1．復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及運(yùn)算法則
(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的分類
①z是實(shí)數(shù)?b＝0；
②z是虛數(shù)?b≠0；
③z是純虛數(shù)?a＝0且b≠0.
(2)共軛復(fù)數(shù)
復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)eq \x\t(z)＝a－bi.
(3)復(fù)數(shù)的模
復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝eq \r(a2＋b2).
(4)復(fù)數(shù)相等的充要條件
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
特別地，a＋bi＝0?a＝0且b＝0(a，b∈R)．
(5)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則
加減法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；
乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i
(c＋di≠0)．(其中a，b，c，d∈R)
2．復(fù)數(shù)的幾個(gè)常見(jiàn)結(jié)論
(1)(1±i)2＝±2i.
(2)eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
3．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．
4．向量a與b的夾角
已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．當(dāng)θ＝0時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ＝π時(shí)，a與b反向．如果a與b的夾角是eq \f(π,2)，我們說(shuō)a與b垂直，記作a⊥b.
5．平面向量的數(shù)量積
(1)若a，b為非零向量，夾角為θ，則a·b＝|a||b|·cs θ.
(2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.
6．兩個(gè)非零向量平行、垂直的充要條件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0.
(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
7．利用數(shù)量積求長(zhǎng)度
(1)若a＝(x，y)，則|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(x2＋y2).
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2).
8．利用數(shù)量積求夾角
設(shè)a，b為非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，
則cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
9．三角形“四心”向量形式的充要條件
設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則：
(1)O為△ABC的外心?|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|＝|eq \(OC,\s\up6(→))|＝eq \f(a,2sin A).
(2)O為△ABC的重心?eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))＝0.
(3)O為△ABC的垂心?eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→)).
(4)O為△ABC的內(nèi)心?aeq \(OA,\s\up6(→))＋beq \(OB,\s\up6(→))＋ceq \(OC,\s\up6(→))＝0.
4．找向量的夾角時(shí)，需把向量平移到同一個(gè)起點(diǎn)，共起點(diǎn)容易忽視．
易錯(cuò)提醒
1．復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的充要條件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi，a，b∈R)．還要注意巧妙運(yùn)用參數(shù)問(wèn)題和合理消參的技巧．
2．復(fù)數(shù)的運(yùn)算與多項(xiàng)式運(yùn)算類似，要注意利用i2＝－1化簡(jiǎn)合并同類項(xiàng)．
3．若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))(λ∈(0，＋∞))，則點(diǎn)P的軌跡過(guò)△ABC的內(nèi)心．
易錯(cuò)分析
易錯(cuò)點(diǎn)1 對(duì)平面向量基本定理理解有誤
1.[ 福建泉州九中2022月考]如圖所示，是圓上的三點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于圓外的一點(diǎn)，若，則的取值范圍是 .

易錯(cuò)點(diǎn)2 關(guān)于向量的夾角的易錯(cuò)點(diǎn)
2.[浙江百校2022開(kāi)學(xué)模擬]在中，“”是“為鈍角三角形”的（）
充分不必要條件 必要不充分條件
充要條件 既不充分也不必要條件
易錯(cuò)點(diǎn)3 記錯(cuò)兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)關(guān)系致錯(cuò)
3.[陜西榆林2023二模]已知向量 ，.若//，則= .
易錯(cuò)點(diǎn)4 認(rèn)為與的夾角為銳角（鈍角）致錯(cuò)
4.[遼寧名校2023聯(lián)考]已知向量，.若與的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
易錯(cuò)點(diǎn)5 復(fù)數(shù)的相關(guān)概念理解不清致誤
5.[四川樂(lè)山2022第一次調(diào)研]若，則的虛部為（）

6.[湖南湘潭2023二模]在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是（2,-1），（0,5），則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）

易錯(cuò)點(diǎn)6 忽視復(fù)數(shù)相等的條件致誤
7、[河北2022第六次省級(jí)聯(lián)測(cè)]已知復(fù)數(shù)滿足條件，則（）

