河北秦皇島·開學(xué)考試）已知拋物線的頂點是橢圓的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合．
(1)求拋物線的方程；
(2)已知動直線過點，交拋物線于、兩點，坐標(biāo)原點為中點，求證：；
(3)是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，說明理由．
【變式3】橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq \f(\r(2),2)，過點P(0,1)的動直線l與橢圓相交于A，B兩點，當(dāng)直線l平行于x軸時，直線l被橢圓C截得的線段長為2eq \r(6).
(1)求橢圓C的方程；
(2)在y軸上是否存在異于點P的定點Q，使得直線l變化時，總有∠PQA＝∠PQB？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
考點三 切線、切點弦方程
1．已知點P(x0，y0)為橢圓(或雙曲線)上任一點，則過點P與圓錐曲線相切的切線方程為橢圓中eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1，雙曲線中eq \f(x0x,a2)－eq \f(y0y,b2)＝1.
2．若點P(x0，y0)是橢圓(或雙曲線)外一點，過點P(x0，y0)作橢圓(或雙曲線)的兩條切線，切點分別為A，B，則切點弦AB的直線方程是橢圓中eq \f(x0x,a2)＋eq \f(y0y,b2)＝1，雙曲線中eq \f(x0x,a2)－eq \f(y0y,b2)＝1.
規(guī)律方法 運(yùn)用聯(lián)想，由過已知圓上和圓外的點的切線方程聯(lián)想到過圓錐曲線上和圓錐曲線外的切線方程，觸類旁通，實現(xiàn)知識的內(nèi)遷，使知識更趨于系統(tǒng)化，取得事半功倍的效果．
【例3】（2024·湖北·二模）如圖，為坐標(biāo)原點，為拋物線的焦點，過的直線交拋物線于兩點，直線交拋物線的準(zhǔn)線于點，設(shè)拋物線在點處的切線為．

(1)若直線與軸的交點為，求證：；
(2)過點作的垂線與直線交于點，求證：．
【變式1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點是拋物線上一個動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，則線段長度的最小值為 ．
【變式2】(2023·錦州模擬)已知橢圓E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)經(jīng)過點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\r(2)))，且離心率為eq \f(\r(6),3).F為橢圓E的左焦點，點P為直線l：x＝3上的一點，過點P作橢圓E的兩條切線，切點分別為A，B，連接AB，AF，BF.
(1)求證：直線AB過定點M，并求出定點M的坐標(biāo)；
(2)記△AFM，△BFM的面積分別為S1和S2，當(dāng)|S1－S2|取最大值時，求直線AB的方程．
【變式3】過點Q(－1，－1)作已知直線l：y＝eq \f(1,4)x＋1的平行線，交雙曲線eq \f(x2,4)－y2＝1于點M，N.
(1)證明：Q是線段MN的中點；
(2)分別過點M，N作雙曲線的切線l1，l2，證明：三條直線l，l1，l2相交于同一點；
(3)設(shè)P為直線l上一動點，過P作雙曲線的切線PA，PB，切點分別為A，B，證明：點Q在直線AB上．
強(qiáng)化訓(xùn)練
一、單選題
1．（2024·山東濟(jì)南·一模）與拋物線和圓都相切的直線的條數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2024·廣東·模擬預(yù)測）拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于A，B兩點．則的最小值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．（2022·河南·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右焦點分別為，，一條漸近線方程為，過雙曲線C的右焦點作傾斜角為的直線交雙曲線的右支于A，B兩點，若的周長為36，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河南·二模）已知動點P在雙曲線C：上，雙曲線C的左、右焦點分別為，，則下列結(jié)論：
①C的離心率為2；
②C的焦點弦最短為6；
③動點P到兩條漸近線的距離之積為定值；
④當(dāng)動點P在雙曲線C的左支上時，的最大值為．
其中正確的個數(shù)是（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
