考點(diǎn)分類講解
考點(diǎn)一：構(gòu)造輔助數(shù)列
規(guī)律方法 (1)形如an＋1－an＝f(n)的數(shù)列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
(2)形如eq \f(an＋1,an)＝f(n)的數(shù)列，常令n分別為1,2,3，…，n－1，代入eq \f(an＋1,an)＝f(n)，再把所得的(n－1)個(gè)等式相乘，利用an＝a1·eq \f(a2,a1)·eq \f(a3,a2)·…·eq \f(an,an－1)(n≥2)即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
(3)形如an＋1＝eq \f(qan,pan＋q)(p，q≠0)的數(shù)列，取倒數(shù)可得eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,an)＋eq \f(p,q)，即eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(p,q)，構(gòu)造等差數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))求通項(xiàng)公式．
(4)若數(shù)列{an}滿足an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)，構(gòu)造an＋1＋λ＝p(an＋λ)．
(5)若數(shù)列{an}滿足an＋1＝pan＋f(n)(p≠0,1)，構(gòu)造an＋1＋g(n＋1)＝p[an＋g(n)]．
【例1】（2024·陜西·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足對(duì)任意正整數(shù)n，均有，，則（ ）
A．B．C．D．
【變式1】（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（2024·廣東佛山·二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，滿足（），則（ ）
A．B．C．D．
【變式3】(2023·呂梁模擬)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝1，an＋1＋an＝3×2n，則S100等于( )
A．2100－3 B．2100－2
C．2101－3 D．2101－2
考點(diǎn)二:利用an與Sn的關(guān)系
規(guī)律方法 在處理Sn，an的式子時(shí)，一般情況下，如果要證明f(an)為等差(等比)數(shù)列，就消去Sn，如果要證明f(Sn)為等差(等比)數(shù)列，就消去an；但有些題目要求求{an}的通項(xiàng)公式，表面上看應(yīng)該消去Sn，但這會(huì)導(dǎo)致解題陷入死胡同，這時(shí)需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an(n≥2)．
【例2】（2024·山西呂梁·一模）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，若，則 ．
【變式1】（2024·福建漳州·一模）已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．B．C．D．
【變式2】（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若是等差數(shù)列，，則（ ）
A．B．C．0D．4
【變式3】已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝3，且當(dāng)n≥2時(shí)，Sn，eq \f(nan,2)，Sn－1成等差數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足bn＝1－eq \f(9,a\\al(2,n))，若b2·b3·…·bn＝eq \f(89,176)，求正整數(shù)n的值．
強(qiáng)化訓(xùn)練
一、單選題
1．（2024·河南開(kāi)封·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）
A．81B．162C．243D．486
2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若數(shù)列滿足且，則的值為（ ）
A．3B．2C．D．
3．（23-24高三上·廣東湛江·期末）在數(shù)列中，，且，當(dāng)時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·陜西西安·一模）記數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項(xiàng)和為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·山西臨汾·一模）已知數(shù)列滿足：，設(shè)，則（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知數(shù)列，滿足，，，則（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三上·江蘇·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，記為數(shù)列中能使成立的最小項(xiàng)，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高三下·浙江·開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意均有.記的前項(xiàng)和為，則（ ）
A．28B．140C．256D．784
二、多選題
1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．?dāng)?shù)列的首項(xiàng)為
B．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為
C．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列
D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列
2．（23-24高三上·山東·期中）已知數(shù)列滿足，，則的值可能為（ ）
A．1B．C．D．
3．（23-24高三上·浙江溫州·期末）已知數(shù)列滿足，，若，，，則的值可能為（ ）
A．－1B．2C．D．－2
三、填空題
1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知在正項(xiàng)數(shù)列中，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .
2．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）數(shù)列滿足，則 ．
3．（2024·廣東廣州·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)取最小值時(shí)， .
四、解答題
1．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且．
(1)求的值；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
2．（23-24高三下·湖南湘潭·階段練習(xí)）設(shè)各項(xiàng)都不為0的數(shù)列的前項(xiàng)積為，，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)保持?jǐn)?shù)列中的各項(xiàng)順序不變，在每?jī)身?xiàng)與之間插入一項(xiàng)（其中），組成新的數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求的最小值.
3．（23-24高三下·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且為等差數(shù)列．
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
4.（2024·云南·一模）已知為等比數(shù)列，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)是否存在整數(shù)，使對(duì)任意正整數(shù)都成立？若存在，求的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
5．（23-24高三上·山西·期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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