知識(shí)導(dǎo)圖
考點(diǎn)分類講解
考點(diǎn)一 利用圓錐曲線的定義求離心率的范圍
規(guī)律方法 此類題型的一般方法是利用圓錐曲線的定義，以及余弦定理或勾股定理，構(gòu)造關(guān)于a，b，c的不等式或不等式組求解，要注意橢圓、雙曲線離心率自身的范圍．
【例1】（23-24高三上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式1】（23-24高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）已知，，分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，M為雙曲線左支上任意一點(diǎn)，若的最小值為8a，則雙曲線離心率e的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【變式2】（23-24高三上·陜西安康·階段練習(xí)）已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l與雙曲線E的左、右兩支分別交于點(diǎn)A，B，弦AB的中點(diǎn)為M且.若過原點(diǎn)O與點(diǎn)M的直線的斜率不小于，則雙曲線E的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式3】(2023·亳州模擬)已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若C與直線y＝x有交點(diǎn)，且雙曲線上存在不是頂點(diǎn)的P，使得∠PF2F1＝3∠PF1F2，則雙曲線離心率的取值范圍為__________．
考點(diǎn)二 利用圓錐曲線的性質(zhì)求離心率的范圍
規(guī)律方法 利用圓錐曲線的性質(zhì)，如：橢圓的最大角，通徑，三角形中的邊角關(guān)系，曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的范圍等，建立不等式(不等式組)求解．
【例2】（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線：，橢圓與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)，且四邊形的外接圓直徑為，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，延長與交于點(diǎn)P，若為鈍角，則該橢圓離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，拋物線，且橢圓與拋物線相交于兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【變式3】已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若雙曲線上存在點(diǎn)P，使eq \f(sin∠PF1F2,sin∠PF2F1)＝eq \f(a,c)，則該雙曲線的離心率的取值范圍為( )
A．(1,1＋eq \r(2)) B．(1,1＋eq \r(3))
C．(1,1＋eq \r(2)] D．(1,1＋eq \r(3)]
考點(diǎn)三 利用幾何圖形的性質(zhì)求離心率的范圍
規(guī)律方法 利用幾何圖形中幾何量的大小，例如線段的長度、角的大小等，構(gòu)造幾何度量之間的關(guān)系．
【例3】(2023·無錫模擬)已知點(diǎn)P在雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)上，P到兩漸近線的距離分別為d1，d2，若d1d2≤eq \f(1,2)|OP|2恒成立，則C的離心率的最大值為( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5)
【變式1】（2022高三上·河南·專題練習(xí)）已知橢圓的焦距為，直線與橢圓交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（23-24高三上·廣東·階段練習(xí)）過雙曲線的右焦點(diǎn)F作漸近線的垂線，垂足為H，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，又直線與雙曲線無公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【變式3】（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知兩動(dòng)點(diǎn)，在橢圓：上，動(dòng)點(diǎn)P在直線上，若恒為銳角，則橢圓C的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
強(qiáng)化訓(xùn)練
一、單選題
1．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線C的右支上一點(diǎn)，且，，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二上·江蘇徐州·期中）設(shè)，分別為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·貴州黔東南·一模）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，，若直線與的右支交于兩點(diǎn)，且為的重心，則的離心率的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·四川攀枝花·三模）已知雙曲線，A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，B為虛軸的上頂點(diǎn)，直線l垂直平分線段，若直線l與C存在公共點(diǎn)，則雙曲線C的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線，，過點(diǎn)可做2條直線與左支只有一個(gè)交點(diǎn)，與右支不相交，同時(shí)可以做2條直線與右支只有一個(gè)交點(diǎn)，與左支不相交，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高三上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期末）已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.過作直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，若分別為與的內(nèi)心，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高二上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，是橢圓上一點(diǎn)，，，則橢圓離心率的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
二、多選題
1．（2024·河北邯鄲·三模）已知雙曲線，則（ ）
A．的取值范圍是B．的焦點(diǎn)可在軸上也可在軸上
C．的焦距為6D．的離心率的取值范圍為
2．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，則以下說法正確的是（ ）
A．離心率的取值范圍為
B．的最小值為4
C．不存在點(diǎn)，使得
D．當(dāng)時(shí)，以點(diǎn)為中點(diǎn)的橢圓的弦的斜率為1
3．（2023·廣東汕頭·三模）已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)（不在軸上），外接圓的圓心為，半徑為，內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，直線交軸于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．最大時(shí)，B．的最小值為2
C．橢圓的離心率等于D．的取值范圍為
三、填空題
1．（22-23高三上·福建泉州·期中）拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，以點(diǎn)，為焦點(diǎn)的橢圓與拋物線有公共點(diǎn)，則橢圓的離心率的最大值為 .
2．（2023·廣東·一模）已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，傾斜角為的直線與雙曲線在第一象限交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為 .
3．（23-24高三上·湖南婁底·期末）已知雙曲線，直線和相互平行，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，直線和交于點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)）.若直線的斜率為3，直線是坐標(biāo)原點(diǎn)的斜率，則雙曲線的離心率的取值范圍為 .
四、解答題
1．（21-22高三上·新疆昌吉·階段練習(xí)）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線的右支上（點(diǎn)P不在x軸上），且.
(1)用a表示；
(2)若是鈍角，求雙曲線離心率e的取值范圍.
2．（2023·上海奉賢·三模）已知雙曲線T：離心率為e，圓O：．
(1)若e=2，雙曲線T的右焦點(diǎn)為，求雙曲線方程；
(2)若圓O過雙曲線T的右焦點(diǎn)F，圓O與雙曲線T的四個(gè)交點(diǎn)恰好四等分圓周，求的值；
(3)若R=1，不垂直于x軸的直線l：y=kx+m與圓O相切，且l與雙曲線T交于點(diǎn)A，B時(shí)總有，求離心率e的取值范圍．
3．（23-24高三上·遼寧朝陽·階段練習(xí)）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的直線與的右支相交于A，B兩點(diǎn).
(1)若，求的離心率的取值范圍；
(2)若恒為銳角，求的實(shí)軸長的取值范圍.
4．（2023·上海徐匯·一模）已知雙曲線的離心率為．
(1)若，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，求雙曲線的方程；
(2)若，雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，點(diǎn)在第一象限且在雙曲線上，若=8，求的值；
(3)設(shè)圓，． 若動(dòng)直線與圓相切，且與雙曲線 交于時(shí)，總有，求雙曲線離心率的取值范圍．
5．（22-23高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知坐標(biāo)平面上左、右焦點(diǎn)為，的雙曲線和圓．
(1)若的實(shí)軸恰為的一條直徑，求的方程；
(2)若的一條漸近線為，且與恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，求a的值；
(3)設(shè)，若存在上的點(diǎn)，使得直線與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求的離心率的取值范圍．

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