8.[廣西桂林、崇左2023一調(diào)]已知為虛數(shù)單位，若，則= .
高考真題
一．選擇題（共14小題）
1．（2023?新高考Ⅱ）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．（2023?新高考Ⅰ）已知，則
A．B．C．0D．1
3．（2023?北京）已知向量，滿足，，則
A．B．C．0D．1
4．（2023?甲卷）向量，，且，則，
A．B．C．D．
5．（2023?甲卷）已知向量，，則，
A．B．C．D．
6．（2023?全國(guó)）設(shè)向量，，若，則
A．5B．2C．1D．0
7．（2023?甲卷）若復(fù)數(shù)，，則
A．B．0C．1D．2
8．（2023?北京）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則的共軛復(fù)數(shù)
A．B．C．D．
9．（2023?乙卷）正方形的邊長(zhǎng)是2，是的中點(diǎn)，則
A．B．3C．D．5
10．（2023?新高考Ⅰ）已知向量，．若，則
A．B．C．D．
11．（2023?乙卷）設(shè)，則
A．B．C．D．
12．（2023?甲卷）
A．B．1C．D．
13．（2023?全國(guó)）已知，則
A．B．C．D．
14．（2023?乙卷）
A．1B．2C．D．5
二．填空題（共8小題）
15．（2023?上海）已知向量，，則 ．
16．（2023?上海）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則 ．
17．（2023?天津）已知是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)的結(jié)果為 ．
18．（2023?新高考Ⅱ）已知向量，滿足，，則 ．
19．（2023?上海）已知向量，，則 ．
20．（2023?天津）在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，，則可用，表示為 ；若，則的最大值為 ．
21．（2023?上海）已知，且為虛數(shù)單位），滿足，則的取值范圍為 ．
22．（2023?上海）已知、、為空間中三組單位向量，且、，與夾角為，點(diǎn)為空間任意一點(diǎn)，且，滿足，則最大值為 ．
最新模擬
一．選擇題（共14小題）
1．（2024?昌樂(lè)縣校級(jí)模擬）已知向量，，．若，則實(shí)數(shù)的值為
A．B．C．D．
2．（2024?海珠區(qū)校級(jí)模擬）已知單位向量與的夾角為，則與的夾角為
A．B．C．D．
3．（2024?沙依巴克區(qū)校級(jí)模擬）已知向量，則的坐標(biāo)是
A．B．C．D．
4．（2024?平邑縣校級(jí)模擬）若平面向量，，兩兩所成的角相等，且，，，則等于
A．2B．5C．2或5D．或
5．（2024?重慶模擬）在同一直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知點(diǎn)，，，點(diǎn)滿足，的最小值為
A．B．C．D．
6．（2024?江西模擬）如圖，已知圓的半徑為2，弦長(zhǎng)，為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為
， B．，
C． D．
7．（2024?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，兒童玩具紙風(fēng)車的做法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，取一張正方形紙折出“十”字折痕，然后把四個(gè)角向中心點(diǎn)翻折，再展開(kāi)，把正方形紙兩條對(duì)邊分別向中線對(duì)折，把長(zhǎng)方形短的一邊沿折痕向外側(cè)翻折，然后把立起來(lái)的部分向下翻折壓平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，這樣，紙風(fēng)車的主體部分就完成了，如圖2，是一個(gè)紙風(fēng)車示意圖，則
A．B．C．D．
8．（2024?芝罘區(qū)校級(jí)模擬）已知，，，則等于
A．B．C．D．
9．（2024?重慶模擬）過(guò)直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
A．0B．C．D．
10．（2024?南寧模擬）的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為
A．B．C．D．
11．（2024?佛山模擬）已知與為兩個(gè)不共線的單位向量，則
A．B．
C．若，則D．若，則
12．（2024?平羅縣校級(jí)一模）已知向量，若與垂直，則
A．1B．C．2D．4
13．（2024?山東一模）已知，，，．存在，，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
A．B．C．D．
14．（2024?漢濱區(qū)校級(jí)模擬）已知中，，，若所在平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則的最大值為
A．B．C．D．
二．多選題（共2小題）
15．（2024?泰安模擬）已知復(fù)數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是
A．若，則
B．若，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限
C．若，則
D．若，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則直線為原點(diǎn)）斜率的取值范圍為
16．（2024?如皋市模擬）已知復(fù)數(shù)，是關(guān)于的方程的兩根，則
A．B．
C．D．若，則
三．填空題（共4小題）
17．（2024?陜西模擬）已知單位向量滿足，則 ．
18．（2024?芝罘區(qū)校級(jí)模擬）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 ．
19．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）平面直角坐標(biāo)系中，、兩點(diǎn)到直線和的距離之和均為．當(dāng)最大時(shí)，的最小值為 ．
20．（2024?芝罘區(qū)校級(jí)模擬）是面上一定點(diǎn)，，，是面上的三個(gè)頂點(diǎn)，，分別是邊，的對(duì)角．以下命題正確的是 ．（把你認(rèn)為正確的序號(hào)全部寫上）
①動(dòng)點(diǎn)滿足，則的外心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；
②動(dòng)點(diǎn)滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；
③動(dòng)點(diǎn)滿足，則的重心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中；
④動(dòng)點(diǎn)滿足，則的垂心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中．
⑤動(dòng)點(diǎn)滿足，則的外心一定在滿足條件的點(diǎn)集合中．

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