5．（2024·全國·一模）新材料是現(xiàn)代高新技術(shù)的基礎(chǔ)和先導(dǎo)，亦是提升傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)技術(shù)能級的關(guān)鍵．某科研小組研發(fā)的新材料水滴角測試結(jié)果如圖所示（水滴角可看作液、固、氣三相交點處氣—液兩相界面的切線與液—固兩相交線所成的角），圓法和橢圓法是測量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長軸平行于液—固兩相交線）的一部分．設(shè)圓法和橢圓法測量所得水滴角分別為，，則（ ）
附：橢圓上一點處的切線方程為．
A．B．
C．D．和的大小關(guān)系無法確定
6．（23-24高二上·北京東城·期中）已知橢圓的左、右焦點分別為、，若橢圓上恰好有個不同的點，使得為等腰三角形，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
7．（23-24高三下·重慶·開學(xué)考試）設(shè)為拋物線的焦點，為上一點且在第一象限，在點處的切線交軸于，交軸于，若，則直線的斜率為（ ）
A．－2B．C．D．
8．（2024·四川南充·二模）已知橢圓的左右焦點分別為．過點傾斜角為的直線與橢圓相交于，兩點（在軸的上方），則下列說法中正確的有（ ）個．
①
②
③若點與點關(guān)于軸對稱，則的面積為
④當(dāng)時，內(nèi)切圓的面積為
A．1B．2C．3D．4
二、多選題
1．（2024·河南·一模）已知雙曲線的左、右焦點分別為、，，過的直線與的右支交于點，若，則（ ）
A．的漸近線方程為B．
C．直線的斜率為D．的坐標(biāo)為或
2．（23-24高三上·福建泉州·階段練習(xí)）已知橢圓與雙曲線共焦點，設(shè)它們在第一象限的交點為，且，則（ ）
A．雙曲線的實軸長為B．雙曲線的離心率為
C．雙曲線的漸近線方程為D．雙曲線在點處切線的斜率為
3．（23-24高三上·湖北武漢·期末）已知，是曲線上不同的兩點，為坐標(biāo)原點，則（ ）
A．的最小值為1
B．
C．若直線與曲線有公共點，則
D．對任意位于軸左側(cè)且不在軸上的點，都存在點，使得曲線在，兩點處的切線垂直
三、填空題
1．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知雙曲線：焦距為，左、右焦點分別為，點在上且軸，的面積為，點為雙曲線右支上的任意一點，則的取值范圍是
2．（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）過點能作雙曲線的兩條切線，則該雙曲線離心率的取值范圍為 .
3．（2023·浙江嘉興·二模）已知橢圓的左?右焦點分別為，離心率為，點在橢圓上，連接并延長交于點，連接，若存在點使成立，則的取值范圍為 .
四、解答題
1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)，為雙曲線：的左、右頂點，直線過右焦點且與雙曲線C的右支交于，兩點，當(dāng)直線垂直于軸時，為等腰直角三角形，求雙曲線的離心率．
2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）（1）求雙曲線在點處的切線方程；
（2）已知是雙曲線外一點，過P引雙曲線的兩條切線，A，B為切點，求直線AB的方程．
3．（2024·福建·模擬預(yù)測）在中，，，的平分線交AB于點D，.平面α過直線AB，且與所在的平面垂直.
(1)求直線CD與平面所成角的大小；
(2)設(shè)點，且，記E的軌跡為曲線Γ.
（i）判斷Γ是什么曲線，并說明理由；
（ii）不與直線AB重合的直線l過點D且交Γ于P，Q兩點，試問：在平面α內(nèi)是否存在定點T，使得無論l繞點D如何轉(zhuǎn)動，總有？若存在，指出點T的位置；若不存在，說明理由.
4．（2024·湖南·二模）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如表示過點的直線，直線的包絡(luò)曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.
(1)若圓是直線族的包絡(luò)曲線，求滿足的關(guān)系式；
(2)若點不在直線族：的任意一條直線上，求的取值范圍和直線族的包絡(luò)曲線；
(3)在（2）的條件下，過曲線上兩點作曲線的切線，其交點為.已知點，若三點不共線，探究是否成立？請說明理由.
5．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，依次連接四個頂點得到的圖形的面積為．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過直線上一點P作橢圓C的兩條切線，切點分別為M，N，求證：直線過定點．

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